基于動態(tài)自由能磁滯模型的GMM-FBG電流傳感器磁滯建模與參數(shù)辨識

滕峰成, 楊雪璠, 呂登巖, 葉文昊

(燕山大學 電氣工程學院,河北 秦皇島 066004)

1 引 言

智能電網(wǎng)技術(shù)的應運而生,對用電設備的安全監(jiān)測提出了更高的要求。傳感器技術(shù)在電網(wǎng)中的應用為系統(tǒng)狀態(tài)分析和輔助決策提供術(shù)了技術(shù)支持[1]。基于超磁致伸縮材料(giant magnetostrictive material, GMM)的光纖布拉格光柵(fiber Bragg grating, FBG)電流傳感器已成為電流檢測的熱門選擇[2]。光纖布拉格光柵(FBG)具有本體不帶電,抗電磁干擾能力強,傳輸距離遠等優(yōu)點[3,4],將其與超磁致伸縮材料(GMM)組合在一起,充分利用了GMM伸縮系數(shù)大,高可控性和頻率特性好的特點[5]。但其中核心材料GMM存在固有的磁滯非線性和渦流損失特性,使得GMM-FBG電流傳感器的測量精度出現(xiàn)較大誤差[6]。為此需要對GMM材料的磁滯過程進行建模分析,基于該磁滯模型對傳感系統(tǒng)建模補償[7]。

常用的磁滯模型有基于純數(shù)學理論的Preisach模型[8]；描述鐵磁性材料內(nèi)部磁疇特性的J-A模型[9]；以神經(jīng)元的數(shù)學模型為基礎來描述磁滯過程的神經(jīng)網(wǎng)絡模型[10]；還有由Smith提出的自由能模型,該模型是基于GMM材料內(nèi)部的Helmholtz-Gibbs自由能關(guān)系來建立的,具有模型簡單、參數(shù)少的優(yōu)點[11]。經(jīng)典的自由能模型未考慮渦流損失,適用于準靜態(tài)狀態(tài)。但工頻下傳感器測得的電流會出現(xiàn)誤差,為解決這一問題,本文提出了一種動態(tài)自由能模型,該模型將磁化強度模型耦合超磁滯伸縮棒的等效渦流損失模型,使模型能夠更加精確地描述磁滯過程。進行傳感器測量實驗時,應用動態(tài)磁滯模型對傳感系統(tǒng)進行補償控制,提高傳感器的測量精度。

2 GMM-FBG電流傳感器模型

GMM-FBG電流傳感器的核心元件是超磁致伸縮材料(GMM)和光纖布拉格光柵(FBG),利用超磁致伸縮材料的磁滯伸縮效應,當待測電流通入傳感器中的螺線管時,置于螺線管中的GMM材料會在感應磁場的作用下產(chǎn)生應變,導致黏合在GMM材料表面的FBG的中心波長產(chǎn)生相應的應變,分析波長變化量從而達到測量電流的目的[12]。傳感器如圖1所示,由激磁線圈、超磁致伸縮棒、光纖光柵構(gòu)成。

圖1 GMM-FBG電流傳感器模型

根據(jù)電流磁效應,不考慮漏磁的情況下,被測電流通過傳感器的線圈時,產(chǎn)生的驅(qū)動磁場H為:

H=NIsin(2π f t+φ)+Hb

(1)

式中:N是單位長度匝數(shù)；I是激磁電流幅值；f是驅(qū)動頻率；Hb是偏置磁場強度；φ是初相。

在感應磁場的作用下,其磁化強度M可表示為:

(2)

式中: μ0是真空磁導率；B為磁感應強度。

根據(jù)磁滯伸縮效應,考慮GMM固有的磁滯非線性和預應力的影響,超磁致伸縮棒在驅(qū)動磁場中產(chǎn)生的應變量ε為[13]:

(3)

式中:ΔL為棒的伸長量；L為棒的長度；σ為外加預應力；EH為固定磁場強度下的楊氏模量；λs為飽和磁致伸縮系數(shù)；Ms為飽和磁化強度。

忽略溫度的影響,只考慮應力的作用,根據(jù)光纖的彈光效應,FBG中心波長變化量ΔλB與應變量Δε之間的關(guān)系為:

(4)

式中:Pe是有效彈光系數(shù)；Δε為超磁致伸縮棒應變量。

在利用超磁致伸縮材料測量電流時,磁場強度隨電流變化,磁感應強度的變化總是滯后于線圈電流一定的角度,即磁感應強度與磁場強度之間存在磁滯現(xiàn)象,另外超磁致伸縮棒在反復伸縮過程中會產(chǎn)生磁滯損耗,兩者的共同作用使得傳感器的輸入與輸出之間也存在非線性,輸出信號不能完全反應被測信號的信息,引起測量誤差。為消除磁滯非線性的影響,需要更精確地描述磁化強度與磁場強度之間的關(guān)系模型,對傳感系統(tǒng)進行建模補償來提高傳感器測量精度[14]。

3 動態(tài)自由能磁滯模型

3.1 自由能磁滯模型

自由能磁滯模型是基于超磁致伸縮材料內(nèi)部Helmholtz和Gibbs自由能關(guān)系來建立的。在外加磁場強度的作用下,材料內(nèi)部磁矩重新排列,導致自由能變化,從而產(chǎn)生磁化強度。根據(jù)超磁致伸縮材料內(nèi)部磁疇的Helmholtz和Gibbs自由能的近似關(guān)系,假設材料均勻,得到局部磁化強度模型,又因為GMM材料內(nèi)部晶體結(jié)構(gòu)的非均勻性符合統(tǒng)計學分布擴展到材料的非均勻有效場,推出整個GMM材料的磁場強度H和磁化強度M之間的磁滯非線性關(guān)系模型[15]。

(5)

并且,ψ關(guān)于e取最小時達到熱動力平衡,即

(6)

根據(jù)統(tǒng)計學,在3個平衡態(tài)附近,勢能的一階近似為二次方行為。則Helmholtz自由能可以用分段的二次行為表示:

(7)

式中:MI為Helmholtz自由能產(chǎn)生拐點時產(chǎn)生的磁化強度；MR為Helmholtz自由能達到最小時磁化強度；η為磁矩旋轉(zhuǎn)達到平衡狀態(tài)后的斜率。

由式(5)可得,Gibbs自由能可表示為:

G(H,M,T)=ψ(M,T)-HM

(8)

假設材料均勻,有效場He=應用場H,即外加磁場。定性分析磁矩旋轉(zhuǎn)后的平衡行為,即求解平衡條件:

(9)

(10)

(11)

(12)

τ(t)={t∈(0,tf]|H(t)=-Hc或H(t)=Hc}

(13)

式中tf為磁化時間。

(14)

經(jīng)典自由能模型由于未考慮渦流損失的影響,只適用于靜態(tài)條件下,為提高模型在工頻下的預測精度,構(gòu)造渦流損失模型,設計動態(tài)自由能模型。

3.2 動態(tài)自由能磁滯模型

動態(tài)自由能模型考慮了GMM棒的渦流損失,通過等效電阻的方法來構(gòu)造等效渦流損失模型。假設平行于超磁致伸縮棒放置一電阻Reddy,I是輸入電流,I1是通過感應線圈的電流,如圖2所示:

圖2 渦流損失等效圖

V=(I-I1)Reddy

(15)

則:

(16)

由式(2)得:B=μ0(H+M),又磁場強度H與I1存在如下關(guān)系:

H=c0I1

(17)

式中c0是線圈因子。經(jīng)整理可得渦流損失方程:

(18)

綜上所述,動態(tài)自由能磁滯模型由自由能磁滯模型耦合一常微分方程組成,可表示為:

(19)

4 參數(shù)辨識

4.1 非線性遺傳算法

由于非線性函數(shù)fmincon局部搜索能力強,全局搜索能力弱；遺傳算法全局搜索能力強,局部搜索能力弱,所以將非線性算法與遺傳算法結(jié)合起來,能得到問題的最優(yōu)解[16,17]。非線性遺傳算法參數(shù)辨識流程如圖3所示,圖3中M為種群個體數(shù)目。

圖3 非線性遺傳算法流程圖

4.2 適應度函數(shù)

根據(jù)最小二乘法,采用離散時間N代替連續(xù)時間t,假設適應度函數(shù)為:

(20)

式中:y(i)表示實測量；ymodel(i)表示模型計算量。

4.3 算法參數(shù)影響的分析

在遺傳算法中,因為種群數(shù)目m、交叉率p1、變異率p2、進化代數(shù)T對算法精度、速度均有影響。因此,需要分析各參數(shù)對算法的影響。

4.3.1 種群數(shù)目m對算法的影響

令T=300,p1=0.9,p2=0.09。取不同的m值,取模擬曲線和實驗曲線最大誤差cmax的平均值,算法結(jié)果如表1所示。

表1 種群數(shù)目m的影響

從算法運行結(jié)果看:種群數(shù)目m在預定范圍內(nèi)變化時,算法的計算精度在種群數(shù)目大于200后趨于平穩(wěn),因此,選擇m=200作為算法的運行參數(shù)。

4.3.2 進化代數(shù)T對算法的影響

令m=200,p1=0.9,p2=0.09。取不同的T值,取模擬曲線和實驗曲線最大誤差cmax的平均值,算法結(jié)果如表2所示。

表2 進化代數(shù)T的影響

從算法運行結(jié)果可知:種群數(shù)目T在預定范圍內(nèi)變化時,算法的計算精度在進化代數(shù)大于250時候基本不變,綜合考慮,可取算法運行代數(shù)T=300作為算法運行參數(shù)。

4.3.3 交叉率p1對算法的影響

令m=200,T=300,p2=0.09,取不同的p1值,取模擬曲線和實驗曲線最大誤差cmax的平均值,算法結(jié)果如表3所示。

表3 交叉率p1的影響

從算法運行結(jié)果可知:交叉率p1在預定范圍內(nèi)變化時,在0.8～0.9區(qū)間時,最大誤差基本不變,所以,交叉率p1的優(yōu)化取值區(qū)間為0.8～0.9。

4.3.4 變異率p2對算法的影響

令m=200,T=300,p1=0.85,取不同的p2值,取模擬曲線和實驗曲線最大誤差cmax的平均值,算法結(jié)果如表4所示。

表4 變異率p2的影響

從算法運行結(jié)果可知:交叉率p2在預定范圍內(nèi)變化時,在0.08～0.10區(qū)間時,最大誤差最小,所以,交叉率p2的優(yōu)化取值區(qū)間為0.08～0.10。

4.3.5 交叉率p1和變異率p2的曲線擬合

上述分析了交叉率和變異率對算法的影響,得到了交叉率和變異率的優(yōu)化取值區(qū)間:p1=0.8～0.9、p2=0.08～0.10。下面將用所提到的交叉率與變異率曲線擬合方法,對交叉率和變異率在優(yōu)化區(qū)間內(nèi)進行曲線擬合。

令m=200,T=300,p1=0.8～0.9,p2=0.08～0.10。對每一組的m、T、p1、p2值,算法運行10次,計算得到的交叉率p1和變異率p2的優(yōu)化數(shù)據(jù)組合如表5所示。

表5 p1和p2優(yōu)化組合數(shù)據(jù)表

對交叉率和變異率在優(yōu)化區(qū)間內(nèi)進行了曲線擬合,如圖4所示,式(21)為曲線擬合方程,曲線擬合度為0.992 4。

圖4 p1和p2的最佳組合的曲線擬合

(21)

4.3.6 參數(shù)辨識結(jié)果

上述結(jié)算得到算法的最佳參數(shù)組合為:m=200,T=300,p1=0.84,p2=0.92。

非線性遺傳算法的適應度曲線如圖5所示。

圖5 適應度曲線圖

經(jīng)過非線性遺傳算法的優(yōu)化,模型的參數(shù)辨識結(jié)果如表6所示。

表6 模型參數(shù)辨識結(jié)果表

該模型未考慮渦流損失,適用于準靜態(tài)狀態(tài)下,為驗證模型有效性,我們對模型進行仿真測試,勵磁電流從0逐漸增加到1.5 A,再逐漸減小到0,得到優(yōu)化后的磁滯回線。結(jié)果如圖6所示。從圖6可以看出模型輸出能夠較好地吻合實測數(shù)據(jù)值。

圖6 模型仿真與實驗對比圖

圖7為誤差分析圖,可以得出模型誤差小于2.5%。

4.4 參數(shù)Reddy的計算

已知ρ=5.8×10-7Ω/m,a=0,b=5 mm,L=4.7×10-2m,超磁滯伸縮棒的等效電阻Reddy為:

(22)

式中:ρ為磁滯伸縮材料的電阻系數(shù)；b和a是磁滯伸縮棒的外徑和內(nèi)徑。

由此可得Reddy=60Ω。

5 實驗及結(jié)果分析

搭建GMM-FBG電流傳感器實驗平臺,驗證動態(tài)自由能磁滯模型的有效性,如圖8所示。其中,交流驅(qū)動提供頻率和功率可調(diào)的交流電流產(chǎn)生勵磁磁場,直流線圈提供偏置磁場用來消除倍頻現(xiàn)象,解調(diào)儀測量光纖光柵中心波長。

圖8 GMM-FBG交流傳感試驗臺示意圖

實驗中采用的超磁滯伸縮材料為長47 mm、直徑5 mm的Terfenol-D棒,其飽和磁致伸縮系數(shù)為1.263×10-3。所選的光纖光柵材料半功率譜寬0.2 nm,峰值反射率為95%。將FBG用環(huán)氧樹脂膠粘貼在GMM棒上[18]。對GMM棒施加10 MPa預應力,用隔熱材料包裹住GMM棒,減小溫度對實驗的影響。

調(diào)節(jié)交流驅(qū)動與直流電源,給勵磁線圈通入大小為3 A的工頻正弦交流電流,給直流線圈通入4 A的直流電流,計算機同步錄入工頻交流電流輸入信號與波長輸出信號,如圖9所示。在偏置磁場大于勵磁磁場的影響下,輸出波長能夠較好地跟隨輸入電流信號同頻率、同幅值波動。同時,可以觀察到,輸出波長信號對比輸入電流信號上窄下寬,這說明了超磁滯伸縮材料存在磁滯非線性。

圖9 電流與波長對比圖

保持偏置磁場不變,分別在10 Hz和50 Hz頻率下,給勵磁線圈通入幅值為3 A的交流電流,得到實際測量的滯回曲線和模型預測曲線,如圖10所示。

從圖10可以看出,隨著頻率的升高,磁滯環(huán)變寬,這是因為渦流損失隨頻率升高變嚴重,這說明動態(tài)自由能磁滯模型是合理的。同時,模型預測圖形與實際測量圖形能夠較好的吻合,驗證了動態(tài)磁滯模型性能良好。

為解決GMM-FBG電流傳感器在測量過程中,磁滯非線性和渦流損失帶來的誤差,利用上述研究過程中發(fā)現(xiàn)的磁滯規(guī)律,對GMM傳感特性進行補償控制,具體流程如圖11所示。其中:ε為誤差精度；ΔI為電流修正量；λ為實際測量波長；λ′為模型預測波長。

圖11 補償控制流程圖

經(jīng)過補償控制得到一個周期內(nèi)在正弦交流電流勵磁作用下實際測量波長與模型預測波長的對比,如圖12所示。

圖12 模型預測波長與實際測量波長對比圖

對比兩個波形得到誤差分析圖,如圖13所示,補償后,系統(tǒng)誤差在3.6%以內(nèi),電流測量靈敏度達到0.069 nm/A。

圖13 誤差圖

5 結(jié) 論

基于動態(tài)自由能磁滯模型的補償控制不僅解決了GMM-FBG交流電流傳感器在測量過程由于磁滯非線性帶來的誤差,還解決了磁性材料渦流損失帶來的誤差,提高了傳感器在工頻下的測量精度。經(jīng)過動態(tài)自由能磁滯模型的補償控制,GMM-FBG電流傳感系統(tǒng)電流靈敏度可達到0.069 nm/A,測量精度誤差在3.6%以內(nèi)。