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    2022屆高考模擬考試數(shù)學(xué)試題(本試卷適合新高考地區(qū)考生使用)

    2022-05-23 01:45:08李昌成
    數(shù)理化解題研究 2022年13期
    關(guān)鍵詞:銳角三角雙曲線象限

    李昌成

    (新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830027)

    本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.時(shí)量120分鐘,滿分150分.

    第Ⅰ卷

    一、單選題(本大題共8小題,每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

    1.設(shè)φ∈R,則“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)為偶函數(shù)”是“φ=π”的( ).

    A. 充分不必要條件

    B. 必要不充分條件

    C. 充分必要條件

    D. 既不充分也不必要條件

    A.第一象限 B. 第二象限

    C.第三象限 D. 第四象限

    3.已知|a|=2|b|≠0,且關(guān)于x的方程x2+|a|x+a·b=0有實(shí)根,則a與b的夾角的取值范圍是( ).

    A. 恒大于0 B. 恒小于0

    C. 等于0 D. 無(wú)法判斷

    7.如圖1,在等邊△ABC中,D,E分別是線段AB,AC上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),且BD=CE,現(xiàn)將△ADE沿直線DE折起,使平面ADE⊥平面BCED,當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B滑動(dòng)到點(diǎn)A的過(guò)程中,則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是( ).

    A. ∠ADB的大小不會(huì)發(fā)生變化

    B. 二面角A-BD-C的平面角的大小不會(huì)發(fā)生變化

    C.BD與平面ABC所成的角變大

    D.AB與DE所成的角先變小后變大

    圖1

    8.設(shè)(lnx)2-lnx-2=0的兩根是α,β,則logαβ+logβα=( ).

    二、多選題(本大題共4小題,每小題5分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選出的得5分,部分選出的得2分,有選錯(cuò)的得0分)

    10.在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間,有專(zhuān)業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天,每天新增疑似病例不超過(guò)7人”.過(guò)去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下:

    甲地:中位數(shù)為2,極差為5;

    乙地:總體平均數(shù)為2,眾數(shù)為2;

    丙地:總體平均數(shù)為1,總體方差大于0;

    丁地:總體平均數(shù)為2,總體方差為3.

    則甲、乙、丙、丁四地中,一定沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的有( ).

    A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地

    圖2

    B. 若b2=ac,則該雙曲線是黃金雙曲線

    C. 若∠F1B1A2=90°,則該雙曲線是黃金雙曲線

    D. 若∠MON=90°,則該雙曲線是黃金雙曲線

    12.在三棱錐A-BCD中,AB=CD=6,AC=BD=5,AD=BC=7,M,N,P,Q分別為棱AB,CD,AD,BC的中點(diǎn),則( ).

    A. 直線MN是線段AB和CD的垂直平分線

    B. 四邊形MQNP為正方形

    D. 經(jīng)過(guò)三棱錐A-BCD各個(gè)頂點(diǎn)的球的表面積為55π

    第Ⅱ卷

    三、填空題(本題共4小題,每小題5分)

    13.直線y=x與曲線y=2ln(x+m)相切,則m=____.

    14.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,則|a1|+|a2|+…+|a7|=____.

    15.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中,卷下第二十六題是:今有物,不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問(wèn)物幾何?滿足題意的答案可以用數(shù)列表示,該數(shù)列的通項(xiàng)公式可以表示為an=____.

    四、解答題(共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

    (1)求B;

    (2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.

    已知{bn-an}為等差數(shù)列,{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,b1=2,b3=14,____,是否存在正整數(shù)k,使得Sk>2021?若存在,求k的最小值;若不存在,說(shuō)明理由.

    19.(本小題滿分12分)如圖3,在棱錐P-ABCD中,側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,底面ABCD是菱形,平面PCD⊥平面ABCD,M是PB的中點(diǎn),且∠BCD=120°.

    (1)求證:PA⊥CD;

    (2)求直線PD與平面CDM所成角的正弦值.

    圖3

    (1)求橢圓C的方程;

    21.(本小題滿分12分)在一個(gè)系統(tǒng)中,每一個(gè)設(shè)備能正常工作的概率稱(chēng)為設(shè)備的可靠度,而系統(tǒng)能正常工作的概率稱(chēng)為系統(tǒng)的可靠度,為了增加系統(tǒng)的可靠度,人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”(即正在使用的設(shè)備出故障時(shí)才啟動(dòng)的設(shè)備).已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”(即一臺(tái)正常設(shè)備,兩臺(tái)備用設(shè)備)的配置,這三臺(tái)設(shè)備中,只要有一臺(tái)能正常工作,計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉.設(shè)三臺(tái)設(shè)備的可靠度均為r(0

    (1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992,求r的最小值;

    (2)當(dāng)r=0.9時(shí),求能正常工作的設(shè)備數(shù)X的分布列;

    (3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中每臺(tái)設(shè)備的可靠度是0.7,根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知,計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可能給該產(chǎn)業(yè)園帶來(lái)約50萬(wàn)的經(jīng)濟(jì)損失.為減少對(duì)該產(chǎn)業(yè)園帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)損失,有以下兩種方案:

    方案1:更換部分設(shè)備的硬件,使得每臺(tái)設(shè)備的可靠度維持在0.9,更新設(shè)備硬件總費(fèi)用為8萬(wàn)元;

    方案2:對(duì)系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù),使得設(shè)備可靠度維持在0.8,設(shè)備維護(hù)總費(fèi)用為5萬(wàn)元.

    請(qǐng)從期望損失最小的角度判斷決策部門(mén)該如何決策?

    (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (2)令F(x)=af(x)-x2,若F(x)<1-2ax在x∈(1,+∞)恒成立,求整數(shù)a的最大值.

    參考答案

    一、選擇題

    1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.C

    8.D 9.AC 10.AD 11.BCD 12.ACD

    二、填空題

    三、解答題

    因?yàn)閟inA>0,

    (2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,

    由余弦定理,得

    由△ABC為銳角三角形,可得a2+a2-a+1>1且1+a2-a+1>a2,

    18.選①:由log2an+1=log2an+1,得

    log2an+1-log2an=1.

    所以{log2an}是首項(xiàng)為log2a1=1,公差為1的等差數(shù)列.

    所以log2an=1+(n-1)×1=n,故an=2n.

    又b1=2,b3=14,a1=2,a3=8,

    所以b1-a1=0,b3-a3=6.

    所以等差數(shù)列{bn-an}的公差

    所以bn-an=b1-a1+(n-1)d=3(n-1).

    所以bn=2n+3(n-1),

    由Sn>2021得n≥10,即存在正整數(shù)k,使得Sk>2021,且k的最小值為10.

    選②:由an+1=an+2n,得a2-a1=21,a3-a2=22,a4-a3=23,…,an-an-1=2n-1(n≥2).

    又a1=2,所以an=2n(n≥2).

    顯然a1=2也滿足an=2n(n≥2),故an=2n.

    以下解法同選①.

    (an+1-2an)(an+1+an)=0.

    所以{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以an=2n.

    以下解法同選①.

    19.(1)因底面ABCD是菱形,且∠BCD=120°,

    所以∠CDA=60°.

    連接AC,所以△CDA為等邊三角形.

    取CD的中點(diǎn)O,連接AO,PO,則AO⊥CD,PO⊥CD,又AO∩PO=O,AO,PO?平面AOP,

    所以CD⊥平面AOP.

    又PA?平面AOP,所以CD⊥PA.

    (2)因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,OP?平面PCD,OP⊥CD,

    所以O(shè)P⊥平面ABCD.

    又OA?平面ABCD,所以O(shè)P⊥OA,

    又OA⊥CD,PO⊥CD,

    所以O(shè)A,OP,CD兩兩垂直.

    圖4

    設(shè)n=(x,y,z)為平面CDM的法向量,則

    令y=1,則z=-1,故n=(0,1,-1).

    由以上兩式解得a2=4,b2=2.

    (2)存在這樣的直線.

    設(shè)所求直線與橢圓相交兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),

    (1+2k2)x2+12kx+14=0.

    △=(12k)2-4×14×(1+2k2)>0,

    可得x2=2x1.

    21.(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992,則P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1-r)3≥0.992,解得r≥0.8,故r的最小值為0.8.

    (2)設(shè)X為能正常工作的設(shè)備數(shù),由題意可知,X~B(3,r).

    所以X的分布列為

    X0123P0.0010.0270.2430.729

    (3)設(shè)方案1,方案2的總損失分別為X1,X2.

    采用方案1,更換部分設(shè)備的硬件, 使得設(shè)備可靠度達(dá)到0.9,由(2) 可知計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為0.001,不斷掉的概率為0.999,因此E(X1) =80000+0.001×500000=80500(元).

    采用方案2, 對(duì)系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù), 使得設(shè)備可靠度達(dá)到0.8,由(1) 可知計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為0.008,因此E(X2)=50000+0.008×500000=54000(元).

    因此, 從期望損失最小的角度, 決策部門(mén)應(yīng)選擇方案2.

    ①當(dāng)a≤0時(shí),由f′(x)>0,

    所以?x0∈(3,4),使得

    從而h(x)在(1,x0)單調(diào)遞減,在[x0,+∞)單調(diào)遞增.

    所以a

    故整數(shù)a的最大值為3.

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