例談解答一類比較函數(shù)式大小問(wèn)題的途徑

吳屹文

比較函數(shù)式的大小問(wèn)題主要考查對(duì)數(shù)、指數(shù)、冪函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及圖象.在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到一類題型：已知三個(gè)變量的關(guān)系式，比較三個(gè)變量或關(guān)系式的大小.此類問(wèn)題一般較為復(fù)雜，常以選擇題的形式出現(xiàn).由于問(wèn)題中涉及的變量和關(guān)系式較多，所以很多同學(xué)不知如何應(yīng)對(duì).事實(shí)上，解答此類比較函數(shù)式大小問(wèn)題主要有兩種途徑：取特例和設(shè)元.下面我們結(jié)合實(shí)例作詳細(xì)說(shuō)明.

一、取特例

特例法是解答選擇題、填空題的常用方法.采用特例法比較函數(shù)式的大小，需先明確變量的取值范圍，確定某個(gè)變量的取值，再據(jù)此分析另外兩個(gè)變量的取值，從而比較出三個(gè)變量或關(guān)系式的大小.

例1.設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，且log2x =log3y = log5z >0，則 ，? ，? 的大小關(guān)系不可能是（）.

A.? B.

C. D.

解：取 x = 2 ，由 log2 x = log3 y = log5 z 得 y = 3，z = 5 ，

此時(shí) x5 ，所以選項(xiàng)C有可能正確.

取 x = 4 ，由 log2 x = log3 y = log5 z 得 y = 9，z = 25 ，

此時(shí) x，所以選項(xiàng)A有可能正確.

取 x = 2 ，由 log2 x = log3 y = log5 z 得 y = 3，z = 5 ，

此時(shí) z，所以選項(xiàng)D有可能正確.

綜上可知本題應(yīng)選B.

上述解題過(guò)程中綜合運(yùn)用了特例法和排除法.分別根據(jù)題意和選項(xiàng)的特點(diǎn)選取合適的特殊值，通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算求得 x、y、z 的值，然后比較出三個(gè)函數(shù)式的大小.

例2（. 多選題）已知正數(shù)x，y，z滿足 3x = 4 ，則下列說(shuō)法中正確的是（）.

A. x +2y = z? B.

C. x +y >（ + ）z? D.

解：取 z =1，由3x=4y = 6可得 x =log36，y =log46，因?yàn)?x >1，y >1 .

所以? +? =? +? =log63+? log64=log63+log62= 1=? ，

故選項(xiàng)A正確.

因?yàn)? =? = log36? log64=? log34=log3443=log8164< 1，

所以3x <4y .

又因?yàn)?y =4log46= 2log26=log236

所以3x <4y <6z，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

因?yàn)?x +y =log36+log46=log3（2× 3）+log4（2× 3）=1 + log32+? +log43=? +log32+log43>? +2? =3? = （3+ ）z，故選項(xiàng)C正確.

因?yàn)? =? =2log63? log62<2×（）2

所以xy>2= 2z2，故選項(xiàng)D正確.

綜上可得，正確的選項(xiàng)是ACD.

本題主要運(yùn)用特例法來(lái)求解.令 z =1，便可求得 x、 y 的值，然后分別將其代入4個(gè)選項(xiàng)中，求得各個(gè)代數(shù)式的值，就能順利解題.運(yùn)用特例法比較較為復(fù)雜的函數(shù)式的大小，只需將合適的數(shù)值代入代數(shù)式中，通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算就能快速比較出函數(shù)式的大小.

二、設(shè)元

設(shè)元法，也稱為設(shè)參法.對(duì)于比較復(fù)雜的比較函數(shù)式的大小問(wèn)題，可根據(jù)題意設(shè)出參數(shù)，將某個(gè)代數(shù)式或函數(shù)式用該參數(shù)表示出來(lái)，通過(guò)對(duì)數(shù)、指數(shù)、冪函數(shù)運(yùn)算，運(yùn)用對(duì)數(shù)、指數(shù)、冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)比較出函數(shù)式的大小.

以例1為例.

解：設(shè)log2x =log3y =log5z =k，

則 x =2k ，y =3k ，z =5k ，

所以? =2k -1，? =3k -1，? =5k -1 .

又易知k >0，只需根據(jù) k 與1 的大小關(guān)系對(duì)各個(gè)代數(shù)進(jìn)行討論即可.

若 k =1，則? =? =? =1，所以選項(xiàng) C 有可能正

若0 3k -1 >5k -1，

所以<<，所以選項(xiàng)D有可能正確.

若 k >1，則根據(jù)函數(shù) f（t）=tk -1 在（0，+∞）上單調(diào)遞增可得2k -1 <3k -1 <5k -1，

即<<，所以選項(xiàng)A有可能正確.

綜上可得< x < z 不可能，故選B項(xiàng).

我們通過(guò)設(shè)元，將已知關(guān)系式變形，就能把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較2k -1、3k -1、5k -1 的大小，再根據(jù)冪函數(shù) f（x）=xk -1 的單調(diào)性加以討論分析，即可解題.解答本題特別要注意的是，冪函數(shù) y =xα 在（0，+∞）上的單調(diào)性可分為三種情況：當(dāng) x >1 時(shí)，①若α>0，則函數(shù)單調(diào)遞增;②若α=0，則函數(shù)無(wú)單調(diào)性（為常數(shù)函數(shù)）;③若α<0，則函數(shù)單調(diào)遞減.

以例2為例.

解：設(shè)3x=4y = 6z=k，

則 x =log3k，y =log4k，z=log6k，且 k >1 .

于是? +? =? +? =logk3+? logk4=logk3+logk2=logk6=? ，

故選項(xiàng)A正確.

因?yàn)? =? = log3k ? logk4=? log34=log3443=log8164< 1，

所以3x <4y .

因?yàn)? = ?= log4k ? logk6=? log46=log6436<1，

所以4y <6z .從而可得3x <4y <6z，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。

因?yàn)?x +y =log3k +log4k =log6k ? log36+log6k ? log46=log6k ?（log36+log46）=log6k ?（ +log32+log43）>log6k ?（ +2 ）=（ + ）? log6k =（ + ）z，

所以 x +y >（ + ）z，故選項(xiàng)C正確.

因?yàn)? =? =2logk3? logk2<2×（）2= （logk6）2，

所以xy>? =2（log6k）2= 2z2，故選項(xiàng)D正確.

綜上可得，正確的選項(xiàng)是ACD.

對(duì)于選項(xiàng) B，還可這樣分析：因?yàn)?x =3log3k = log3 k，4y =4log4k =log4 k，根據(jù)函數(shù) f（x）=logxk（k >1）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減可知log3 k

我們?cè)O(shè)出參數(shù)k，然后將其代入已知條件和選項(xiàng)中進(jìn)行運(yùn)算，便可快速比較出各個(gè)函數(shù)式的大小.運(yùn)用設(shè)元法比較指數(shù)函數(shù)式的大小，只需將連等的指數(shù)式設(shè)為參數(shù)，再將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則或其他知識(shí)加以分析即可.

無(wú)論是運(yùn)用特例法，還是采用設(shè)元法，都能將復(fù)雜的比較函數(shù)式大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)運(yùn)算問(wèn)題來(lái)求解，這樣有利于提升解題的效率以及運(yùn)算的正確率.比較函數(shù)式的大小問(wèn)題對(duì)同學(xué)們運(yùn)算能力的要求較高，在解題的過(guò)程中同學(xué)們要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、單調(diào)性，并學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)輔助解題，這樣才能讓解題變得更加高效.

（作者單位：甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣威戎中學(xué)）