利用等面積格網(wǎng)模型的GNSS PDOP高效評(píng)估方法

王智韜 宋淑麗 焦國(guó)強(qiáng) 黃 超

1 中國(guó)科學(xué)院上海天文臺(tái)，上海市南丹路80號(hào)，200030 2 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京市玉泉路19號(hào)甲，100049

隨著B(niǎo)DS-3系統(tǒng)以及Galileo系統(tǒng)的建成，全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)即將進(jìn)入一個(gè)新的發(fā)展階段[1-2]。與此同時(shí)，用戶(hù)對(duì)導(dǎo)航定位精度的需求也在日益增加，為進(jìn)一步滿足用戶(hù)對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)服務(wù)性能的需求，廣大學(xué)者及相關(guān)機(jī)構(gòu)都開(kāi)展了針對(duì)各導(dǎo)航星座產(chǎn)品精度以及服務(wù)性能的研究[3-5]。其中針對(duì)衛(wèi)星星座狀態(tài)的研究主要圍繞對(duì)精度衰減因子PDOP的監(jiān)測(cè)與評(píng)估展開(kāi)，PDOP既能反映觀測(cè)未知數(shù)在精度評(píng)定過(guò)程中系數(shù)陣的大小，也能體現(xiàn)觀測(cè)衛(wèi)星同用戶(hù)接收機(jī)之間幾何空間構(gòu)型所帶來(lái)的誤差大小，因此PDOP成為反映用戶(hù)定位精度的重要指標(biāo)[6-7]。國(guó)內(nèi)外已有相關(guān)機(jī)構(gòu)及學(xué)者開(kāi)展了對(duì)PDOP的監(jiān)測(cè)評(píng)估研究，主要評(píng)估方式是在全球范圍內(nèi)構(gòu)建等經(jīng)緯度間隔格網(wǎng)模型GRID_ELL[8]，利用格網(wǎng)點(diǎn)來(lái)計(jì)算各個(gè)區(qū)域的PDOP，并以此來(lái)為該區(qū)域范圍內(nèi)的用戶(hù)提供參考。目前隨著GNSS實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)評(píng)估研究工作的進(jìn)一步開(kāi)展，對(duì)監(jiān)測(cè)評(píng)估算法的效率和可靠性又有了更高要求。在PDOP實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)方面，先前使用的GRID_ELL模型存在大量冗余格網(wǎng)點(diǎn)，降低計(jì)算效率的同時(shí)也增加了監(jiān)測(cè)評(píng)估產(chǎn)品對(duì)于存儲(chǔ)的需求，不利于PDOP長(zhǎng)周期實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的開(kāi)展。此外由于GRID_ELL模型受到投影畸變的影響[9-10]，高緯度地區(qū)格網(wǎng)點(diǎn)分布過(guò)于密集，一方面有悖于真實(shí)用戶(hù)位置的分布，另一方面也使各導(dǎo)航星座全球PDOP監(jiān)測(cè)評(píng)估的統(tǒng)計(jì)結(jié)果存在一定偏差。

為進(jìn)一步提升PDOP監(jiān)測(cè)評(píng)估的實(shí)效性與可靠性，推進(jìn)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)評(píng)估研究工作的開(kāi)展，本文引入等弧長(zhǎng)格網(wǎng)模型GRID_EAL和正二十面體球面格網(wǎng)模型GRID_IB兩種等面積格網(wǎng)模型[11]，應(yīng)用到PDOP的監(jiān)測(cè)評(píng)估研究中。

1 GRID_EAL模型及GRID_IB模型概述

相較于先前PDOP監(jiān)測(cè)評(píng)估中所使用的GRID_ELL模型，本文引入的兩種等面積格網(wǎng)模型均是從控制單位格網(wǎng)面積的角度出發(fā)，將地球表面分割成若干個(gè)面積近似相等的格網(wǎng)單元。此類(lèi)格網(wǎng)模型能有效避免由于地球球面效應(yīng)所引起的格網(wǎng)點(diǎn)分布不均勻的問(wèn)題，使格網(wǎng)點(diǎn)參照真實(shí)的區(qū)域面積在全球均勻分布。

1.1 GRID_EAL模型概述及其劃分方法

GRID_EAL模型通過(guò)設(shè)置單位格網(wǎng)弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的弧度大小來(lái)控制格網(wǎng)模型的疏密程度，并通過(guò)確定的弧長(zhǎng)大小來(lái)確定劃分格網(wǎng)的經(jīng)緯度間隔。其具體劃分步驟如下：

1)選取單位球以模擬真實(shí)地球，確定間隔弧度大小d以控制格網(wǎng)模型疏密程度；

2)確定格網(wǎng)模型在緯度上的劃分?jǐn)?shù)Nθ=round(π/d)，近似緯度間隔dθ=π/Nθ，近似經(jīng)度間隔dφ=d2/dθ；

3)選取劃分的任意緯圈θ=π·(i+0.5)/Nθ，i∈[0,Nθ-1]且i∈Z，則該緯圈上的經(jīng)度劃分?jǐn)?shù)Nφ=round(2π·sinθ/dφ)，其上格網(wǎng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)經(jīng)度φ=2jπ/Nφ，j∈[0,Nφ-1]且j∈Z。

1.2 GRID_IB模型概述及其劃分方法

GRID_IB初始格網(wǎng)點(diǎn)由正二十面體的12個(gè)頂點(diǎn)定義(表1)，通過(guò)將相鄰點(diǎn)所構(gòu)成的球面三角形進(jìn)一步細(xì)分，可以使格網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)一步加密[12]。因此該模型的格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)N與細(xì)分次數(shù)k間有如下函數(shù)關(guān)系：N=2+10×4k，且k∈N。其具體劃分步驟如下：

1)定義中心為原點(diǎn)的正二十面體，并對(duì)其每個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行定義；

2)利用已有頂點(diǎn)構(gòu)建Delaunay三角網(wǎng)；

3)逐一將每個(gè)三角形邊長(zhǎng)進(jìn)行二等分，其等分點(diǎn)構(gòu)成新的頂點(diǎn)，此過(guò)程中每個(gè)初始三角形都能被分割成4個(gè)新的三角形；

4)剔除重復(fù)頂點(diǎn)，并重復(fù)3)中的二等分操作直至將頂點(diǎn)數(shù)加密至所需數(shù)量；

5)將每個(gè)自原點(diǎn)指向頂點(diǎn)的矢量歸一化即可將每個(gè)頂點(diǎn)投影至模擬地球的單位球球面上，此過(guò)程可確保投影后的任意兩點(diǎn)間弧度相等；

表1 正二十面體初始頂點(diǎn)

2 格網(wǎng)模型差異分析

GRID_ELL模型與兩種等面積格網(wǎng)模型在不同緯度地區(qū)的格網(wǎng)點(diǎn)分布存在明顯差異。相較于GRID_ELL模型，兩種等面積格網(wǎng)模型均可顯著改善高緯度地區(qū)以及極地地區(qū)格網(wǎng)點(diǎn)過(guò)密的問(wèn)題。

2.1 不同格網(wǎng)模型格網(wǎng)點(diǎn)分布情況

為分析3種格網(wǎng)模型之間的差異，選取5°×5°的GRID_ELL模型(共計(jì)2 664個(gè)格網(wǎng)點(diǎn))、4°間隔的GRID_EAL模型(共計(jì)2 664個(gè)格網(wǎng)點(diǎn))以及進(jìn)行4次細(xì)分后構(gòu)建的GRID_IB模型(共計(jì)2 562個(gè)格網(wǎng)點(diǎn))進(jìn)行研究，對(duì)3種格網(wǎng)模型格網(wǎng)點(diǎn)在全球范圍內(nèi)的分布規(guī)律進(jìn)行分析和統(tǒng)計(jì)。結(jié)果表明，不同緯度地區(qū)格網(wǎng)點(diǎn)密度呈現(xiàn)出明顯的差異，GRID_ELL模型相較于兩種等面積格網(wǎng)模型在高緯度地區(qū)至極區(qū)范圍格網(wǎng)點(diǎn)密度過(guò)大(圖1)，而赤道附近的低緯度地區(qū)格網(wǎng)點(diǎn)較稀疏(圖2)，格網(wǎng)整體分布不均勻。

圖1 3種格網(wǎng)模型極地地區(qū)格網(wǎng)點(diǎn)分布Fig.1 Grid points distribution of three grid models in polar regions

圖2 3種格網(wǎng)模型赤道地區(qū)格網(wǎng)點(diǎn)分布Fig.2 Grid points distribution of three grid models in equatorial regions

2.2 不同緯度帶格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)對(duì)比

為進(jìn)一步分析3類(lèi)格網(wǎng)模型在不同緯度地區(qū)的格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)差異，本文按照低緯度地區(qū)(南北緯0°～30°)、中緯度地區(qū)(南北緯30°～60°)和高緯度地區(qū)(南北緯60°～90°)進(jìn)行區(qū)域劃分，得到各區(qū)域內(nèi)格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果(圖3)。結(jié)果表明，在高緯度地區(qū)，GRID_ELL模型格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)分別約為GRID_EAL模型和GRID_IB模型的2.59倍和3.05倍；在中緯度地區(qū)，GRID_ELL模型格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)分別約為GRID_EAL模型和GRID_IB模型的0.96倍和0.90倍；在低緯度地區(qū)，GRID_ELL模型格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)分別約為GRID_EAL模型和GRID_IB模型的0.57倍和0.62倍。

圖3 3種格網(wǎng)模型不同緯度地區(qū)格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)Fig.3 Grid points volume in different latitude regions among three grid models

對(duì)各格網(wǎng)模型不同緯度帶上格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)進(jìn)行擬合，得到3種格網(wǎng)模型格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)隨緯度變化的相關(guān)函數(shù)曲線(圖4)，圖中各曲線的積分面積與各格網(wǎng)模型格網(wǎng)點(diǎn)總數(shù)成正比。通過(guò)平移GRID_ELL模型的藍(lán)色線條可以看出，若GRID_ELL模型要在0°～30°范圍內(nèi)任意緯度帶上實(shí)現(xiàn)格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)密度與其他兩種格網(wǎng)模型點(diǎn)數(shù)密度相同，則需要大幅度加密格網(wǎng)，提高格網(wǎng)點(diǎn)總數(shù)，而這將進(jìn)一步增加其在高緯度地區(qū)的冗余格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)。

圖4 3種格網(wǎng)模型格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)隨緯度變化趨勢(shì)Fig.4 The trend of grid point volume with latitude among three grid models

3 基于3種格網(wǎng)模型的全球PDOP監(jiān)測(cè)評(píng)估

在上述實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，利用2020-11-23～11-29共7 d的廣播星歷對(duì)基于3種格網(wǎng)模型計(jì)算得到的全球PDOP評(píng)估結(jié)果及區(qū)域PDOP可用性評(píng)估結(jié)果進(jìn)行分析，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中采用的格網(wǎng)密度同先前實(shí)驗(yàn)一致，采樣間隔為300 s，衛(wèi)星截止高度角為15°。

3.1 全球PDOP

圖5(a)～(c)為3種格網(wǎng)模型利用GPS(共33顆星)得到的全球PDOP評(píng)估結(jié)果，(d)～(f)為3種格網(wǎng)模型利用BDS(更新至C59，共45顆星)得到的全球PDOP評(píng)估結(jié)果(截止高度角為15°)。由圖可見(jiàn)，3種格網(wǎng)模型的評(píng)估結(jié)果在圖像上呈現(xiàn)出一致性，兩種等面積格網(wǎng)模型在南北緯0°～50°范圍內(nèi)格網(wǎng)點(diǎn)更為密集，更好地反映了該區(qū)域由于導(dǎo)航衛(wèi)星星座構(gòu)型所引起的PDOP變化。在南北緯50°～90°范圍內(nèi)，兩種等面積格網(wǎng)模型去除了大量冗余格網(wǎng)點(diǎn)，但由于該范圍內(nèi)相同經(jīng)度間隔所對(duì)應(yīng)的實(shí)際距離大幅度縮短，因此少量格網(wǎng)點(diǎn)也能較為真實(shí)地反映出該區(qū)域的PDOP變化。

圖5 3種格網(wǎng)模型全球PDOPFig.5 Global PDOP of three grid models

3.2 全球PDOP可用性

PDOP可用性計(jì)算公式如下[1]：

(1)

式中，i為格網(wǎng)點(diǎn)標(biāo)識(shí)；T為采樣間隔；tstart、tend為開(kāi)始時(shí)間段與結(jié)束時(shí)間段；PDOPt為t時(shí)刻該格網(wǎng)點(diǎn)的PDOP值；fAcc為設(shè)置的PDOP閾值；bool{ }為布爾函數(shù)，當(dāng)滿足判斷條件時(shí)取值為1，否則為0。

由于在衛(wèi)星截止高度角為15°的情況下，四系統(tǒng)所計(jì)算出的全球PDOP可用性無(wú)法明顯反映出各區(qū)域PDOP可用性變化情況，因此本文主要針對(duì)GPS和BDS的PDOP可用性作進(jìn)一步分析。當(dāng)閾值為6時(shí)，各格網(wǎng)模型計(jì)算的PDOP可用性結(jié)果如圖6所示。由圖可見(jiàn)，3種格網(wǎng)模型所計(jì)算出的PDOP可用性結(jié)果同樣具有一致性，尤其是BDS，其可用性變化較為明顯的區(qū)域均集中在中低緯度地區(qū)，兩種等面積格網(wǎng)模型均能很好地反映全球PDOP的可用性分布情況。

圖6 3種格網(wǎng)模型計(jì)算的全球PDOP可用性結(jié)果Fig.6 Global PDOP availability from three grid models

此外，各系統(tǒng)基于3種格網(wǎng)模型計(jì)算出的全球PDOP可用性統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示(截止高度角為15°, PDOP≤6)，其中GPS與BDS衛(wèi)星數(shù)同先前實(shí)驗(yàn)一致，GLONASS共22顆星，Galileo共24顆星。由表可知，GLONASS的全球PDOP可用性統(tǒng)計(jì)結(jié)果在GRID_ELL模型和兩種等面積格網(wǎng)模型之間存在明顯差異，這是其衛(wèi)星構(gòu)型不同所致。GLONASS在高緯度地區(qū)的PDOP值明顯小于低緯度地區(qū)的PDOP值，呈現(xiàn)為帶狀分布。但結(jié)合真實(shí)情況下的高緯度地區(qū)面積、實(shí)際用戶(hù)數(shù)量和可見(jiàn)衛(wèi)星數(shù)變化可知，傳統(tǒng)的GRID_ELL模型給該區(qū)域附加了一個(gè)過(guò)高的權(quán)重，進(jìn)而提升了GLONASS在全球范圍內(nèi)的PDOP可用性統(tǒng)計(jì)值。因此結(jié)合實(shí)際情況考慮，兩種等面積格網(wǎng)模型所反映的統(tǒng)計(jì)結(jié)果更為真實(shí)準(zhǔn)確。

表2 3種格網(wǎng)模型全球PDOP可用性統(tǒng)計(jì)

4 等弧長(zhǎng)格網(wǎng)模型適用性分析

從上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，等面積格網(wǎng)模型在與GRID_ELL模型擁有近似相同的格網(wǎng)點(diǎn)總數(shù)情況下可以對(duì)全球PDOP及PDOP可用性實(shí)現(xiàn)有效、一致甚至更為真實(shí)準(zhǔn)確的監(jiān)測(cè)評(píng)估。在PDOP的監(jiān)測(cè)評(píng)估過(guò)程當(dāng)中，格網(wǎng)模型的最低分辨率會(huì)在很大程度上影響監(jiān)測(cè)評(píng)估結(jié)果的精度。由于兩種等面積格網(wǎng)模型的單位格網(wǎng)邊長(zhǎng)近似相等，因此在全球范圍內(nèi)的最低分辨率始終近似為常數(shù)；但GRID_ELL模型會(huì)受到投影畸變的影響，其最低分辨率等于其在赤道上2個(gè)相鄰格網(wǎng)點(diǎn)之間的距離。在格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)量近似相同的情況下，先前實(shí)驗(yàn)中的兩種等面積格網(wǎng)模型的最低分辨率實(shí)際上要遠(yuǎn)高于GRID_ELL模型的最低分辨率。因此在PDOP監(jiān)測(cè)評(píng)估過(guò)程中，若使用與GRID_ELL模型最低分辨率相同的等面積格網(wǎng)模型，即維持現(xiàn)有的監(jiān)測(cè)評(píng)估精度時(shí)，其格網(wǎng)點(diǎn)總數(shù)將大幅度減少，這將使PDOP監(jiān)測(cè)評(píng)估算法效率進(jìn)一步提升。

4.1 運(yùn)算效率優(yōu)化

由于GRID_IB模型最低分辨率的確定與其剖分次數(shù)相關(guān)，無(wú)法靈活設(shè)置最低分辨率，不利于實(shí)際應(yīng)用，因此本文主要針對(duì)GRID_EAL模型作進(jìn)一步研究。表3為不同最低分辨率下GRID_EAL模型和GRID_ELL模型應(yīng)用于BDS全球PDOP監(jiān)測(cè)評(píng)估算法時(shí)的表現(xiàn)。

表3 格網(wǎng)性能差異

由表可見(jiàn)，與目前PDOP監(jiān)測(cè)評(píng)估研究中常使用的5°×5°的GRID_ELL模型相比，4°、5°、6°、7°間隔的GRID_EAL模型在運(yùn)算效率上分別提升了2.8%、36.3%、55.1%、65.2%，在存儲(chǔ)空間需求上分別優(yōu)化了0.2%、34.1%、52.9%、64.3%。

4.2 可靠性驗(yàn)證

為確保利用GRID_EAL模型的PDOP監(jiān)測(cè)評(píng)估優(yōu)化算法能夠?qū)θ蚍秶鷥?nèi)的PDOP劇烈變化或是異常區(qū)域?qū)崿F(xiàn)有效的監(jiān)測(cè)與評(píng)估，進(jìn)一步針對(duì)不同分辨率的GRID_EAL模型評(píng)估結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行比較與分析。實(shí)驗(yàn)將1°×1°高密度的GRID_ELL模型全球PDOP評(píng)估結(jié)果視為參考值，將4°、5°、6°、7°間隔的GRID_EAL模型全球PDOP評(píng)估結(jié)果根據(jù)找尋最小二范數(shù)的格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)據(jù)原則，同樣?xùn)鸥窕癁?°×1°的高密度結(jié)果，并與參考值作差，設(shè)定差值小于等于1則將該格網(wǎng)點(diǎn)監(jiān)測(cè)評(píng)估結(jié)果視為準(zhǔn)確。在此基礎(chǔ)上對(duì)四系統(tǒng)24 h內(nèi)的全球PDOP評(píng)估結(jié)果準(zhǔn)確性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖7所示(截止高度角為15°，PDOP≤6,ABS≤1)。由圖可見(jiàn)，4°與5°間隔的GRID_EAL模型對(duì)四系統(tǒng)的全球PDOP評(píng)估結(jié)果準(zhǔn)確性基本都能維持在90%以上，6°與7°間隔的GRID_EAL模型結(jié)果準(zhǔn)確性則在85%以上。對(duì)于目前全球PDOP指標(biāo)性能較好的系統(tǒng)(如GPS和BDS)而言，其準(zhǔn)確性也要明顯高于其他系統(tǒng)。

圖7 GRID_EAL模型全球PDOP評(píng)估準(zhǔn)確性Fig.7 Global PDOP assessment accuracy rate of GRID_EAL

通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)可知，5°間隔的GRID_EAL模型能夠在滿足全球PDOP監(jiān)測(cè)評(píng)估準(zhǔn)確性的同時(shí)，在運(yùn)算效率及存儲(chǔ)上帶來(lái)36.3%和34.1%的提升與優(yōu)化。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文介紹GRID_EAL和GRID_IB兩種等面積格網(wǎng)模型，并對(duì)其與GRID_ELL模型之間的差異進(jìn)行分析。將兩種等面積格網(wǎng)模型應(yīng)用到全球PDOP監(jiān)測(cè)評(píng)估算法研究中，能夠顯著改善GRID_ELL全球格網(wǎng)點(diǎn)分布不均勻給全球PDOP統(tǒng)計(jì)結(jié)果帶來(lái)的偏差。對(duì)于不同格網(wǎng)間隔的GRID_EAL模型應(yīng)用到全球PDOP監(jiān)測(cè)評(píng)估的適用性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明，同目前基于GRID_ELL模型的全球PDOP監(jiān)測(cè)評(píng)估方法相比，利用5°間隔的GRID_EAL模型能在保持全球PDOP監(jiān)測(cè)評(píng)估準(zhǔn)確性的同時(shí)，在運(yùn)算效率和存儲(chǔ)上帶來(lái)36.3%和34.1%的提升與優(yōu)化，這有助于進(jìn)一步推動(dòng)全球PDOP長(zhǎng)周期實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的開(kāi)展。

致謝：上海天文臺(tái)iGMAS分析中心給予幫助和支持，IGS提供數(shù)據(jù)，在此一并表示感謝。