基于序貫思想的高階無跡變換多普勒雷達(dá)跟蹤算法

張志斌

（昆明理工大學(xué) 信息工程與自動化學(xué)院，云南 昆明 650504）

0 引 言

在當(dāng)今社會生產(chǎn)、生活過程中，人們在軍事、工業(yè)生產(chǎn)及社會活動等領(lǐng)域都會使用雷達(dá)技術(shù)[1]。為了滿足頻率穩(wěn)定度的要求，方便檢測出回波信號微小的頻率變化，即由目標(biāo)相對于雷達(dá)的徑向運(yùn)動而引起的雷達(dá)回波信號的頻率變化，研究者基于電磁波的多普勒效應(yīng)研發(fā)了多普勒雷達(dá)[2-4]。多普勒雷達(dá)對雷達(dá)信號的快速有效處理分析是重點(diǎn)研究領(lǐng)域，同時(shí)對目標(biāo)的跟蹤也是這種信息技術(shù)應(yīng)用的重要基礎(chǔ)[5]。因此，研發(fā)出既可以高效探測目標(biāo)，又能夠提供精確有效的位置信息的多普勒雷達(dá)跟蹤算法，是這些應(yīng)用的首要條件。目前，多普勒雷達(dá)技術(shù)主要應(yīng)用在戰(zhàn)場觀察、環(huán)境監(jiān)測、災(zāi)害預(yù)警及搶險(xiǎn)救災(zāi)等應(yīng)用領(lǐng)域，未來前景非常廣闊。

利用多普勒雷達(dá)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)跟蹤[6]的過程，已經(jīng)有很多學(xué)者展開研究。在實(shí)際場景中，雷達(dá)檢測到的信號和運(yùn)動目標(biāo)之間并不是線性關(guān)系，通常都包含復(fù)雜的非線性形態(tài)。對此，常用的處理非線性形態(tài)的方法有擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filtering，EKF）[7]和無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filtering，UKF）[8]。其中，擴(kuò)展卡爾曼濾波在處理過程中主要利用泰勒級數(shù)展開，將跟蹤系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性問題，將展開式中所有二階及高階項(xiàng)略去，這樣就可將系統(tǒng)線性化，使得這個(gè)問題能夠用卡爾曼濾波（Kalman Filtering，KF）方法來解決。無跡卡爾曼濾波不需要將非線性模型轉(zhuǎn)化成線性模型，只借助無跡變換重新構(gòu)造sigma點(diǎn)，使非線性系統(tǒng)適用于線性KF算法。盡管這兩種濾波算法自從發(fā)明以來在很多工程領(lǐng)域都廣泛應(yīng)用，但是EKF算法需要求解復(fù)雜形式的雅克比行列式，由于算法本身較大的計(jì)算量，會把不精確的地方暴露出來，而UKF在處理高維數(shù)問題時(shí)會出現(xiàn)不正定的問題，導(dǎo)致精度降低。因此，文獻(xiàn)[9]提出一種新的基于壓縮感知處理的序貫擴(kuò)展卡爾曼濾波方法，通過壓縮采樣匹配重構(gòu)方法獲得目標(biāo)的多普勒量測值，比傳統(tǒng)EKF能更有效地跟蹤目標(biāo)。文獻(xiàn)[10]提出提高無跡卡爾曼濾波的精度，用序貫無跡卡爾曼濾波方法依次處理方位角、俯仰角和距離，來進(jìn)行雷達(dá)目標(biāo)跟蹤。文獻(xiàn)[11]指出，由于航空器在實(shí)際航行過程中的追蹤精確度不足，將高階UKF算法運(yùn)用在真實(shí)的航空器飛行數(shù)據(jù)中，可以提高跟蹤精確度。文獻(xiàn)[12]針對標(biāo)準(zhǔn)無跡卡爾曼濾波算法由于自適應(yīng)能力較弱而造成濾波器計(jì)算準(zhǔn)確度降低的問題，給出了一種自適應(yīng)序貫UKF濾波器處理計(jì)算方法。

基于多普勒雷達(dá)對目標(biāo)跟蹤過程中，所量測信號的強(qiáng)非線性變化對目標(biāo)跟蹤精確度所產(chǎn)生的影響，本文提出一種序貫高階無跡變換的卡爾曼濾波算法。該算法引入了多普勒雷達(dá)對目標(biāo)進(jìn)行觀測的各種信息，在觀測方程中通過結(jié)合使用方位角、俯仰角、多普勒速度，以及利用對非線性的高階無跡變化的采樣，來降低對非線性量測方法中目標(biāo)跟蹤精確度的干擾。實(shí)測結(jié)果表明，所提方法對目標(biāo)的位置和速度都具有較高的預(yù)測精度。

1 問題描述

1.1 目標(biāo)動態(tài)模型

在笛卡爾坐標(biāo)系下，目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)可以考慮以下模型：

1.2 雷達(dá)觀測模型

雷達(dá)測量方程[13]可以表示為：

式中：zk代表k時(shí)刻雷達(dá)測量方程，h(xk)為距離、方位角、俯仰角和多普勒速度測量值的集合，nk為零均值高斯白噪聲。

多普勒雷達(dá)測量目標(biāo)距離、方位角、俯仰角及多普勒速度，對等式（2）測量的信息進(jìn)行具體化表達(dá)如下：

式中：rkm，bkm，ekm及分別是真實(shí)目標(biāo)距離、方位角、俯仰角和多普勒速度的雷達(dá)測量值，hr(xk)為距離測量值，hb(xk)是方位角測量值，he(xk)是俯仰

2 序貫高階無跡卡爾曼濾波方法

雷達(dá)觀測中有各種狀態(tài)分量，常規(guī)的辦法是對這些狀態(tài)分量一起進(jìn)行處理。而在多普勒雷達(dá)中，可以利用序貫思想處理。序貫的思想是：經(jīng)過雷達(dá)測量后得到一系列非線性測量值，這些測量值的非線性程度各不相同，建議雷達(dá)按照非線性程度對不同參數(shù)進(jìn)行處理。在上述1.2節(jié)中的雷達(dá)觀測模型，建議按角度測量、距離測量和多普勒速度的順序進(jìn)行濾波處理。

2.1 高階無跡變換

高階UT變換[14-15]可以對稱地選擇2n2+1個(gè)Sigma點(diǎn)。選取的Sigma點(diǎn)可以對應(yīng)n維高斯隨機(jī)向量x的前4個(gè)階矩（均值、協(xié)方差、偏度、峰態(tài)）和所有的高階奇次階矩。

相應(yīng)的協(xié)方差為：

其中：

權(quán)重wi(i=0,1,…,2n)由以下公式給出：

式中：參數(shù)λ是縮放因子，參數(shù)β用于結(jié)合xk分布的先驗(yàn)知識，對于高斯分布，β=2是最佳的。

2.2 高階無跡卡爾曼濾波算法

將高階無跡變換應(yīng)用到線性貝葉斯濾波結(jié)構(gòu)中，可以得到高階無跡卡爾曼濾波，步驟如下。

2.2.1 時(shí)間更新

設(shè)k-1時(shí)刻隨機(jī)變量xk-1的后驗(yàn)概率密度函數(shù)已知，對Pk-1|k-1進(jìn)行cholesky分解得到平方根矩陣Sk-1|k-1，狀態(tài)向量的估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣表達(dá)如下：

通過高階無跡變換引入單位隨機(jī)變量的sigma點(diǎn)σi(i=1,2,…,m)：

式中：Xi,k-1|k-1為第一類、第二類、第三類sigma點(diǎn)集合的表示形式。

將引入sigma點(diǎn)后的狀態(tài)進(jìn)行非線性傳播，得到變換的樣本：

計(jì)算k時(shí)刻狀態(tài)的一步預(yù)測值：

計(jì)算k時(shí)刻的狀態(tài)進(jìn)一步預(yù)測估計(jì)誤差協(xié)方差：

2.2.2 量測更新

（1）預(yù)測協(xié)方差分解：

（2）通過高階無跡變換引入單位隨機(jī)變量的sigma點(diǎn)σi(i=1,2,…,m)：

（3）將引入sigma點(diǎn)后的狀態(tài)進(jìn)行非線性傳播，得到變換的樣本：

（4）計(jì)算k時(shí)刻量測的一步預(yù)測值：

五月，我在省腫瘤醫(yī)院的病房前，看到一棵流蘇樹開滿了白色的花朵，遠(yuǎn)觀整個(gè)樹冠像是一片白色的流動的云。近看，每一朵花垂下來的絲絳，綿軟光滑，在五月的微風(fēng)里隨風(fēng)搖曳，溫柔的、醉人心的。

（5）計(jì)算k時(shí)刻量測的一步預(yù)測估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣：

（6）計(jì)算k時(shí)刻狀態(tài)與量測的互相關(guān)協(xié)方差 矩陣：

（7）計(jì)算計(jì)算k時(shí)刻高階UKF的濾波增益：

（8）計(jì)算k時(shí)刻高階UKF的狀態(tài)估計(jì)：

（9）計(jì)算k時(shí)刻高階UKF的狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣估計(jì)：

根據(jù)序貫理論思想，將按照角度測量、距離測量、多普勒速度的順序得到對應(yīng)的高階無跡變換，再應(yīng)用到貝葉斯濾波系統(tǒng)，就可以得到序貫無跡卡爾曼濾波算法，從而實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的跟蹤。

3 仿真及分析

為了用雷達(dá)測量來測試非線性跟蹤濾波器的性能，考慮了一個(gè)在平面上運(yùn)動速度幾乎恒定的目標(biāo)。對于目標(biāo)速度、位置性能比較，均方根誤差（RMSE）寫成以下表達(dá)式：

式中：xi表示觀測值，表示真實(shí)值，n表示觀測次數(shù)。經(jīng)過100次蒙特卡洛獨(dú)立試驗(yàn)，所得的仿真結(jié)果如下。

勻速運(yùn)動模型的場景如圖1所示，勻速運(yùn)動模型下，速度的均方根誤差和位置的均方根誤差如 圖2、圖3所示。

圖1 勻速運(yùn)動模型

圖2 速度誤差性能比較

圖3 位置誤差性能比較

由圖2結(jié)果可見，本文所提方法的速度均方誤差最小，且基本處于0.2以下，收斂速度是幾種方法中最快的。在最初前5 s左右，靜態(tài)融合轉(zhuǎn)換卡爾曼濾波（SMCMKF）方法由于對先驗(yàn)信息積累不夠，當(dāng)受到外部噪聲影響時(shí)，會有較大的擾動，而高階無跡卡爾曼濾波（HUKF）由于處理非線性信息時(shí)對所有的信息進(jìn)行一起處理，從而導(dǎo)致誤差會有所偏大。

由圖3結(jié)果可見，本文所提方法由于最初需要判斷要進(jìn)行處理的非線性信息，剛開始10 s內(nèi)會出現(xiàn)跟蹤效果不如其他兩種方法的情況，但是在之后，跟蹤性能是三種方法中最好的。高階無跡卡爾曼濾波（HUKF）雖然在最初位置收斂速度快，但是由于處理的信息中包含非線性量較多，在處理過程中性能表現(xiàn)并不穩(wěn)定。幾種方法的均方差比較如表1所示。

4 結(jié) 語

對于雷達(dá)目標(biāo)跟蹤問題，實(shí)際情況中很多都是強(qiáng)非線性場景。目標(biāo)跟蹤中，對非線性進(jìn)行恰當(dāng)處理能夠得到較好的跟蹤效果。本文運(yùn)用序貫高階無跡卡爾曼濾波方法，依次對處理角度信息、距離和多普勒速度進(jìn)行濾波處理，在跟蹤性能上有所提升。該方法可以提高濾波精度，同時(shí)也可以提高計(jì)算效率。