三角形中45°角的處理策略

沈飛鴻

三角形問題大都從“線段”“角度”和“運動方式”這三種角度給出條件和求解，相比于“線段”，諸如30°、45°、60°等特殊的“角度”是同學們在解題中經(jīng)常會遇到的。本文以2021年江蘇省連云港市的中考題為例，剖析45°角的不同處理方法，幫助同學們用類比的方法了解特殊角的處理策略。

例 如圖1，拋物線y=mx2+（m2+3）x-（6m+9）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，已知B（3，0）。

（1）求m的值和直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達式;

（2）P為拋物線上一點（與點A不重合），若S△PBC=S△ABC，請直接寫出點P的坐標;

（3）Q為拋物線上一點，若∠ACQ=45°，求點Q的坐標。

【解析】（1）（2）兩問的答案為：（1）m=-1，直線BC的表達式為y=x-3;（2）P的坐標為（2，1），（[3+172]，[-7+172]），（[3-172]，

[-7-172]）。

第（3）問如果從構(gòu)造等腰直角三角形、構(gòu)造相似三角形和構(gòu)造全等三角形這三個角度處理45°角，可以有三種不同的解法。

解法一：如圖2，過點A作線段AC的垂線，交射線CQ于點M，過點M作MD⊥AB于點D。

∵A（1，0），C（0，-3），∴M（4，-1），

∴直線CM的表達式為y=[12]x-3。

∵點Q是拋物線y=-x2+4x-3與直線CM的交點，∴聯(lián)立兩個方程，解得Q（[72]，[-54]）。

【點評】在直角坐標系中出現(xiàn)等腰直角三角形，很容易想到構(gòu)造“一線三直角”的“K字相似形”，等腰又能帶來邊相等，把相似進一步轉(zhuǎn)化為全等。因此，“構(gòu)造K字相似形”和45°角配合起來，有“1+1>2”的效果。

解法二：如圖3，在y軸上取點M、N，使∠AMC=∠QNC=45°。

∵∠ACQ=∠AMC=45°，

∴∠MAC=∠NCQ=135°-∠ACM，

∴△AMC∽△CNQ，∴[AMCN]=[MCNQ]。

設(shè)Q（xQ，-xQ2+4xQ-3）。

∵A（1，0），C（0，-3），

∴M（0，1），N（0，-xQ2+4xQ-3-xQ），

即N（0，-xQ2+3xQ-3），

∴[2xQ2-3xQ]=[42xQ]，

∴xQ=[72]，∴Q（[72]，[-54]）。

【點評】在y軸上找到點M（點C上方）、點N（點C下方），使得∠AMC=∠ACQ=∠CNQ=45°，則△AMC∽△CNQ，這是常見的構(gòu)建“一線三等角”相似形的方法。

解法三：如圖4，將△AOC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°得△A′O′C。

∵A（1，0），C（0，-3），

∴O′C=OC=3，O′A′=OA=1，

∴O′（[32]，[32]-3），

∴A′（[42]，[22]-3），即A′（[22]，[2]-3），

∴直線CA′的表達式為y=[12]x-3。

∵點Q是拋物線y=-x2+4x-3與直線CA′的交點，∴聯(lián)立兩個方程，解得Q（[72]，[-54]）。

【點評】本題除了有∠ACQ=45°外，還隱含了∠OCB=45°，因此，我們可以把△AOC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°，即可求出直線CQ上的一點A′的坐標，從而借助直線CA′的表達式得到點Q的坐標。本解法中的45°角，除了是兩條線段的“夾角”外，也可以是三角形旋轉(zhuǎn)前后的“旋轉(zhuǎn)角”。

上面介紹的前兩種解法，都是通過構(gòu)造“一線三等角”的全等形和相似形，把不方便計算的線段AC、CQ，轉(zhuǎn)化成“橫平豎直”的或斜向45°的方便計算的線段之間的關(guān)系，從而建立方程求解。解法三則是通過旋轉(zhuǎn)45°，將斜向△A′O′C和兩邊“橫平豎直”的容易計算的△AOC建立起全等關(guān)系，從而解決問題。這里，變的是45°角的處理方法，不變的是“化斜為直”從而化繁為簡的思想方法。