直擊中考——函數(shù)的應(yīng)用

駱麗葉

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又應(yīng)用于生活。從歷年各地的中考試卷命題趨勢(shì)來(lái)看，命題者越來(lái)越傾向于考查同學(xué)們解決實(shí)際問(wèn)題的能力。函數(shù)是用來(lái)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的模型之一，因此，對(duì)函數(shù)的考查，越來(lái)越貼近生活，綜合性也越來(lái)越強(qiáng)。

例1 （2021·浙江麗水）李師傅將容量為60升的貨車(chē)油箱加滿后，從工廠出發(fā)運(yùn)送一批物資到某地。行駛過(guò)程中，貨車(chē)離目的地的路程s（千米）與行駛時(shí)間t（小時(shí)）的關(guān)系如圖1所示（中途休息、加油的時(shí)間不計(jì)）。當(dāng)油箱中剩余油量為10升時(shí)，貨車(chē)會(huì)自動(dòng)顯示加油提醒。設(shè)貨車(chē)平均耗油量為0.1升/千米，請(qǐng)根據(jù)圖像解答下列問(wèn)題：

（1）直接寫(xiě)出工廠離目的地的路程;

（2）求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;

（3）當(dāng)貨車(chē)顯示加油提醒后，問(wèn)行駛時(shí)間t在怎樣的范圍內(nèi)貨車(chē)應(yīng)進(jìn)站加油？

解：（1）由圖像可知，當(dāng)t=0時(shí)，s=880，即工廠離目的地的路程為880千米。

（2）設(shè)s=kt+b（k≠0）。

將（0，880）和（4，560）代入s=kt+b，

得[880=b，560=4k+b，]解得[k=-80，b=880。]

∴s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為s=-80t+880（0≤t≤11）。

（3）當(dāng)油箱中剩余油量為10升時(shí)，

s=880-（60-10）÷0.1=380（千米），

∴380=-80t+880，解得t=[254]（小時(shí)）。

當(dāng)油箱中剩余油量為0升時(shí)，

s=880-60÷0.1=280（千米），

∴280=-80t+880，解得t=[152]（小時(shí)）。

∵k=-80<0，∴s隨t的增大而減小，

∴t的取值范圍是[254]

【點(diǎn)評(píng)】本題以圖像形式考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，答題的關(guān)鍵是讀懂圖像，看清橫軸、縱軸的實(shí)際意義，并且明確圖像中一些特殊點(diǎn)的實(shí)際意義。同時(shí)，用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，將一個(gè)變量的值代入表達(dá)式，求出另一個(gè)變量的值，再利用函數(shù)的增減性判定這個(gè)變量的取值范圍。以上都是中考常考知識(shí)點(diǎn)。

例2 （2021·遼寧營(yíng)口）某商家正在熱銷(xiāo)一種商品，其成本為30元/件，在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)隨著售價(jià)增加，銷(xiāo)售量在減少。商家決定當(dāng)售價(jià)為60元/件時(shí)，改變銷(xiāo)售策略，此時(shí)售價(jià)每增加1元需支付由此產(chǎn)生的額外費(fèi)用150元。該商品銷(xiāo)售量y（件）與售價(jià)x（元/件）滿足如圖2所示的函數(shù)關(guān)系（其中40≤x≤70，且x為整數(shù)）。

（1）直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)表達(dá)式;

（2）當(dāng)售價(jià)為多少時(shí)，商家所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

解：（1）設(shè)線段AB的表達(dá)式為y=kx+b（40≤x≤60），將點(diǎn)（40，300），（60，100）代入，得[300=40k+b，100=60k+b，]解得[k=-10，b=700，]

∴函數(shù)的表達(dá)式為y=-10x+700（40≤x≤60）。

設(shè)線段BC的表達(dá)式為y=mx+n（60

得[60m+n=100，70m+n=150，]解得[m=5，n=-200，]

∴函數(shù)的表達(dá)式為y=5x-200（60

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為

[y=-10x+700（40≤x≤60），5x-200（60

（2）設(shè)獲得的利潤(rùn)為w元。

①當(dāng)40≤x≤60時(shí)，

w=（x-30）（-10x+700）

=-10（x-50）2+4000。

∵-10<0，∴當(dāng)x=50時(shí)，w的值最大，最大值為4000元。

②當(dāng)60

w=（x-30）（5x-200）-150（x-60）

=5（x-50）2+2500。

∵5>0，∴當(dāng)60

∴當(dāng)x=70時(shí)，w的值最大，最大值為5×（70-50）2+2500=4500（元）。

綜上，當(dāng)售價(jià)為70元時(shí)，該商家獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為4500元。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)在實(shí)際生活中的綜合應(yīng)用，注意要分類(lèi)討論求出函數(shù)表達(dá)式以及利潤(rùn)的最大值。對(duì)于最大銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題，我們常利用函數(shù)的增減性來(lái)解答，解決的關(guān)鍵是要明確題意，確定變量，建立函數(shù)模型。特別要注意的是，我們一定要在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說(shuō)二次函數(shù)的最值不一定在x=[-b2a]處取得。