《幾何論約》與近代數(shù)學(xué)幾何術(shù)語

○ 李麗

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 文學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

明末清初是中外文化與學(xué)術(shù)交流的重要時期，近代數(shù)學(xué)知識的傳播與術(shù)語的譯介始于此。此間，最早譯為中文的西方數(shù)學(xué)幾何著作是《幾何原本》，由利瑪竇與徐光啟合譯并于1607年出版。然而，《幾何原本》成書近百年，研讀者甚少，究其原因，在于其內(nèi)容之繁難，那么，如何將其刪繁就簡并使其數(shù)學(xué)幾何知識得以普及，就成為當(dāng)時我國數(shù)學(xué)家們的努力方向，杜知耕便是其中之一，而成書于1698年的《幾何論約》正是其致力于此的重要成果。

一、《幾何論約》的作者及成書背景

《幾何論約》的作者是杜知耕，據(jù)《清史稿》記載，杜知耕字端甫，號伯瞿，柘城人(今河南柘城縣)，康熙丁卯年舉人，著有《幾何論約》《數(shù)學(xué)鑰》，收入《四庫全書》。杜知耕的研究領(lǐng)域，除四書五經(jīng)之外，還涉及天文、地理、律呂、歷法、聲韻、算學(xué)之類，其研究可謂博而精，李子金在《〈數(shù)學(xué)鑰〉序》中以“凡讀一書必求實，實有得；凡講一事，實可得”評價杜知耕對學(xué)術(shù)的精審鉆研。杜知耕曾以太學(xué)生身份游京師，在當(dāng)時的國子監(jiān)、欽天監(jiān)學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)和歷法，也曾留在國子監(jiān)執(zhí)教。此間，他第一次接觸到利瑪竇口述、徐光啟筆譯的《幾何原本》并開始專于幾何研究[1]206。

《幾何約論》成書于1698年(清康熙三十七年)，正處于明末清初西學(xué)輸入時期。近代西方數(shù)學(xué)的第一次傳入是在明代萬歷年間，主要源于來華耶穌會的傳教士。1581年(明萬歷九年)，耶穌會教士利瑪竇來到中國，他是來華進(jìn)行傳教活動的第一個耶穌會傳教士。利瑪竇的到來正值明政府歷法修改的迫切時期，傳教士便趁此機(jī)會，從修改和編制歷法入手，因此，近代西方數(shù)學(xué)知識傳入的初期便是圍繞歷法修改進(jìn)行的。此間，最早傳入中國也是最早譯為中文的西方數(shù)學(xué)著作是《幾何原本》，由利瑪竇與徐光啟合譯并于1607年出版?！稁缀卧尽肥且徊抗畔ＥD杰出的數(shù)學(xué)著作，由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得編著而成，共十三卷。其中，第一卷至第六卷為平面幾何學(xué)內(nèi)容，第七卷至第十卷為數(shù)論內(nèi)容，第十一卷至第十三卷為立體幾何學(xué)內(nèi)容?！稁缀卧尽返淖g著引起了中國學(xué)者的關(guān)注，許多人開始致力于與之相關(guān)的編譯工作，明代有孫元化的《幾何用法》《幾何體論》，清代有方中通的《幾何約》(1661年)、李之鉉的《幾何易簡錄》(1679年)、梅文鼎的《幾何通解》(1692年)，等等，杜知耕的《幾何論約》(1700年)便是其中之一。

二、《幾何論約》的命名與編纂體例

《幾何論約》之所以命名為“論約”，如《四庫全書》中的《幾何論約》提要所言：“編取利瑪竇與徐光啟所譯《幾何原本》，復(fù)加刪削，故名曰《論約》?！盵2]1可見，《幾何論約》是依據(jù)利瑪竇與徐光啟合譯的《幾何原本》加以刪減而形成。關(guān)于刪減理由，《幾何論約》序中明確指出：“書成于萬歷丁未，至今九十余年，而習(xí)者尚寥寥無幾，其故何與？蓋以每題必先標(biāo)大綱，繼之以解，又繼之以論，多者千言，少者亦不下百余言。一題必繪數(shù)圖，一圖必有數(shù)線。讀者須凝精聚神，手志目顧，方明其義，精神少懈，一題未竟，已不知所言為何事。習(xí)者之寡，不盡由此，而未必不由此也?！盵2]4可見，杜知耕認(rèn)為《幾何原本》成書時長，然而能夠研讀這部書的人卻非常少，主要源于其內(nèi)容繁難。

《幾何約論》共七卷，其前六卷是在利瑪竇、徐光啟合譯的歐幾里得《幾何原本》前六卷基礎(chǔ)上，“就其原文，因其次第，論可約者約之，別有可發(fā)者，以己意附之，解已盡者節(jié)其論，題自明者并節(jié)其解，務(wù)簡省文句，期合題意而止。又推義比類，復(fù)綴數(shù)條于末，以廣其余意”[2]4-5，從而完成《幾何約論》。由此可見，《幾何論約》是依據(jù)《幾何原本》的編寫體例和順序，盡量簡省，另有可闡發(fā)之處，便附上自己的理解，已經(jīng)解釋全面的內(nèi)容便簡省其論述，題意明確的內(nèi)容則省簡其解說，追求文句簡省以期契合題意即可?！稁缀握摷s》第七卷設(shè)置“增題”十五題和“后附”十題，用以擴(kuò)充并闡發(fā)其余意。

《幾何論約》刪繁就簡的目的在于“一題之蘊(yùn)，數(shù)語輒盡，簡而能明，約而能該，篇富既短，精神易括，一目了然，如指諸掌”[2]4，意在使編譯內(nèi)容簡明概要，便于研讀。以《幾何原本》與《幾何論約》卷一第六題為例進(jìn)行對照：

解曰：甲乙丙三角形，其甲乙丙與甲丙乙兩角等。題言甲乙與甲丙兩腰亦等。

論曰：如云兩腰線不等，而一長一短，試辯之。若甲乙為長線，即令比甲丙線，截去所長之度，為乙丁線，而乙丁與甲丙等本篇三次自丁至丙作直線，則本形成兩三角形，其一為甲乙丙，其一為丁乙丙，而甲乙丙全形與丁乙丙分形同也，是全與其分等也公論九何者，彼言丁乙丙分形之乙丁，與甲乙丙全形之甲丙，兩線既等，丁乙丙分形之乙丙，與甲乙丙全形之乙丙，又同線，而元設(shè)丁乙丙與甲丙乙兩角等，則丁乙丙與甲乙丙兩形亦等也本篇四是全與其分等也，故底線兩端之兩角等者，兩腰必等也。

(《幾何原本·卷一》)

(2)第六題：三角形，若底線兩端之兩角等，則兩腰亦等。

(《幾何論約·卷一》)

就卷一第六題而言，《幾何論約》對《幾何原本》做了大量刪減，刪減了圖示、“解曰”及“論曰”的內(nèi)容，只保留了命題內(nèi)容?！稁缀握摷s》中，此類刪減較多。杜知耕之所以就《幾何原本》進(jìn)行刪減，意在使其內(nèi)容簡練而明確，概括而完備，篇幅短小而囊括精要，使研讀者能夠一目了然，易于讀懂，進(jìn)而增加研習(xí)者數(shù)量。

《幾何論約》前六卷均有“卷首”部分，卷首的主要內(nèi)容即“界說”“求作”和“公論”。“界說”主要就幾何術(shù)語、概念進(jìn)行解釋，如杜知耕所言“凡造論，先當(dāng)分別解說論中所用名目，故作界說”[2]5?！扒笞鳌敝饕橇谐鲇懻摰念}目。“公論”即定理，其中，僅卷一之首包含“界說”“求作”“公論”三部分內(nèi)容，即“界說三十六則”——點、線、面、角、形等幾何術(shù)語的界定，“求作四則”——求作直線、求作圓等討論題，如“一求：自此點至彼點，求作一直線”，即討論兩點間如何作一直線的問題?！肮撌艅t”——十九條幾何定理，如“十論：直角俱相等”“十三論：兩直線，止能于一點相遇”[2]7。《幾何論約》其余各卷之首僅有“界說”。卷首之后是各卷具體內(nèi)容，均為“題”，即題目或命題。第七卷是杜知耕增設(shè)的內(nèi)容。(見表1)

表1 《幾何論約》內(nèi)容簡表

具體而言，“題”即命題內(nèi)容，其下大多涉及“解曰”“論曰”“法曰”“用法”“系”“增題”“耕曰”等內(nèi)容，其中，命題本身不可或缺，其他部分則是輔助闡釋和論述命題的內(nèi)容。

(3)五題：兩圓相交必不同心。

(《幾何論約·卷三》)

(4)十題：一有界線，求兩平分之。

(《幾何論約·卷一》)

(5)十五題：凡兩直線相交作四角，每兩交角必等。

論曰：兩直線相交，則甲戊丁、丁戊乙必等于兩直角，甲戊丁、甲戊丙亦等于兩直角本卷十三。是甲戊丁、丁戊乙兩角并與甲戊丁、甲戊丙兩角并等矣，試減同用之甲戊丁角所存丁戊乙、甲戊丙兩角必等，余兩角亦同此論。

一糸：推顯兩直線相交作四角與四直角等。

二糸：凡直線相交于一點，不論幾許線、幾許角，定與四直角等。

增題：一直線內(nèi)出不同方兩直線，而所作兩交角等，即后出兩線為一直線理同本題反言之。

(《幾何論約·卷一》)

解曰：甲乙丙、丁戊己兩角形，乙辛、戊庚兩方形等高，其底乙丙、戊己，題言甲乙丙與丁戊己、乙辛與戊庚，皆若乙丙與戊己之比例。

增題：凡兩角形、兩方形等底，自相為比例，與其高之比例等。

耕曰：即前圖以高為底，以底為高，其理自明。

(《幾何論約·卷六》)

綜上可見，《幾何論約》卷三第五題僅有命題部分，卷一第十題包含命題和“法曰”“用法”，卷一第十五題包含命題和“解曰”“論曰”“系”“增題”，卷六第一題包含命題和“解曰”“增題”“耕曰”。其中，“解曰”意在解題?！胺ㄔ弧笔且宰鲌D法明確題意，“用法”可看作“法曰”的簡省方式，是將作圖法加以簡省以求簡明扼要?！罢撛弧本褪墙Y(jié)論，即定理?！案弧笔嵌胖睦斫夂头治??！霸鲱}”是由“題”延伸擴(kuò)展的題目。“系”即易于推導(dǎo)出的定律。

三、《幾何論約》數(shù)學(xué)幾何術(shù)語收錄與釋義

(一)《幾何論約》數(shù)學(xué)幾何術(shù)語收錄

《幾何論約》卷一至卷六“界說”部分收錄并解釋近代數(shù)學(xué)幾何術(shù)語95個。其中，卷一收錄點、線、角、面、圓、形等幾何基本術(shù)語39個，卷二收錄體現(xiàn)角線關(guān)系的幾何術(shù)語3個，卷三收錄體現(xiàn)圓與圓、線、角之間關(guān)系的幾何術(shù)語23個，卷四收錄體現(xiàn)圓與形之間關(guān)系的幾何術(shù)語7個，卷五收錄體現(xiàn)線、形比例關(guān)系的幾何術(shù)語22個，卷六收錄表示相似關(guān)系的幾何術(shù)語2個(見表2)?！稁缀握摷s》界定的幾何術(shù)語數(shù)量的62%，即59個術(shù)語沿襲至我國近代第一部西學(xué)術(shù)語詞典《新爾雅》，可見其應(yīng)用頻率與傳承性較強(qiáng)。

表2 《幾何論約》“界說”數(shù)學(xué)幾何術(shù)語收錄表①

(二)《幾何論約》數(shù)學(xué)幾何術(shù)語釋義方式

《幾何論約》中近代數(shù)學(xué)幾何術(shù)語釋義方式較豐富，包括“義界”式、“義界+夾注”式、“義界+圖示”式、“義界+夾注+圖示”式。

1.“義界”式

“義界”式，由被釋術(shù)語和釋語組成。如：

(7)圓，自界至心任作幾許直線俱等。

(《幾何論約·卷一》)

(8)直角形，其角皆直，其邊兩兩相等。

(《幾何論約·卷一》)

被釋術(shù)語“圓”“直角形”在前，釋語為“自界至心任作幾許直線俱等”“其角皆直，其邊兩兩相等”，二者之間無形式標(biāo)志。

(9)三邊形，兩邊線等，為兩邊等三角形。

(《幾何論約·卷一》)

(10)圓內(nèi)直線形，以各角切圓界為圓內(nèi)切形。

(《幾何論約·卷四》)

被釋術(shù)語“兩邊等三角形”“圓內(nèi)切形”在后，釋語為“三邊形，兩邊線等”“圓內(nèi)直線形，以各角切圓界”，二者之間以“為”作形式標(biāo)志。

2.“義界+夾注”式

“義界+夾注”式，是在“義界”式基礎(chǔ)上輔以夾注?！皧A注”在《幾何論約》中以小字形式呈現(xiàn)，目的在于補(bǔ)充或舉例說明所釋術(shù)語。例如：

(11)線，有長短，無廣狹厚薄。線有曲有直。

(《幾何論約·卷一》)

(12)形或在一界如平圓、立圓等形，或在多界之間如平方、立方及平立三角、六角、八角等形。

(《幾何論約·卷一》)

被釋術(shù)語“線”“形”在前，釋語為“有長短，無廣狹厚薄”“或在一界”“或在多界之間”，二者之間無形式標(biāo)志。夾注“線有曲有直”“如平圓、立圓等形”“如平方、立方及平立三角、六角、八角等形”置于釋語后用以補(bǔ)充或舉例說明。

(13)三邊形，三角皆銳角，為三邊銳角形凡三邊形恒以在下者為底，兩旁者為腰。

(《幾何論約·卷一》)

被釋術(shù)語“三邊銳角形”在后，釋語為“三邊形，三角皆銳角”，二者之間以“為”作形式標(biāo)志。夾注“凡三邊形恒以在下者為底，兩旁者為腰”置于釋語后用以補(bǔ)充說明。

3.“義界+圖示”式

“義界+圖示”式，是在“義界”式基礎(chǔ)上輔以圖示。其中，義界部分主要以“曰”“為”“謂”作形式標(biāo)志，此類釋義中往往伴有對應(yīng)圖示的舉例說明。

(《幾何論約·卷三》)

被釋術(shù)語為“分圓形”，被釋術(shù)語與釋語之間以“曰”為形式標(biāo)志。義界之后輔以圖示說明。

(《幾何論約·卷三》)

被釋術(shù)語為“等圓”，被釋術(shù)語與釋語之間以“為”作形式標(biāo)志，“如甲乙、戊己兩徑等，或丁丙、辛庚從心至圓界等，即兩圓等”為舉例說明，之后輔以圖示。

(《幾何論約·卷五》)

被釋術(shù)語為“同理之比例”“連比例”“斷比例”，被釋術(shù)語與釋語之間以“為”或“謂”作形式標(biāo)志，“如甲與乙兩幾何之比例，偕丙與丁兩幾何之比例，其理相似為同理之比例”“如后圖戊與己比、己又與庚比是也”“如前圖甲自與乙比、丙自與丁比是也”為舉例說明，其后輔以圖示。

4.“義界+夾注+圖示”式

“義界+夾注+圖示”式，是在“義界”式基礎(chǔ)上輔以夾注和圖示。其中，義界部分主要以“為”或“曰”為形式標(biāo)志。

(《幾何論約·卷一》)

被釋術(shù)語為“垂線”，夾注“角方，中矩曰直”針對釋語“直”加以解釋，義界之后輔以圖示說明。

(《幾何論約·卷一》)

被釋術(shù)語為“平行線”，夾注“如甲乙丙兩線”針對釋語“兩直線”加以舉例，義界之后輔以圖示說明。

(《幾何論約·卷一》)

被釋術(shù)語為“銳角”“鈍角”，夾注“如前圖甲乙丁角”“如甲乙丙角”分別針對被釋術(shù)語“銳角”“鈍角”用以舉例，義界之后輔以圖示說明。

綜上，在明末清初西學(xué)東漸的時代背景之下，清初數(shù)學(xué)家杜知耕在利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》基礎(chǔ)上，刪繁就簡，取舍有度，編譯而成《幾何約論》?！稁缀渭s論》系統(tǒng)收錄近代數(shù)學(xué)幾何術(shù)語95個，包括點、線、角、面、圓、形等幾何基本術(shù)語以及體現(xiàn)線、角、面、圓、形之間關(guān)系與體現(xiàn)線、形比例關(guān)系、相似關(guān)系的幾何術(shù)語，運(yùn)用義界輔以夾注、圖示等多種釋義方式加以界定，其界說圖文并茂、精要概括，促進(jìn)了近代數(shù)學(xué)幾何知識及術(shù)語的普及與傳承。

【 注 釋 】

①表中標(biāo)下劃線的幾何術(shù)語在《新爾雅》中有收錄。