明確“三數(shù)”概念，有效解答問題

黃金晶

所謂“三數(shù)”是指平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù).它們都是描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量，有著相似點，也有著諸多的不同之處，是中考數(shù)學的一大命題熱點.對于“三數(shù)”的概念，許多同學容易混淆不清，導致解題時出錯.對此，筆者對“三數(shù)”的概念進行了辨析，并舉例說明了“三數(shù)”在解題中的具體應用，以期對同學們解題有所幫助.

一、“三數(shù)”的區(qū)別

平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)這三個統(tǒng)計量，均可以反映一組數(shù)據(jù)的水平，但有著顯著的區(qū)別，具體體現(xiàn)在：

1.代表意義不同

平均數(shù)是指用一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)所得到的商，它表示的是一組數(shù)據(jù)的“平均水平”；中位數(shù)是指把一組數(shù)據(jù)按照大小順序進行排列，處于最中間位置的數(shù)，它表示的是一組數(shù)據(jù)的“中等水平”；眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，它表示的是一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”.

2.呈現(xiàn)個數(shù)不同

平均數(shù)是通過計算所得到的“虛擬”數(shù)據(jù)，具有唯一性；中位數(shù)是一個不完全“虛擬”的數(shù)據(jù)，當數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時，則為原始數(shù)據(jù)，反之，個數(shù)為偶數(shù)時，則為虛擬數(shù)據(jù)，它也具有唯一性；眾數(shù)為客觀存在的原始數(shù)據(jù)，不具備唯一性，在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)有時不只一個，也可能有多個，有時可能為零個.

3.求解方法不同

中位數(shù)與數(shù)據(jù)的排列位置有著緊密聯(lián)系，求法是：先將一組數(shù)據(jù)按照由大到小或由小到大的順序排列好，然后根據(jù)數(shù)據(jù)的奇偶個數(shù)確定.當數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時，最中間的那個數(shù)就是中位數(shù)；當數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù).

眾數(shù)與數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)密切相關，求法是：先明確一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，再找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，進而確定此數(shù)為該組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

二、利用“三數(shù)”的概念有效解題

例1已知一組數(shù)據(jù)6，8，m，8的平均數(shù)與中位數(shù)相等，則m =.

綜上所述，m=6或m=10 .

評注：破解本題的關鍵點在于找準中位數(shù).找中位數(shù)時要先將各數(shù)按照大小順序進行排列，然后再根據(jù)數(shù)據(jù)的奇偶個數(shù)確定中位數(shù).若個數(shù)為奇數(shù)，則最中間的那個數(shù)即為中位數(shù)；若個數(shù)為偶數(shù)，則最中間兩個數(shù)的平均數(shù)即為中位數(shù).

例2為了激發(fā)學生學習英語的熱情，提升學生的英語能力和素養(yǎng)，豐富學生的課余生活，某校開展了英語口語大賽，共有數(shù)位同學成功入圍，他們的決賽成績如下表：

根據(jù)表中的信息判斷，下列結論中說法不恰當?shù)囊豁検牵ǎ?

A.此次比賽中共有18名同學成功入圍

B.此次比賽中入圍同學決賽成績的眾數(shù)為9.70.

C.此次比賽中入圍同學決賽成績的平均數(shù)約為9.70.

D.此次比賽中入圍同學決賽成績的中位數(shù)為9.60.

解析：此次比賽中成功入圍人數(shù)為：3+4+ 5+4+2=18（人），故A項正確.因為入圍同學決賽成績中得9.70分的人數(shù)最多，所以他們決賽成績的眾數(shù)為9.70，故B項正確；因為有18名同學成功入圍，所以他們決賽成績的平均數(shù)為：（9.50×3+9.60×4+9.70×5+9.80×4+9.90×2）÷18≈9.70，故C項正確；因為共18名同學成功入圍，所以第9和第10名同學成績的平均分則為入圍同學決賽成績的中位數(shù)，所以中位數(shù)為：（9.70+9.70）÷2=9.70，故D項錯誤，所以此題選D項.

評注：準確理解和掌握“三數(shù)”的概念與求法是解答此題的關鍵所在.

總之，理清數(shù)學概念是準確解題的重要一環(huán).同學們在平時的學習中，要明晰數(shù)學概念，尤其是對于易于混淆的數(shù)學概念，要熟知它們所滿足的條件，挖掘其內涵本質，弄清其區(qū)別，為快速準確解題奠定良好的基礎.

上期《<相交線與平行線>鞏固練習》參考答案

1.D；2.A；3.A；4.B；5.4；6.35；7.∠EAD=∠B或∠DAC=∠C或∠DAB+∠B=180°；

8. m

9.（1）證明過程略；

（2）由（1）知，∠ADE=∠B，BD∥EF，

∴∠2=∠ADC，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADC=2∠ADE=2∠B，

∵∠3+∠ADC=180°，∠3=3∠B，

∴3∠B+2∠B=180°，

解得：∠B=36°，

∴∠ADC=72°，

∴∠2=72°.

10.（1）證明過程略；

（2）∵DG∥AE，

∴∠G=∠AEB，

由（1）得AD∥BC，

∴∠AEB=∠DAE，∠ADC=∠DCG，

∴∠G=∠DAE，

∵∠B=∠ADC，∠G=∠B，

∴∠G=∠ADC=∠DCG，

綜上所述，所以與∠G相等的角有：∠AEB，∠DAE，∠ADC，∠DCG.