材料力學(xué)中關(guān)于斜彎曲定義的討論

劉靈靈

(石家莊鐵道大學(xué) 工程力學(xué)系，河北 石家莊 050043)

0 引言

材料力學(xué)學(xué)習(xí)中，組合變形部分是綜合性較強的內(nèi)容，需要學(xué)生對該章之前的內(nèi)容熟練掌握，再借助于對一些新概念的準確理解，才能真正學(xué)好本章知識。斜彎曲是組合變形中的一種情況，也是一個新概念，這一概念是與前面涉及的平面彎曲相對應(yīng)的，那么什么時候發(fā)生平面彎曲？什么時候發(fā)生斜彎曲？兩種不同的彎曲變形，變形之后撓曲線有什么特點？斜彎曲到底“斜”在哪里？學(xué)生在學(xué)習(xí)本部分內(nèi)容時，往往會產(chǎn)生困惑。國內(nèi)經(jīng)典材料力學(xué)教材[1-4]針對這個概念，大致給出了兩種定義，一種定義是以力與位移的方向是否一致來判斷，另一種定義是考慮彎矩矢量方向與中性軸方向是否一致來判斷，兩種定義側(cè)重點不同，對一些特殊情況的判斷會有所差異，下面分別進行闡釋。

1 斜彎曲的第一種定義

針對平面彎曲，教材[1-2]定義為：梁發(fā)生彎曲變形后，梁的撓曲線為外力作用平面內(nèi)的一條平面曲線，教材[3]定義為：當(dāng)梁上所有外力都在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，彎曲變形后的軸線將是位于這個對稱面內(nèi)的一條曲線，教材[4]定義為：當(dāng)所有外力都作用于桿件的同一主軸平面(形心主軸與梁的軸線構(gòu)成的縱向平面)時，桿件變形后的軸線將彎成一條位于外力作用平面內(nèi)的曲線。這些定義都是從撓曲線與外力作用面的關(guān)系著手，給出了平面彎曲的特點，強調(diào)平面彎曲后梁的撓曲線仍為一條平面曲線。對于通常討論的對稱彎曲，要求橫截面有對稱軸，所有外載荷都作用于同一個縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，如圖1所示，力的作用面和梁的位移均位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，故對稱彎曲是一種特殊的平面彎曲。

圖1 平面彎曲

如果外力不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁在變形后的軸線將不再位于外力所在平面，這種彎曲稱為斜彎曲[5]。教材[4]給出的斜彎曲定義為：載荷不作用在主軸平面內(nèi)時所發(fā)生的彎曲稱為斜彎曲。如圖2所示矩形截面懸臂梁即發(fā)生了斜彎曲變形。這一定義以力和位移的方向是否一致進行判斷，一致即為平面彎曲，不一致即為斜彎曲，判斷方法形象直觀，便于工程師應(yīng)用。該定義適合于梁上受到同一方向橫向載荷作用的情況，針對彎曲梁整體而言。

圖2 斜彎曲

2 斜彎曲的第二種定義

如果橫向載荷是作用在兩個方向，以圓形截面梁為例，受力如圖3所示，橫向力分別作用在兩個縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，在兩個載荷的相互作用下，力的作用方向與整體梁的位移方向是不一致的，按照第一種定義，該梁發(fā)生的應(yīng)是斜彎曲變形。但是根據(jù)通常的理解，圓截面是不會發(fā)生斜彎曲變形的，這里給出平面彎曲和斜彎曲的第二種定義。教材[6]給出的定義為：當(dāng)彎矩矢量平行于任一形心主軸時，中性軸平行于彎矩矢量，即中性軸垂直于彎矩的作用面，這種彎曲稱為平面彎曲；當(dāng)中性軸的方向與彎矩矢量的方向不同，或中性軸不垂直于彎矩的作用面，這種彎曲稱為斜彎曲。該定義以中性軸方向與橫截面上彎矩矢量的方向是否一致進行判斷，一致即為平面彎曲，不一致即為斜彎曲，彎曲的類型是針對某一橫截面的。通過簡單計算即可判斷，圖3任一橫截面上彎矩矢量方向和中性軸方向均一致，可見圖3發(fā)生的是平面彎曲，橫截面上任一點的正應(yīng)力仍可按照平面彎曲正應(yīng)力的公式進行計算。

圖3 圓形截面梁的彎曲

(1)

設(shè)該截面上中性軸與y軸的夾角為θ，則：

(2)

顯然對于矩形截面Iy≠Iz，故θ≠φ，即中性軸的方向與彎矩矢量方向不一致，此時所發(fā)生的彎曲即為斜彎曲，正應(yīng)力計算按兩個方向的平面彎曲進行疊加。

圖4 矩形截面梁的彎曲

3 斜彎曲情況下位移與中性軸的關(guān)系

眾所周知，梁發(fā)生平面彎曲時，位移方向與載荷方向一致，與中性軸方向垂直。發(fā)生斜彎曲時，位移方向與載荷作用方向不再重合，這也是“斜”的本質(zhì)，那么位移和中性軸之間是否還存在垂直關(guān)系呢？下面分兩種情況進行簡單定量分析。

圖5所示矩形截面懸臂梁發(fā)生斜彎曲變形，設(shè)合成彎矩M與y軸的夾角為φ，該截面上中性軸與y軸的夾角為θ，則：

(3)

圖5 矩形截面梁的斜彎曲

矩形截面Iy≠Iz，故θ≠φ。m-m橫截面的形心沿z軸和y軸方向的撓度分別為：

(4)

考慮圖4的受力情況，AB段梁m-m橫截面的形心沿z軸和y軸方向的撓度分別為：

(5)

設(shè)合成撓度與z軸的夾角為ψ，則：

(6)

對比式(2)和式(6)，得到θ≠ψ，即該截面的位移與中性軸不是垂直的關(guān)系，教材[7-10]中討論了同樣的問題，指出此時撓度和中性軸是垂直的，這個結(jié)論是錯誤的。該情況下橫截面中性軸和位移的方向會隨著截面位置的變化而變化，撓曲線是一條空間曲線。

4 與工程實際的聯(lián)系

工程設(shè)計中，強度和剛度問題是工程師們十分關(guān)心的問題。對于平面彎曲和斜彎曲，彎曲正應(yīng)力和撓度的計算公式是不同的，工程師在分析一個具體彎曲問題時，首先要明確該問題的特點，其次依據(jù)不同的公式對問題進行強度和剛度分析。

以圖5為例，假設(shè)矩形截面高寬比為3.3，外力偏離y軸5°，則彎曲平面與y軸的傾角約為44°，最大正應(yīng)力較外力不傾斜時增大約30%?？梢妼τ诟叨M長的梁，由于對截面兩個形心主軸的抗彎截面系數(shù)相差很大，使得外力稍有偏斜便會發(fā)生斜彎曲變形，從而引起很大的撓度，最大正應(yīng)力也會顯著增大，對梁的剛度和強度造成不利影響。例如吊車起吊重物時，如果吊車橫梁為工字型截面或其它狹長截面，應(yīng)盡可能地使起吊載荷沿截面的形心主慣性軸方向，避免因發(fā)生斜彎曲而產(chǎn)生過大的正應(yīng)力和變形，造成不可挽回的損失。如果設(shè)計中采用箱型截面，從強度和剛度角度考慮就要比單一工字鋼設(shè)計優(yōu)越很多。

5 結(jié)論

(1) 本文討論了經(jīng)典教材中關(guān)于平面彎曲和斜彎曲的兩種定義,一種定義考慮力的方向與位移方向是否一致，適用于梁上僅作用一個方向橫向力的情況，形象直觀，易于判斷；另一種定義考慮橫截面上彎矩矢量方向與中性軸方向是否一致，理論性稍強，但抓住了斜彎曲的本質(zhì)。

(2) 所謂“斜”的含義，可以理解為彎曲變形不發(fā)生在外力作用面內(nèi)，也可以理解為中性軸方向與彎矩矢量方向不再是同一個方向。

(3) 指出了教材[7-10]中的一處錯誤,梁發(fā)生斜彎曲時任一橫截面形心的合成撓度方向不一定垂直于中性軸方向，需要根據(jù)具體的受力情況進行分析。