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    同步發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)的準(zhǔn)確表達(dá)

    2022-05-23 13:54:32李生虎
    關(guān)鍵詞:電抗磁鏈電勢(shì)

    李生虎

    (合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院, 合肥 230009)

    同步發(fā)電機(jī)SG(Synchronous Generator)是電力系統(tǒng)中最重要有功/無(wú)功電源。SG功角失穩(wěn)和頻率失穩(wěn),是電力系統(tǒng)最嚴(yán)重安全問(wèn)題。由于方程多、表達(dá)形式復(fù)雜,SG動(dòng)態(tài)建模,是電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)仿真和穩(wěn)定分析的基礎(chǔ),也是電力系統(tǒng)暫態(tài)分析教學(xué)難點(diǎn)之一。

    站在SG角度,對(duì)其建??梢圆捎盟矔r(shí)量形式、abc靜止坐標(biāo)系。站在電網(wǎng)角度,SG建模一般基于相量形式、派克變換后dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系,借助機(jī)網(wǎng)結(jié)構(gòu)方程,與電網(wǎng)xy坐標(biāo)系方程聯(lián)立求解。

    SG電磁暫態(tài)包括定子暫態(tài)和轉(zhuǎn)子暫態(tài)。定子暫態(tài)為2階方程,衰減較快,可簡(jiǎn)化為代數(shù)方程。轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)考慮勵(lì)磁繞組(f)和阻尼繞組(D, Q),大多用3階模型描述。

    采用磁鏈作為狀態(tài)變量時(shí),SG電磁暫態(tài)描述非常簡(jiǎn)單直接。但是由于研究人員更習(xí)慣采用內(nèi)電勢(shì)(包括d軸暫態(tài)電勢(shì)Eq′和d、q軸次暫態(tài)電勢(shì)Ed″和Eq″)來(lái)描述SG,需要轉(zhuǎn)換方程形式,確定暫態(tài)和次暫態(tài)電抗,增加了電磁暫態(tài)準(zhǔn)確表達(dá)的難度。

    現(xiàn)有專(zhuān)著和教材中,有些從電網(wǎng)穩(wěn)定分析角度考慮,直接給出電磁暫態(tài)模型[1-3]。有些基于拓展電路表達(dá)和假設(shè)條件,嘗試給出電磁暫態(tài)表達(dá)的推導(dǎo)過(guò)程,例如:

    (1) 根據(jù)定、轉(zhuǎn)子電壓方程,可將電抗視為電阻、將電阻除以拉式算子后視為等效電容[4-5];或保留電抗對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù),繪制磁鏈耦合路徑,得到d、q軸等效電路[6]。

    (2) 對(duì)于故障后從定子側(cè)看進(jìn)去的等效電感,通過(guò)不同時(shí)間的磁通路徑[7],描述得到暫態(tài)/次暫態(tài)電感表達(dá)。

    (3) 基于電壓方程或者等效電路,可以得到dq軸運(yùn)算電抗的拉式變換形式。忽略繞組電阻(人為繞組是超導(dǎo)體)、或者采用初值定理(適用于故障后瞬間),可以得到暫態(tài)/次暫態(tài)電抗表達(dá)形式[4-7]。

    (4) 基于短路試驗(yàn)原理,當(dāng)f繞組短路、D繞組開(kāi)路時(shí),令定子繞組中突然流過(guò)只含有d軸分量的電流,此時(shí)測(cè)得定子電抗即是Xd′。當(dāng)f、D繞組都短路時(shí),令定子繞組中突然流過(guò)只含有d軸分量的電流,此時(shí)測(cè)得的定子繞組電抗即是Xd″。類(lèi)似可定義Xq″[8]。

    SG電磁暫態(tài)推導(dǎo)過(guò)程涉及很多公式,較為晦澀難懂。因此在講授本科“電力系統(tǒng)暫態(tài)分析”、本科/研究生“電力系統(tǒng)故障分析”、研究生“高等電力系統(tǒng)分析”課程時(shí),對(duì)SG電磁暫態(tài)建模,往往直接給出最后結(jié)果,不解釋中間過(guò)程。學(xué)生常存在疑問(wèn):

    (1) 暫態(tài)/次暫態(tài)電抗/電勢(shì)定義,往往基于等效電路和運(yùn)算電抗,給人印象是在解釋而非嚴(yán)格證明。采用初值/終值定理,不能明確其他時(shí)刻暫態(tài)/次暫態(tài)電抗取值。引入超導(dǎo)體概念,人為假設(shè)過(guò)強(qiáng)。因此常有疑問(wèn):暫態(tài)/次暫態(tài)電抗/電勢(shì)表達(dá),是否唯一?

    (2) 不同文獻(xiàn)中,轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)(電壓方程)存在不同形式。由此常有疑問(wèn):何為準(zhǔn)確表達(dá)?

    針對(duì)上述問(wèn)題,本文基于定轉(zhuǎn)子回路電壓/磁鏈方程,通過(guò)矩陣變換,嚴(yán)格證明暫態(tài)/次暫態(tài)電感/電勢(shì)表達(dá)方式唯一。提出基于內(nèi)電勢(shì)的轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)的精確表達(dá)。算例分析中對(duì)比轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)系數(shù)項(xiàng),量化了現(xiàn)有近似表達(dá)的誤差。

    1 SG電磁暫態(tài)現(xiàn)有表達(dá)

    正常情況下SG結(jié)構(gòu)和運(yùn)行參數(shù)對(duì)稱(chēng),其結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1,內(nèi)部繞組見(jiàn)圖2,其中定子三相繞組和轉(zhuǎn)子勵(lì)磁繞組實(shí)際存在,轉(zhuǎn)子阻尼繞組為等值繞組。

    圖1 同步發(fā)電機(jī)結(jié)構(gòu)

    圖2 同步發(fā)電機(jī)繞組

    忽略零軸、諧波、磁鏈飽和,將參數(shù)由三相靜止坐標(biāo)系變換到dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系,取標(biāo)么值,定、轉(zhuǎn)子磁鏈方程見(jiàn)(1)(2)式,電壓方程見(jiàn)(3)(4)式。

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    其中V、I、ψ分別為電壓、電流和磁鏈,R為電阻,L為電感,Lad和Laq為d、q軸反應(yīng)電感,ω為轉(zhuǎn)速,p為微分算子,下標(biāo)D表示定子。

    在額定轉(zhuǎn)速下,L和電抗X標(biāo)么值相等。計(jì)及機(jī)械暫態(tài)后,轉(zhuǎn)速存在變化。為簡(jiǎn)化表達(dá),很多文獻(xiàn)不嚴(yán)格區(qū)分兩者,直接將L寫(xiě)成X。

    (3)(4)式可以準(zhǔn)確表達(dá)SG電磁暫態(tài)。其狀態(tài)變量取磁鏈,現(xiàn)有計(jì)算更習(xí)慣內(nèi)電勢(shì)模型。將(1)式代入(3)式,得定子電磁暫態(tài)簡(jiǎn)化表達(dá):

    (5)

    將(2)式代入(4)式,取狀態(tài)變量Eq′、Eq″和Ed″,得到定、轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)常見(jiàn)近似表達(dá)[6, 9, 10]:

    (6)

    其中Ef=XadIf=XadVf/Rf,Tdo′和Tdo″是暫態(tài)和次暫態(tài)直軸開(kāi)路時(shí)間常數(shù),Tqo″是暫態(tài)和次暫態(tài)交軸開(kāi)路時(shí)間常數(shù)(7)式。(6)式第二行中pEq′項(xiàng)經(jīng)常被忽略。

    (7)

    暫態(tài)/次暫態(tài)電抗定義見(jiàn)(8)式,暫態(tài)/次暫態(tài)電勢(shì)定義見(jiàn)(9)式。

    (8)

    (9)

    以下證明:轉(zhuǎn)子磁鏈暫態(tài)(6)式,是否為準(zhǔn)確表達(dá)、暫態(tài)/次暫態(tài)電抗和電勢(shì)(8)(9)式,是否是唯一表達(dá)。

    2 暫態(tài)/次暫態(tài)電抗/電勢(shì)表達(dá)唯一性證明

    以下基于矩陣變換,提出暫態(tài)/次暫態(tài)電感/電勢(shì)的準(zhǔn)確表達(dá),以證明其唯一性。

    2.1 暫態(tài)/次暫態(tài)電抗表達(dá)唯一性證明

    區(qū)分定、轉(zhuǎn)子,將(1)-(4)式改寫(xiě)為矩陣形式[11],

    (10)

    (11)

    將-Idq和ψdq對(duì)調(diào)得,

    (12)

    以上表明暫態(tài)/次暫態(tài)電感表達(dá)形式唯一,且不隨時(shí)間變化,不是僅存在于故障瞬間。沒(méi)有引入初值定理、超導(dǎo)體等假設(shè),所以是嚴(yán)格證明。

    2.2 暫態(tài)/次暫態(tài)電勢(shì)表達(dá)唯一性證明

    將(12)式代入(11)式,得電磁暫態(tài)模型,

    (13)

    其中VfDQ=[Vf, 0, 0]T。第一行為機(jī)網(wǎng)接口,第二行反映轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)。第一行ΩsLsrLrr-1ΨfDQ項(xiàng)展開(kāi):

    (14)

    顯然就是(9)式后兩行。保留勵(lì)磁繞組、忽略阻尼繞組,類(lèi)似可得到(9)式第一行。由此可嚴(yán)格證明,暫態(tài)/次暫態(tài)電勢(shì)與轉(zhuǎn)速成正比,且表達(dá)方式唯一。

    計(jì)及(14)式,得定子暫態(tài)準(zhǔn)確表達(dá):

    (15)

    對(duì)比發(fā)現(xiàn),定子暫態(tài)簡(jiǎn)化表達(dá)(5)式忽略定子磁鏈暫態(tài)和轉(zhuǎn)速變化,即假設(shè)pψd=pψq=0、ω=1pu[12]。如果計(jì)及pψd和pψq,在功角曲線開(kāi)始階段中將出現(xiàn)反擺,類(lèi)似水輪機(jī)水錘效應(yīng)。Kundur、Krause等國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家認(rèn)為,忽略定子磁鏈暫態(tài)和忽略轉(zhuǎn)速變化對(duì)SG電磁暫態(tài)的影響,可以相互抵消[2, 13]。但是作者嚴(yán)格證明,上述影響可以相互抵消,僅限于定子電阻為零且小擾動(dòng)分析[14];否則該結(jié)論錯(cuò)誤。

    3 轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)表達(dá)的準(zhǔn)確表達(dá)

    相對(duì)而言,定子電磁暫態(tài)推導(dǎo)較為容易,而轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)更難理解,現(xiàn)有表達(dá)形式也更多,缺乏準(zhǔn)確表達(dá)形式。

    3.1 轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)準(zhǔn)確表達(dá)

    以下基于矩陣變換,提出轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)的準(zhǔn)確表達(dá)。將(9)式寫(xiě)成矩陣形式,

    (16)

    (17)

    為比較與(6)式差異,使得右側(cè)轉(zhuǎn)子暫態(tài)/次暫態(tài)電勢(shì)項(xiàng)形式接近,改寫(xiě)上式得:

    (18)

    3.2 現(xiàn)有轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)表達(dá)的誤差

    取SG參數(shù)Rs=0.003 pu,Ld=1.81 pu,Lq=1.76 pu,定子漏感Ll=0.15 pu,Ld′=0.3 pu,Ld″=0.23 pu,Lq″=0.25 pu,Tdo′=8.0 pu,Tdo″=0.03 s,Tqo″=0.07 s[2]。

    定子暫態(tài)表示為:

    (19)

    轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)近似表達(dá)展開(kāi)為:

    (20)

    以下計(jì)算SG參數(shù),以建立準(zhǔn)確表達(dá)。

    計(jì)算(13)式中系數(shù)矩陣:

    按3.1節(jié)步驟,得到轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)的準(zhǔn)確表達(dá):

    (21)

    對(duì)比(20)(21)式發(fā)現(xiàn),兩式右側(cè)相同,第三行也相同。現(xiàn)有表達(dá)的誤差,在于左側(cè)時(shí)間常數(shù)前兩行的耦合項(xiàng)。

    現(xiàn)有模型忽略第一行pEq′項(xiàng),是因?yàn)槠湎鄬?duì)于pEq″項(xiàng)衰減較快。將第二行左側(cè)兩個(gè)系數(shù)都取Tdo″、甚至忽略第一項(xiàng),以簡(jiǎn)化表達(dá)轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)表達(dá)形式。這些簡(jiǎn)化節(jié)省計(jì)算量,但是影響暫態(tài)過(guò)程的模式特征和衰減速度。

    4 結(jié)語(yǔ)

    本文基于定轉(zhuǎn)子回路電壓/磁鏈方程,通過(guò)矩陣變換,證明暫態(tài)/次暫態(tài)電感/電勢(shì)表達(dá)形式的唯一性,提出基于內(nèi)電勢(shì)的轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)準(zhǔn)確表達(dá)。研究發(fā)現(xiàn):

    (1) 暫態(tài)和次暫態(tài)電感表達(dá)方式唯一,不依賴(lài)于短路瞬間或超導(dǎo)體等人為假設(shè)。

    (2) 暫態(tài)和次暫態(tài)電勢(shì)表達(dá)方式唯一。

    (3) 現(xiàn)有轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)簡(jiǎn)化表達(dá)中,d軸電壓方程時(shí)間常數(shù)存在誤差。

    上述研究成果,有助于改進(jìn)電網(wǎng)穩(wěn)定分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。由于推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)潔嚴(yán)謹(jǐn),便于在本科和研究生教學(xué)中得以應(yīng)用。

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