計(jì)算電容屏蔽電極位移測量的不確定度評估

王建波, 殷 聰, 錢 進(jìn), 劉忠有,黃 璐, 楊 雁, 陸祖良

(中國計(jì)量科學(xué)研究院,北京 100029)

1 引 言

基于“新”電磁原理(Lampard-Thompson原理)的計(jì)算電容裝置,是電磁計(jì)量領(lǐng)域中基礎(chǔ)的、不可或缺的精密實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)[1,2]。它利用圓柱形電極對稱排列形成的二維電場,通過測量屏蔽電極沿軸向的位移,實(shí)現(xiàn)對電容值的高準(zhǔn)確度測量。它直接建立了SI單位中電容單位法拉與長度單位米之間的聯(lián)系。2000年以來,國際計(jì)量局(BIPM)[3]、澳大利亞國家測量實(shí)驗(yàn)室(NMIA)[4]、美國標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究院(NIST)[5]、中國計(jì)量科學(xué)研究院(NIM)[6～9]、法國國家計(jì)量院(LNE)[10]、加拿大國家研究院(NRC)等世界主要計(jì)量機(jī)構(gòu)均著手研制新一代計(jì)算電容裝置,以實(shí)現(xiàn)10-9量級甚至更優(yōu)的測量不確定度指標(biāo),進(jìn)一步提升電磁計(jì)量的水平[11]。

用計(jì)算電容裝置實(shí)現(xiàn)微小電容值(0.2至 0.6 pF)精確測量的關(guān)鍵,在于對其屏蔽電極位移的高準(zhǔn)確度測量。計(jì)算電容中采用鎖定Fabry-Perot干涉儀來實(shí)現(xiàn)屏蔽電極在固定工作距離下位移變化的精密測量[12,13]。計(jì)算電容中使用的Fabry-Perot干涉儀,由安裝于固定屏蔽電極頂部的凹面反射鏡和可動屏蔽電極底部的平面鏡構(gòu)成,干涉儀的腔長,由私服鎖定控制系統(tǒng)鎖定在高穩(wěn)定激光半波長的整數(shù)倍上[14,15]。因此,Fabry-Perot干涉儀在腔長改變情況下,其移動位移嚴(yán)格等于激光半波長的整數(shù)倍。即這種腔長鎖定干涉儀能夠?qū)崟r補(bǔ)償腔長的漂移,長時間保持腔長穩(wěn)定,非常有利于計(jì)算電容值的精確測量。

本文建立了計(jì)算電容中屏蔽電極位移測量的模型;詳細(xì)分析了位移測量中的各影響因素,并對其不確定度進(jìn)行了評估和分析,最后獲得了計(jì)算電容中屏蔽電極位移測量的總不確定度。

2 計(jì)算電容屏蔽電極位移測量方法

根據(jù)Lampard-Thompson原理,真空條件下,長度為L1和L2的導(dǎo)電柱面對應(yīng)的交叉電容的平均值分別為C1和C2,且C1= ln 2×L1×ε0/π,C2=ln2×L2×ε0/π;交叉電容值僅與軸向長度L相關(guān),如圖1所示。

圖1 計(jì)算電容中交叉電容示意圖

工程實(shí)現(xiàn)中,由于準(zhǔn)確測量長度L的絕對值難度較大,且存在端部效應(yīng)的影響,所以通常采用測量電極位置的相對變化來精確測量電容的變化值,即:

ΔC=C1-C2=ln2×ΔL×ε0/π

=C0×ΔL

(1)

利用鎖定Fabry-Perot干涉儀測量屏蔽電極位移ΔL的測量模型可表征為:

(2)

式中:λ為激光波長;ΔN為半波長的變化數(shù);ε0為干涉儀鎖定半波長整數(shù)倍的誤差;εn為真空空氣折射率的修正;εc為位移測量的余弦誤差;εg為Gouy相移修正。

3 位移測量結(jié)果的影響因素分析

3.1 Fabry-Perot干涉儀鎖定

計(jì)算電容中,Fabry-Perot干涉儀腔長鎖定在λ/2的整數(shù)倍上,鎖定效果是決定干涉儀性能的關(guān)鍵因素之一,鎖定干涉儀的工作原理,可參考文獻(xiàn)[12]。干涉儀鎖定后的抖動越小,其腔長就越接近λ/2的整數(shù)倍。干涉儀鎖定后的誤差信號和透射峰的抖動如圖2所示。干涉儀鎖定引入的腔長相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度可寫為:

圖2 干涉儀鎖定后誤差信號和透射光強(qiáng)的信號抖動

(3)

式中:δV為鎖定后誤差信號的抖動;Vp-p為誤差信號的峰峰值;fFWHM為干涉儀透射峰的半高全寬;ν為激光頻率。實(shí)驗(yàn)中,半高全寬和激光頻率分別為50 MHz和474 THz,Vp-p為0.9 V,δV為0.013 V。計(jì)算得到,鎖定引入的腔長相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度為δLo/L=1.5×10-9。

2.2 激光波長

計(jì)算電容的Fabry-Perot干涉儀,采用經(jīng)典蘭姆凹陷穩(wěn)頻激光做直接入射光源,并引入碘穩(wěn)頻He-Ne激光實(shí)時測量蘭姆凹陷穩(wěn)頻激光的波長[17]。與傳統(tǒng)干涉儀不同之處在于,計(jì)算電容中的Fabry-Perot干涉儀處于鎖定狀態(tài),其測量的位移為不連續(xù)的λ/2整數(shù)倍。在計(jì)算電容的一次測量過程(5次電容測量)中,需要完成4次干涉儀腔長的移動,每次腔長移動到電容電橋的工作點(diǎn)附件時,干涉儀鎖定至蘭姆凹陷穩(wěn)頻激光半波長的整數(shù)倍。此時,在不考慮其它因素干擾情況下,干涉儀腔長抖動與激光波長抖動成正比。在測量電容時,碘穩(wěn)頻激光同步測量并獲得蘭姆凹陷穩(wěn)頻激光波長的漂移曲線,如圖3所示。激光的平均頻差值為133.4 MHz,但在單次測量過程(6 min)中,激光波長漂移的標(biāo)準(zhǔn)為0.4 MHz。碘穩(wěn)頻激光自身引入的波長測量不確定度在10-11量級,對波長測量結(jié)果的影響可忽略。因此,由激光波長漂移引入的腔長測量不確定度為δλ/λ=0.4 MHz/474 THz=8.4×10-10。

圖3 計(jì)算電容值測量過程中激光波長漂移結(jié)果

2.3 殘余氣體折射率

計(jì)算電容中的Fabry-Perot干涉儀工作在真空狀態(tài)下。實(shí)驗(yàn)前,利用機(jī)械泵和分子泵組抽取密封腔內(nèi)的真空度至10-4mbar。實(shí)驗(yàn)過程中,關(guān)閉泵組,整個密封腔的真空度維持在10-3mbar左右,根據(jù)Elden公式[18,19]:

(4)

式中:(n-1)tp為空氣折射率;(n-1)s為標(biāo)準(zhǔn)條件下的空氣折射率;p為氣壓,Torr(1 Torr=133.322 Pa);t為空氣溫度,℃。標(biāo)準(zhǔn)條件下的空氣折射率(n-1)s滿足:

(n-1)s×108=8 342.13+2 406 030·

(130-σ2)-1+15 997(38.9-σ2)-1

(5)

式中:σ為波數(shù),μm-1。當(dāng)激光波長λ=633 nm時,(n-1)s×108=2.765 2×104,將其代入式(4),得到(n-1)tp=3.6×10-10。因此,在測量計(jì)算電容屏蔽電極的位移過程中,殘余氣體引入的相對標(biāo)準(zhǔn)測量不確定度為:

(6)

2.4 測量余弦誤差

余弦誤差是指運(yùn)動軸與激光束之間的夾角安裝誤差。測量位移與真實(shí)位移之間的差值可寫為:

(7)

計(jì)算電容中Fabry-Perot干涉儀引入的余弦誤差,包括有主體中心軸的復(fù)現(xiàn)、固定屏蔽電極的安裝、輔助光路與實(shí)驗(yàn)光路的重合,以及可動電極的安裝等4方面,下面分別介紹。

2.4.1 中心軸的復(fù)現(xiàn)

計(jì)算電容主體的安裝調(diào)試過程中,以4根主電極的幾何對稱中心作為后續(xù)安裝固定屏蔽電極和可移動屏蔽電極的唯一參考,如此,才能保證Fabry-Perot干涉儀的移動方向與主電極對稱軸重合,最大程度地減小余弦誤差。4根主電極安裝于不銹鋼圓筒內(nèi),并通過上、下圓形端板固定,如圖4(a)所示。在上、下端板上的中心處,各有一個直徑為7 mm的中心圓孔,4根主電極的安裝調(diào)試就以上、下端板中心圓孔的中心線作為參考,利用特殊設(shè)計(jì)的電容傳感器對4根主電極的平行性、相互之間的間距、傾斜量和扭擺角度進(jìn)行大量、反復(fù)的測量和調(diào)整,最終可將主電極自身的安裝誤差控制在0.6×10-9以內(nèi)。

圖4 主電極中心軸復(fù)現(xiàn)

為了準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)計(jì)算電容主電極的中心對稱軸,以指導(dǎo)后續(xù)對Fabry-Perot干涉儀的安裝,本文作者設(shè)計(jì)了如圖4(b)所示的光路。可見,輔助激光器發(fā)出的光束穿過光闌后,利用光束提升裝置將光束由上而下依次穿過兩個定位圓片,產(chǎn)生的激光衍射光斑圖像被CCD接收。兩個定位圓片與不銹鋼圓筒的上、下端板中心圓孔保持緊配合,且中心加工有直徑為1 mm的小孔。當(dāng)光束穿過第一個小孔時,衍射圖像被CCD記錄,并準(zhǔn)確記錄衍射圖像中心坐標(biāo)。裝上第二個定位圓片后,通過CCD觀察二次衍射的光斑圖像,并記錄衍射光斑中心坐標(biāo)。根據(jù)惠更斯子波衍射理論,高斯激光束的小孔衍射特性在光軸附近可寫為:

(8)

圖5為經(jīng)調(diào)整得到的衍射光斑在CCD的中心位置。當(dāng)3種情況下,衍射光斑中心位置差小于20 μm時,輔助激光的入射方向與主電極的幾何對稱中心的夾角小于4×10-5rad。經(jīng)過上述調(diào)試過程,可實(shí)現(xiàn)將計(jì)算電容的對稱參考軸過渡至入射的輔助激光光線上。而后續(xù)的安裝調(diào)試,將以輔助激光光線作為參考,進(jìn)行屏蔽電極和可移動電極的調(diào)試。

圖5 激光束的衍射光斑圖像

2.4.2 固定電極的安裝

固定屏蔽電極和主電極不銹鋼圓筒的安裝過程,如圖6所示。對固定電極的安裝,首先要保證固定屏蔽電極位于主電極的中心,然后,輕微調(diào)整屏蔽電極的角度,以確保其與輔助激光器的入射光垂直。實(shí)驗(yàn)中,利用特制的電容傳感器實(shí)時測量屏蔽電極釘子頭與主電極間中心的偏差,并反復(fù)輕微移動固定屏蔽電極的基盤,以使電極盡可能位于主電極的對稱中心位置。

圖6 固定屏蔽電極的調(diào)試示意圖

對固定屏蔽電極反射鏡角度的調(diào)節(jié),是通過輕微移動球形凹面中的調(diào)節(jié)盤,使其圍繞基盤的球心點(diǎn)輕微擺動來實(shí)現(xiàn)。通過觀測反射圓環(huán)與光闌A中心孔的重合程度,可以判斷凹面反射鏡是否與輔助激光光線垂直。實(shí)驗(yàn)中,固定屏蔽電極凹面反射鏡與光闌A的距離為3 m,反射圓環(huán)與光闌中心重合的判斷不確定度在0.2 mm以內(nèi),因此,屏蔽電極凹面反射鏡與輔助激光光線的夾角在0.067 mrad以內(nèi)。

2.4.3 輔助光路與實(shí)驗(yàn)光路的重合

固定屏蔽電極安裝調(diào)試完成后,需要將輔助激光光線的入射方向過渡到工作激光上,然后,才能進(jìn)行可動屏蔽電極的安裝和調(diào)試。由于固定屏蔽電極釘子頭中凹面反射鏡的反射率為85%,相當(dāng)一部分輔助激光能透過反射鏡片為工作激光入射方向的調(diào)整提供引導(dǎo)光線。由于固定屏蔽電極、可動屏蔽電極以及主電極在真空狀態(tài)下工作,工作激光需經(jīng)過帶楔角入射窗(防止入射窗的前后表面產(chǎn)生寄生干涉)和45°反射鏡(將光線由水平方向變?yōu)榇怪狈较?才能入射至Fabry-Perot干涉儀中。對工作激光與出射的輔助光線的共線調(diào)整,主要依靠光學(xué)平臺上兩個相距5 m的1 mm光闌來實(shí)現(xiàn)。兩個光闌分別放置于輔助激光和工作激光的出射口處,以最大程度地增加光闌之間的距離,提高兩束光重合程度的判斷靈敏度。反復(fù)實(shí)驗(yàn)調(diào)整結(jié)果表明,工作激光和輔助激光與光闌中心重合的判斷誤差可以很好地被控制在0.3 mm以內(nèi),此條件下,兩束光線的夾角在0.06 mrad以內(nèi),由該幾何誤差角引入的位移測量不確定度為1.8×10-9。

2.4.4 可動電極的安裝

對可動屏蔽電極的安裝調(diào)試,需要以工作激光的入射光線做參考,依據(jù)Fabry-Perot干涉儀透射光斑是否為TEM00模為標(biāo)準(zhǔn),反復(fù)移動可動屏蔽電極,以保證在不同腔長(100～300 mm)下干涉儀的輸出模式無變化。為了便于實(shí)時觀測干涉儀的輸出模式,及時通過真空電機(jī)調(diào)節(jié)可動屏蔽電極的傾斜角度,作者設(shè)計(jì)了如圖7所示的安裝調(diào)試系統(tǒng)。圖7中,工作激光在PZT掃描電壓作用下,能夠大范圍、周期性地掃描激光頻率,使得Fabry-Perot干涉儀可周期性地透射出激光光斑。通過對透射光斑的分析,可以判斷可動屏蔽電極在移動過程中的輸出模式是否穩(wěn)定,由此確定可動屏蔽電極的安裝效果。

對可動屏蔽電極的調(diào)整,需要反復(fù)上、下移動,以觀測干涉儀的透射光在移動過程中的透射曲線與輸出光斑的形狀。調(diào)整過程中,Fabry-Perot干涉儀的透射光強(qiáng)如圖8(a)、圖8(b)所示。若可動屏蔽電極底部的平面反射鏡未與入射激光垂直,干涉儀的透射光強(qiáng)曲線會出現(xiàn)明顯的多橫模,如圖8(a)所示,并在透過峰的旁邊出現(xiàn)一系列較低的透過峰。此時,Fabry-Perot干涉儀因調(diào)整誤差工作在多橫模狀態(tài)下會產(chǎn)生余弦調(diào)整誤差,導(dǎo)致可動屏蔽電極位移的實(shí)際測量值將明顯大于真實(shí)移動值?？蓜悠帘坞姌O調(diào)整到與入射光線垂直時,干涉儀的透射曲線呈系列尖峰狀,如圖8(b)所示,透過峰的底部無明顯的寄生小尖峰。此時,Fabry-Perot干涉儀工作在基橫模狀態(tài)下,平面反射鏡基本與入射光線垂直,可動屏蔽電極沿著4根主電極的對稱軸上下移動。

為評估可動屏蔽電極的安裝效果,取干涉儀的中間腔長L=200 mm進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)Fabry-Perot干涉儀的工作原理,干涉儀的透過率可寫為:

(9)

正入射情況下,相位差與干涉儀的腔長相關(guān),且Θ=4π L/λ。考慮干涉儀處于共振狀態(tài)附近時,由平面反射鏡安裝誤差引起干涉儀的透射率控制在T=95%以上,利用式(9)可計(jì)算得到:

Θ=2mπ ±δΘ; m=1,2,…

則計(jì)算得到δΘ=0.083rad。

假設(shè)平面反射鏡與輔助光線存在安裝誤差角δθ,由此引起的腔長變化可寫為δL=2ω′×δθ,其中ω′為干涉儀平面鏡上通光孔徑,則相位差的變化為:

δΘ=4πδL/λ=8π ω′δθ/λ

(10)

代入ω′=2.5mm,λ=633nm,得到δθ=0.02mrad,由此可知,可動電極安裝誤差對位移測量的影響為2.0×10-10。

2.4.5 整體安裝的重復(fù)性

為了評估計(jì)算電容中光軸與計(jì)算電容機(jī)械軸重合性調(diào)整的方法,設(shè)計(jì)了如圖9所示的模擬實(shí)驗(yàn)。小孔1和小孔2分別模擬實(shí)際調(diào)整過程中分別位于計(jì)算電容主體結(jié)構(gòu)的上、下兩端片。兩個小孔的中心,在設(shè)計(jì)、加工和裝調(diào)過程中均能保證與主體機(jī)械軸高度重合;加工和裝配精度,可以保證兩個小孔中心線與計(jì)算電容主體機(jī)械軸等效。因此,在調(diào)整實(shí)驗(yàn)中,只要能夠做到準(zhǔn)直光束穿過兩個小孔中心,就可認(rèn)為光軸與機(jī)械軸重合。考慮到光束的發(fā)散角及光強(qiáng)分布等因素,實(shí)驗(yàn)中采用He-Ne激光作為準(zhǔn)直光束,實(shí)驗(yàn)過程如下:

圖9 Fabry-Perot干涉儀軸向調(diào)整原理示意

調(diào)節(jié)反射鏡1和反射鏡2,使準(zhǔn)直光束依次通過小孔1和小孔2的中心。如果小孔的孔徑小于光斑半徑時,則穿過小孔的光束會產(chǎn)生激光衍射環(huán)圖樣。如果衍射環(huán)不同心,則反復(fù)調(diào)整反射鏡1和2,直至衍射環(huán)同心。反射鏡3的作用,是為了將穿過小孔的激光束反射到更遠(yuǎn)處,使衍射圖樣變大,以便在接收屏上更準(zhǔn)確地對衍射環(huán)進(jìn)行觀測。在實(shí)驗(yàn)中,通過一臺光自準(zhǔn)直儀對調(diào)整結(jié)果的角度值進(jìn)行測量。圖9中的反射鏡1為雙面反射鏡,其正面作用是與反射鏡2相配合,改變穿過小孔1和小孔2準(zhǔn)直光束的入射角度,以保證每次調(diào)節(jié)完成后,在接收屏上看到對稱的激光衍射環(huán);其背面作用是將光自準(zhǔn)直儀出射的光反射回來,以讀取調(diào)整實(shí)驗(yàn)完成后反射鏡角度的變化值。

對衍射環(huán)同心度的判斷,實(shí)質(zhì)上是對光軸與機(jī)械軸重合度的判斷,也就是對光軸與機(jī)械軸之間夾角趨于零程度的判斷。

實(shí)驗(yàn)中,采用孔徑為1 mm的小孔,共進(jìn)行11次重復(fù)性驗(yàn)證實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示。由圖10可知,采用準(zhǔn)直激光加小孔衍射方法確定的光軸與機(jī)械軸夾角調(diào)整重復(fù)性的標(biāo)準(zhǔn)差為7.0″,由此引入的位移測量相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度為5.8×10-10。

圖10 Fabry-Perot干涉儀余弦誤差模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果

綜合上述分析,計(jì)算電容中Fabry-Perot干涉儀的余弦誤差為3.0×10-9。其具體分析示于表1。

表1 計(jì)算電容Fabry-Perot干涉儀余弦誤差

2.5 Gouy相位修正

采用高斯激光束對屏蔽電極位移進(jìn)行高準(zhǔn)確度測量時,特別是當(dāng)位移測量準(zhǔn)確度達(dá)到10-8量級甚至更優(yōu)時,高斯激光束弧形的等相位面對位移測量的影響就需要仔細(xì)評估。不同于理想的平面波光束傳播,高斯激光束在傳播過程中,其等相位面的曲率半徑及其之間的距離,都會隨傳播距離的變化而改變。Fabry-Perot干涉儀中,高斯激光束的Gouy相移表示為腔內(nèi)平面光場與高斯激光場之間的相位差。對于平行凹面腔,Gouy相移可寫為:

φ(L)=arctan(L/zR)

(11)

式中:zR=π ω0/λ,為Fabry-Perot干涉儀的聚焦參數(shù);ω0為高斯激光束的腰斑半徑。式(10)可化簡為:

(12)

式中:ρ為凹面反射鏡的曲率半徑。對式(11)進(jìn)行曲率半徑ρ的微分,可得到:

(13)

式(13)表示因干涉儀反射鏡曲率半徑ρ存在測量誤差引起的Gouy相位的修正不確定度。取δρ/ρ=1%,ρ=5 000mm,λ=633nm,L1=111.3mm以及L2=316.3mm,計(jì)算得到δ(ΔLG)=0.15nm,δ(ΔLG)/ΔL=7.5×10-10。上述計(jì)算,要求對曲率半徑的測量準(zhǔn)確度要達(dá)到1%。對這個測量要求,采用激光共焦測量法完全可以滿足。

2.7 計(jì)算電容測量結(jié)果的復(fù)現(xiàn)性

計(jì)算電容中的Fabry-Perot干涉儀是一種腔長鎖定干涉儀。該干涉儀的腔長鎖定至穩(wěn)頻激光器,因此腔長呈現(xiàn)臺階式狀態(tài),并嚴(yán)格等于激光半波長的整數(shù)倍。該干涉儀的位移測量就簡化為測定激光半波長的整數(shù)倍。圖11表示該干涉儀的臺階式位移過程。該干涉儀的位移以λ/2為步長,增加或減少λ/2的整數(shù)倍,并在任意的整數(shù)倍λ/2腔長上保持位置恒定。圖11中的小插圖,給出了該干涉儀保持腔長鎖定時,其腔長的細(xì)微抖動,可見其抖動的峰峰值為0.4 nm。

圖11 鎖定Fabry-Perot干涉儀臺階式位移過程

計(jì)算電容中,屏蔽電極干涉儀分別處于腔長111.3 mm和316.3 mm兩種狀態(tài)時,干涉儀的腔長鎖定至高穩(wěn)定激光,然后利用電容電橋?qū)煞N腔長下計(jì)算電容值(0.2 pF,0.6 pF)進(jìn)行測量。為了評價屏蔽電極腔長鎖定干涉儀位移測量的復(fù)現(xiàn)性,對計(jì)算電容傳遞至1 pF標(biāo)準(zhǔn)電容器的值進(jìn)行了12次復(fù)現(xiàn)性測量,測量結(jié)果提供在表2中。依據(jù)計(jì)算電容值與干涉儀位移間的線性關(guān)系,如式(1)所示,計(jì)算電容值的復(fù)現(xiàn)性主要取決于干涉儀位移測量結(jié)果的復(fù)現(xiàn)性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,計(jì)算電容復(fù)現(xiàn)性的標(biāo)準(zhǔn)差為3.1×10-9。

表2 計(jì)算電容值測量1 pF標(biāo)準(zhǔn)電容器的復(fù)現(xiàn)性

4 屏蔽電極位移測量不確定度評估

依據(jù)上述不確定度分析,整理得到計(jì)算電容中Fabry-Perot腔長鎖定干涉儀的位移測量不確定度各分量的大小,如表3所示,由其計(jì)算得到的合成總相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度為4.7×10-9。

表3 位移測量不確定度分量大小

5 結(jié) 論

本文論述了計(jì)算電容中Fabry-Perot鎖定干涉儀的不確定度分析和評定方法。具體圍繞Fabry-Perot鎖定干涉儀的5大影響因素,即殘余氣體折射率、余弦誤差、激光波長、干涉儀鎖定以及相位修正,逐項(xiàng)分析計(jì)算,并結(jié)合測量結(jié)果的重復(fù)性進(jìn)行了綜合評價。結(jié)果顯示,計(jì)算電容中Fabry-Perot鎖定干涉儀在200 mm移動距離下,其位移測量的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度為4.7×10-9。