有關邏輯與推理的考點剖析

趙語維

邏輯與推理是近年高考數學中的一個高頻考點，常以選擇題、填空題的形式出現，難度中等，且多與其他知識交匯在一起，側重考查同學們的綜合應用能力.下面結合實例對與邏輯與推理有關的考點進行剖析.

考查角度一：根據充要條件求參數的取值范圍

若遇到“由給定的充分條件或必要條件，求參數的取值范圍”這類問題，則需要先根據題意，將充分、必要條件以集合的形式表示出來，根據集合之間的包含關系建立不等式（或不等式組），再借助數軸或者 Venn 圖進行分析、推理.一般地，若P 是Q 的充分不必要條件，則對應的集合滿足 P Q;若 P 是 Q 的必要不充分條件，則對應的集合滿足Q P .

例1.（1）已知 P ：（x +2）（x -1）≤ 0， Q：（x -a -2）（x +a -2）>0（a >0），若 P 是 Q 的充分不必要條件，則實數 a 的取值范圍是;

（2）若“（x -a）（x -a +2）≤0”是“1≤ x ≤2”的必要不充分條件，則實數 a 的取值范圍是???????????? .

解析：（1）解不等式（x +2）（x -1）≤0，可得-2≤ x ≤1.因為 a >0，所以 （x -a -2）（x +a -2）>0，可得 x <2-a 或 x >2+a .于是易知 P 成立? -2≤ x ≤1;Q成立? x <2-a 或 x >2+a .因為P 是Q 的充分而不必要條件，所以集合x-2≤ x ≤1是xx<2-a或x >2+a的真子集.從而可得1 <2-a 或-2>2+a，又 a >0，所以 0<a <1 .故所求實數 a 的取值范圍是（0，1）.

（2）解一元二次不等式 （x -a）（x -a +2）≤0，得? a -2≤ x ≤a，因為“（x -a）（x -a +2）≤0”是“1≤ x ≤2”的必要不充分條件，所以[1，2]是 [a -2，a]的真子集.取值范圍是[2，3].

本題的第（1）問側重考查充分不必要條件與邏輯推理，解題的關鍵是先結合題意得到x-2≤ x ≤1

xx<2-a或x >2+a，再借助數軸建立不等式;第

（2）問側重于考查必要不充分條件，解題的關鍵是先結合題意得到[1，2][a -2，a]，再借助數軸建立不等式組，推理出問題的答案.

考查角度二：有關假設推理法的應用

處理邏輯與推理問題，需要在審清題意的基礎上，先找準解題的切入點，然后靈活運用假設推理法解題.運用假設推理法解題的具體步驟是：先假設給定的諸多條件中的某一個條件是正確的，然后結合其他條件進行合情推理.如果推理出矛盾，則說明假設錯誤，不適合題意;如果推理中沒有矛盾，則說明假設正確，適合題意.如此分析題設中的所有可能情況，即可獲得最后的結論.

例2.一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下：甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙說：“我沒有作案，是丙偷的”;丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”;丁說：“乙說的是事實”.經過調查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，并且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是（）.

A.甲???? B.乙???? C.丙???? D.丁

解法一：依題意知，罪犯有四種可能：

假設罪犯是甲，則甲、乙、丁說的是假話，丙說的是真話，這與題意（供詞）矛盾;

假設罪犯是乙，則甲、丙說的是真話，乙、丁說的是假話，適合題意;

假設罪犯是丙，則甲、乙、丁說的是真話，丙說的是假話，這與題意矛盾;

假設罪犯是丁，則乙、丙、丁說的是假話，甲說的是真話，這與題意矛盾.

綜上可判斷罪犯是乙.故選B項.

解法二：從甲、乙、丙、丁四人的供詞中，可以看出乙、丁兩人的觀點是一致的，因此乙、丁兩人的供詞應該是同為真或同為假.

假設乙、丁兩人說的是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說真話推出丙是罪犯;由甲說假話，推出乙、丙、丁不是罪犯，顯然這兩個結論是相互矛盾的.

于是可知乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話.根據甲、丙兩人說的是真話，可判斷罪犯是乙.故選B項.

解法一的切入點是這四人中只有一人是罪犯，據此進行分類討論，其優(yōu)點是便于理解、思考;解法二的切入點是乙、丁兩人的觀點是一致的，靈活利用假設推理法進行推理，顯然該方法優(yōu)化了解題的過程.

考查角度三：有關類比推理的應用

類比推理作為一種重要的推理方式，在尋求解題思路的過程中具有極為重要的作用.運用類比推理解題時，要先仔細分析題目中所給出的條件、結論，找出兩類事物之間的相似性或一致性，進一步探索或提煉出有用的信息，然后用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題或結論.

例3.斐波納契數列又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，….在數學上，斐波納契數列an定義為： a1= 1，a2= 1， an +2=an +an+1 .根據 an +2=an +an+1 可得? an =an +2- an+1 ，所以? a1+a2+ …+an =（a3-a2）+（a4-a3）+… +（an +2-an +1）=an +2-a2=an +2- 1.類比該方法，對于斐波納契數列an，a +a + …+a 0= （? ）.

A.714? B.1870 C.4895 D.4896

解：根據題意可知數列an滿足 an +2=an +an+1，即 an+1 =an +2-an ，

在該式的兩邊同乘以 an+1，可得 a +1 =an +2an+1 -an+1an ，

則 a +a + …+a 0=a +（a2a3-a2a1）+（a3a4-a2a3）+… +（a10a11-a9a10）= 1-a2a1+a10a11= 1- 1+ 55× 89= 4895.故選C項.

求解本題，要先明確求斐波納契數列an和的方法為裂項相消法，再進行類比推理.將各項的平方轉化為差的形式，這樣便于靈活運用裂項相消法，達到解題的目的.此外，由于本題的求解目標是求a +a +… + a 0，而斐波納契數列an的前10項在題設中已經給出，且該數列的前10項的值均較小，故完全可以用代值的方法進行求解。

邏輯與推理題是近年高考數學中出現的一類比較新穎的題型.關注邏輯與推理的考點，有利于加深對所學數學知識與思想方法的理解，進一步提高思維的靈活性、嚴謹性，同時能夠較好地培養(yǎng)邏輯推理與數學運算兩大數學核心素養(yǎng).

（作者單位：江蘇省江安高級中學）