章首課的教學(xué)與反思
——以“不等式”的教學(xué)為例

張 麗

(江蘇省南京市南師附中秦淮科技高中 210007)

筆者嘗試上了一節(jié)“不等式”章首課，“不等式”是蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)5》(必修)第三章章首節(jié).它對后續(xù)的不等關(guān)系、一元二次不等式、二元一次不等式表示的平面區(qū)域、簡單的線性規(guī)劃問題及基本不等式的證明等學(xué)習(xí)內(nèi)容具有“先行組織者”的影響.以下介紹的是這節(jié)章首課的主要教學(xué)過程及若干思考，與同行交流.

1 教學(xué)過程

片段一“為什么要學(xué)”

師：本章學(xué)習(xí)“不等式”，我們?yōu)槭裁匆芯坎坏仁剑?/p>

生1：因?yàn)樵谏钪杏写罅康牟坏汝P(guān)系.

師：數(shù)學(xué)中用什么表示這些不等關(guān)系？舉例.

生2：不等式.

生3：例如x>1,(a+b)2≥0,(a-b)2≥0,x2<1,sin60°<1……

片段二“學(xué)什么”

師：我們對等式有過大量的研究,我們能對不等式做些什么研究呢？

生4：首先要搞清楚什么是不等式.用不等號表示的式子叫不等式.

師規(guī)范：用不等號連接的式子叫做不等式.

師追問：有哪些不等號呢?

生4：“<”“>”“≤”“≥”“≠”

生5：不等式可以研究一次不等式，二次不等式，三次不等式等等，還可以研究有幾個(gè)未知量的不等式和不等式的應(yīng)用.

生6：由不等式想到等式，由等式的性質(zhì)想到可以研究不等式的性質(zhì).

師：請舉例.

生6：比如由“若a=b，則a+1=b+1”類比得到“若a>b，則a+1>b+1”.

師：類比遷移時(shí)需要注意什么?

生6：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)，他們各自有成立的前提條件，需要特別注意.

生7：等式研究的是確定的關(guān)系，不等式研究的是不確定的關(guān)系，不確定的關(guān)系可能是范圍，也可能是其他形式.如非常常見的不等式a2+b2≥2ab，它是個(gè)對其它問題有影響的不等式，我們先研究它，再應(yīng)用它.

師追問：確定關(guān)系反映在等式上是什么？比如x+1=0.

生7：能把方程解出來.

師：就是我們可以通過“解方程”來解釋這個(gè)確定的關(guān)系.

師追問：那么不確定的關(guān)系反映在不等式上是什么？

生7：解不等式.

師繼續(xù)追問：你說的非常常見的不等式，我們怎么研究它？(生7回答不出.)

師：那你認(rèn)可這樣的不等式嗎？怎么說明它可以被應(yīng)用？

生7：認(rèn)可，我可以證明它是正確的.

師：非常好！

生8：我考慮的是不等式自身的特性，如恒成立，再如不等式與不等式之間的關(guān)系.

片段三“怎么學(xué)”

師：同學(xué)們說得都很棒！如果確定了研究的內(nèi)容，你打算如何去研究呢？比如,在初中我們學(xué)過了一元一次不等式，不妨以此為例，我們一起回顧一下是如何研究一元一次不等式的.我們解一下不等式3x+2>0.

師：他這樣解有依據(jù)嗎？

生10：用了不等式的性質(zhì).

師：還有什么方法可以解這個(gè)不等式？

師：這位同學(xué)條理清晰地找到了函數(shù)圖象、方程(即等式)與不等式之間的聯(lián)系，利用函數(shù)圖象研究了一元一次不等式解法.我們在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究不等式,可以研究哪一類？

生12：一元二次不等式，如x2-3x+2<0，

生13：先構(gòu)造一元二次函數(shù)y=x2-3x+2，并作出它的圖象，令y=0，得到x=1和x=2，也即找到了函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).解不等式x2-3x+2<0，就是解y<0.

師：這是從形的角度去思考，能換一個(gè)角度解決一元二次不等式嗎？

師：你是怎么想到的？

生14：我們已經(jīng)會解一元一次不等式，那么可以考慮把一元二次轉(zhuǎn)化為一元一次的問題，因式分解就是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的一種手段.

師：如果不能因式分解呢？如求解不等式x2-3x+1<0.

生15：用配方或求根公式，只要能找到方程的根，結(jié)合圖象即可.

生16：不一定都能找到方程的根，但是可以作圖，結(jié)合圖象解決.比如，x2+1<0，無解，不等式的解集為空集.(掌聲自然的響起.)

師：如何進(jìn)一步求解一元三次不等式，如x3-2x2-x+2<0？

生17：找到方程的一個(gè)根，即可將三次方程降為二次方程，然后研究三次函數(shù)圖象，再解決一元三次不等式問題.

師：非常好，用了降次與化歸的思想方法.當(dāng)然，也許還有一些簡便的解法，可待后續(xù)研究.一元不等式我們暫且討論至此，在同學(xué)們舉例的等式中有一個(gè)x+y=2，這是什么方程？

生18：二元一次方程.

師：它的解是什么？

生18：無數(shù)組解.

師：怎么表示這些解？

生19：直線y=-x+2上所有的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x-y=2的解.

師：你能仿此等式寫出一個(gè)不等式，并且求解嗎？(先充分獨(dú)立思考，然后再小組合作討論.)

生20：我們組研究了二元一次不等式x+y>0的解法.先畫函數(shù)x+y=0的圖象，然后發(fā)現(xiàn)直線y=-x右上方的區(qū)域中點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足不等式x+y>0，因此不等式x+y>0的解在直線x+y=0的右上方區(qū)域.

PPT上呈現(xiàn)問題：

已知bg糖水中有ag糖(b>a>0),若再添加mg糖(m>0),則糖水更甜(即濃度更高).請根據(jù)這個(gè)事實(shí)寫出a,b,m所滿足的不等關(guān)系.

師：同學(xué)們能提煉出實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的思維鏈嗎？

(請獨(dú)立思考2分鐘，然后小組討論3分鐘.一個(gè)小組發(fā)言，其它小組點(diǎn)評.)

師：同學(xué)們可以類比證明等式恒成立的方法，來證明一些恒成立的不等式，請課后完善此題證明.

片段四“梳理知識，歸納小結(jié)”

師：學(xué)完這節(jié)課你知識上、方法上有什么收獲？還有什么困惑嗎？請先獨(dú)立思考,然后小組合作填寫小結(jié)表格.

課后作業(yè)：自學(xué)必修五第三章不等式，寫出你的收獲、困惑,并設(shè)計(jì)成一個(gè)表格.

2 教后反思

2.1“等”與“不等”是辯證關(guān)系

“等”與“不等”是對立統(tǒng)一的.從量的關(guān)系上看“等”是相對的，“不等”則是絕對的；從運(yùn)算性質(zhì)上看，“等式”和“不等式”有相似的一面，如傳遞性，但又有差異的一面，如兩邊同乘一個(gè)數(shù)等式仍然成立，而不等式不一定成立；從矛盾雙方轉(zhuǎn)化來看，“等”的問題有時(shí)要轉(zhuǎn)化為“不等”問題，而“不等”問題有時(shí)又要轉(zhuǎn)化為“等”的問題，如判斷一元二次方程實(shí)根情況和解一元二次不等式便是在“等”和“不等”之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化.

2.2 學(xué)生已有認(rèn)知作為新知的重要生長點(diǎn)

要充分分析學(xué)情.了解學(xué)生已經(jīng)具備了哪些知識，如學(xué)生已有“等式”和已經(jīng)研究過的“一元一次不等式”的認(rèn)知；了解學(xué)生已有的數(shù)學(xué)思想方法，如類比思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、降次思想、數(shù)形結(jié)合思想；學(xué)生已有的研究數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)，如從特殊到一般、從低次到高次、從一元到多元、從為什么學(xué)到學(xué)什么再到怎么學(xué).學(xué)生已有的認(rèn)知決定有哪些知識點(diǎn)作為新授課的生長點(diǎn)，哪些方法和經(jīng)驗(yàn)可以遷移到新的學(xué)習(xí)內(nèi)容中來，最后引導(dǎo)學(xué)生探索各知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識框架.

2.3 上章首課的理由

章首課的內(nèi)容和研究方法有利于學(xué)生搭建知識框架，并能為后續(xù)學(xué)習(xí)本章內(nèi)容提供重要的思想方法.

2.4 章首課的形態(tài)

章首課宜多“虛”少“實(shí)”，宜多“宏觀”少“微觀”，宜多“粗”少“細(xì)”，甚至問題都不用解決到底，可留待后續(xù)探究.簡單來說就是“看似什么都講了，又好似什么都沒講”.

科學(xué)地設(shè)計(jì)、合理地實(shí)施章首課教學(xué)，對一章的學(xué)習(xí)能起到事半功倍的效果，章首課豐富的教學(xué)價(jià)值值得教者深思.