閉合壓力作用下支撐劑過頂替對裂縫縫寬的影響

于正昊 徐加祥 付 穎 張艷博 王湘婷

（1. 遼寧石油化工大學(xué)石油天然氣工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001；

2. 中國石油勘探開發(fā)研究院壓裂酸化技術(shù)服務(wù)中心，河北 廊坊 065007）

0 引 言

隨著中國幾十年油氣勘探開發(fā)的發(fā)展，賦存于頁巖、致密砂巖等低孔隙度、低滲透率儲層的非常規(guī)油氣資源逐漸成為各大油田油氣上產(chǎn)的主力［1‐3］。理論與實踐證明，水平井結(jié)合水力壓裂技術(shù)是經(jīng)濟有效地開發(fā)該類資源必不可少的技術(shù)手段［4‐7］。在壓裂施工過程中，支撐劑在水力裂縫中的分布特征直接決定了壓裂后油氣井生產(chǎn)情況［8‐11］。為了防止井筒沉砂，并使支撐劑盡可能被輸送到裂縫內(nèi)部，往往采用過頂替的方法，但是不合理的過頂替液量會造成裂縫縫口提前閉合，影響壓裂后油氣井產(chǎn)能。

為了探究合理的過頂替液量及其對油氣井產(chǎn)能的影響，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。姚偉等［12］通過洞穴模型對煤層氣過頂替壓裂效果進(jìn)行分析，證明過頂替壓裂井在解吸時間和產(chǎn)氣量方面均優(yōu)于常規(guī)頂替壓裂井；嚴(yán)向陽等［13］借助不穩(wěn)定滲流模型、點源理論和勢疊加原理，建立了過頂替壓裂后水平氣井產(chǎn)能模型，發(fā)現(xiàn)裂縫內(nèi)一旦出現(xiàn)過頂替，則隨著過頂替液量的增加水平井產(chǎn)能的下降程度會降低；何智慧等［14］通過理論分析結(jié)合實踐經(jīng)驗給出了水力壓裂過程中過頂替液用量的合理條件；Klaas等［15］通過比較頁巖氣儲層壓裂后產(chǎn)能變化提出了過頂替的適用準(zhǔn)則。上述工作重點研究了過頂替對油氣井產(chǎn)能的影響，缺乏對裂縫整體（包括填砂區(qū)域和過頂替區(qū)域）縫寬變化的分析及縫口閉合時機的判斷。

本文研究借助裂縫—基質(zhì)耦合滲流模型，在模擬壓裂后裂縫內(nèi)流體壓力變化的基礎(chǔ)上，利用線彈性模型定量分析了裂縫整體縫寬的變化及裂縫縫口閉合的情況。研究取得的認(rèn)識可以為水力壓裂施工設(shè)計和壓后單井產(chǎn)能評價提供必要的理論支撐。

1 裂縫過頂替概念模型

本文研究目的是模擬流體在儲層和裂縫耦合流動的基礎(chǔ)上，分析裂縫不同區(qū)域的變形和閉合情況，因此設(shè)計的模擬對象主要包括水力裂縫和儲層基質(zhì)2 個部分（圖1）。其中，裂縫全長為Lf，支撐劑過頂替的長度為Lf1，支撐劑填充的裂縫長度為Lf2，裂縫內(nèi)部未被支撐劑填充的區(qū)域長度為Lf3，整條裂縫等寬且寬度為bf。數(shù)值模擬中設(shè)置儲層寬度為80 m，儲層長度為120 m。

圖1 儲層水力裂縫過頂替示意Fig.1 Sketch of proppant overdisplacing in hydraulic fracture in reservoir

2 裂縫壁面流固耦合模型

2.1 滲流模型

壓裂后生產(chǎn)階段裂縫內(nèi)流體壓力降低是造成縫寬變化的主要原因，這里利用裂縫—基質(zhì)耦合滲流模型分析縫內(nèi)流體壓力的變化。對于未填充支撐劑裂縫中流體的運動過程，可以用Navier‐Stokes 方程［16‐17］表示為

式中：ρl——流體密度，kg/m3；vl——流體流速，m/s；t——時間，s；pfl——裂縫內(nèi)流體壓力，MPa；μ——流體黏度，mPa·s。

對于填砂裂縫中流體流動的運動方程可以表示為：

式中：bf——裂縫縫寬，mm；?f——填砂裂縫孔隙度，%；Kf——填砂裂縫滲透率，10?3μm2；Qm——質(zhì)量源項，kg/s。

對于儲層基質(zhì)中流體的流動，采用達(dá)西方程進(jìn)行描述，其運動方程為

式中：Km——基質(zhì)滲透率，10?3μm2；pml——基質(zhì)內(nèi)流體壓力，MPa。

其連續(xù)性方程為

式中?——基質(zhì)孔隙度，%。

由于流體的壓縮性，在滲流過程中會出現(xiàn)儲集效應(yīng)，可以表示為

式中：Gf——流體的體積模量，GPa；Gs——基質(zhì)的體積模量，GPa；αB——Biot‐Willis 系數(shù)。

聯(lián)合式（4）、式（5）、式（6）可得基質(zhì)中流體滲流的控制方程為

式中 ?εvol/?t——基質(zhì)體積應(yīng)變的變化率。

可以將公式（8）等號右邊項視為孔隙空間的收縮速率。隨著?εvol/?t 的增加，流體的體積分?jǐn)?shù)減小，從而產(chǎn)生液體源。裂縫內(nèi)流體流動與基質(zhì)中滲流通過裂縫壁面的流體壓力進(jìn)行雙向耦合。以上即是壓裂后生產(chǎn)過程中流體在儲層基質(zhì)和水力裂縫中耦合滲流的數(shù)學(xué)模型。

2.2 彈性力學(xué)模型

對于二維各向同性的多孔介質(zhì)材料，裂縫內(nèi)流體壓力降低后，在閉合壓力作用下裂縫壁面的變形方程可以表示為［18‐19］：

式中：ρs——儲層基質(zhì)密度，kg/m3；us——儲層基質(zhì)位移，m；σ——總應(yīng)力張量；Fv——外部體載荷，N/m3；E——彈性模量，GPa；υ——泊松比。

這里由于不像振動載荷，基質(zhì)中應(yīng)力應(yīng)變的變化很快達(dá)到平衡，沒有時間項。同時，應(yīng)變變化率?εvol/?t 在公式（8）中表現(xiàn)為耦合項，與流體流動方程同時求解，固體應(yīng)力?應(yīng)變方程變?yōu)闇?zhǔn)靜態(tài)。

2.3 求解參數(shù)

將本文所建立的流固耦合模型利用多物理場模擬軟件COMSOL Multiphysics 中的有限元方法求解。該軟件起源于MATLAB PDE（s）Toolbox，根據(jù)需要定義偏微分方程組進(jìn)行耦合分析，在巖土、流體和光熱等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用［20‐21］。本研究求解過程中所涉及的主要參數(shù)如表1 所示。

表1 數(shù)值模擬參數(shù)Table 1 Parameters in simulation

在求解過程中，水力裂縫內(nèi)填充支撐劑區(qū)域由于受到閉合壓力的作用，內(nèi)部支撐劑壓實變形并嵌入到裂縫壁面內(nèi)，導(dǎo)致裂縫導(dǎo)流能力不斷減小。通過實驗來獲得不同閉合壓力條件下填砂裂縫的導(dǎo)流能力并擬合經(jīng)驗公式，應(yīng)用于數(shù)值分析，使得模擬結(jié)果更加準(zhǔn)確。實驗中使用的支撐劑物性參數(shù)如表2，得到的裂縫滲透率實驗數(shù)據(jù)如圖2。

表2 實驗支撐劑物性參數(shù)Table 2 Proppant property parameters in experiment

圖2 實驗擬合的裂縫滲透率Fig.2 Fracture permeability matched by experiments

3 模擬結(jié)果

借助本文建立的流固耦合模型，分別對不同支撐劑過頂替長度條件下，裂縫內(nèi)流體壓力、整條裂縫縫寬以及裂縫閉合時間進(jìn)行分析。

3.1 流體壓力

圖3（a）和圖3（b）分別展示Lf1=4 m，Lf3=0 m 時裂縫內(nèi)流體壓力在不同裂縫入口壓降條件下的變化和Δp=2.5 MPa 時不同過頂替長度對縫內(nèi)流體壓力的影響。從圖3（a）可以看出，在不同裂縫入口壓降條件下，填砂裂縫內(nèi)流體壓力由裂縫端部到裂縫趾部不斷降低，且壓力梯度不斷增大，裂縫過頂替部分的流體基本不變。同時，隨著裂縫入口壓降的增大，流體由裂縫端部到裂縫趾部的壓差也不斷增大。圖3（b）表明，隨著支撐劑過頂替長度的增加，裂縫內(nèi)填砂長度液不斷減小，導(dǎo)致裂縫填砂段的壓力降落也不斷減小。

與圖3 不同的是，圖4 主要展示了裂縫內(nèi)支撐劑既存在過頂替也沒有被完全輸送至裂縫端部時，裂縫內(nèi)部流體壓力的變化，即Lf1大于0 m 且Lf3大于0 m。其中，圖4（a）中Lf1=4 m，Lf3=6 m。結(jié)果表明由于裂縫端部沒有支撐劑填充，流體在該部分裂縫內(nèi)流動過程中基本沒有壓力變化，導(dǎo)致在相同條件下端部沒有支撐劑填充的裂縫內(nèi)整體壓力降落比有支撐劑填充的情況更小。此外，與改變支撐劑過頂替長度相比，改變裂縫端部未填充支撐劑長度對其整體壓力變化影響不大。

圖3 Lf3=0 m時裂縫內(nèi)流體壓力Fig.3 Fluid pressure in hydraulic fracture when Lf3=0 m

圖4 Lf3>0 m時裂縫內(nèi)流體壓力Fig.4 Fluid pressure in hydraulic fracture when Lf3>0 m

3.2 裂縫壁面變形

結(jié)合上述對裂縫內(nèi)流體壓力變化的模擬結(jié)果，進(jìn)一步分析不同支撐劑填充條件下裂縫壁面的整體變形情況。圖5 分別展示了Lf1=6 m 且Lf3=0 m（圖5（a））以及Lf1=Lf3=6 m（圖5（b））時，儲層基質(zhì)整體的變形情況?？梢钥闯?，水力裂縫壁面變形主要出現(xiàn)在支撐劑未填充的區(qū)域，即圖5（a）中裂縫端部、圖5（b）中裂縫端部和趾部。在裂縫端部和趾部均未填充支撐劑且空白長度相同的條件下，由于裂縫端部流體壓力較小，因此該部分裂縫壁面變形更大，即支撐劑過頂替后裂縫在入口處更容易閉合。

圖5 不同過頂替條件下儲層基質(zhì)變形情況Fig.5 Matrix deformation under different proppant overdisplacing conditions

圖6 分別展示了Lf3=0 m 時不同裂縫入口壓降和不同支撐劑過頂替長度條件下裂縫壁面的變形。結(jié)果表明，隨著裂縫入口壓降的不斷增大，作用在裂縫壁面上的有效閉合應(yīng)力不斷增大，導(dǎo)致支撐劑過頂替部分的壁面變形程度不斷增大。同時帶動靠近裂縫趾部的支撐劑填充區(qū)域壁面也發(fā)生變形，只是支撐劑填充部分壁面變形程度較小且隨著距離裂縫入口越遠(yuǎn)變形程度越小。另一方面，在相同的裂縫入口壓降條件下，隨著支撐劑過頂替距離的延長，裂縫入口處壁面的變形越大，且?guī)恿芽p內(nèi)部填充支撐劑區(qū)域的壁面變形增大，影響裂縫整體的導(dǎo)流能力。

圖6 Lf3=0 m時裂縫壁面的變形Fig.6 Deformation of fracture surface when Lf3=0 m

圖7（a）展示了Lf1=4 m 且Lf3=6 m 時不同裂縫入口壓降條件下裂縫壁面變形情況，圖7（b）展示了Lf3=6 m 時不同支撐劑過頂替長度對裂縫壁面變形的影響，圖7（c）展示了Lf1=4 m 時不同端部未填充長度對裂縫壁面變形的影響?？梢钥闯觯瑘D6 和圖7 中裂縫前半段的壁面變形規(guī)律類似。不同的是，在裂縫端部也沒有支撐劑填充的條件下，該部分裂縫壁面也會出現(xiàn)較大的變形且?guī)涌拷芽p端部一側(cè)有支撐劑填充的區(qū)域壁面變形，并與裂縫趾部相互影響，在裂縫內(nèi)部中間區(qū)域形成平衡點，該點裂縫壁面幾乎沒有變形。另一方面，即便是裂縫端部支撐劑未填充區(qū)域的長度比支撐劑多頂替距離長，相同條件下支撐劑過頂替區(qū)域的表面變形更大。同時，單獨改變支撐劑過頂替長度或者端部未填充支撐劑長度，只會影響各自區(qū)域內(nèi)壁面的變形情況，對另外一處壁面變形基本無影響。

圖7 Lf3>0 m時裂縫壁面的變形Fig.7 Deformation of fracture surface when Lf3>0 m

3.3 縫口閉合

不同支撐劑過頂替長度條件下裂縫端部完全填充支撐劑和沒有填充支撐劑時，裂縫入口處的縫寬變化基本相同，如圖8 所示。可以看出，隨著支撐劑過頂替長度的增加，裂縫迅速閉合。當(dāng)支撐劑過頂替長度為10、8、6 和4 m 時，裂縫閉合時裂縫入口處的壓力分別為25.2、 24.6、 23.3 和19.8 MPa。在過頂替量較大的情況下，只有維持較高的井底壓力才能保證裂縫在生產(chǎn)過程中保持張開。

圖8 不同過頂替條件下裂縫縫口閉合Fig.8 Fracture inlet closure under different proppant overdisplacings

4 結(jié) 論

（1）水力裂縫內(nèi)填砂段是縫內(nèi)流體壓降的主要區(qū)域，且隨著裂縫閉合縫內(nèi)流動阻力增大，流體壓降逐漸增加。

（2）壓裂后裂縫內(nèi)流體壓力下降后，沒有支撐劑填充的過頂替段和裂縫內(nèi)部，裂縫閉合嚴(yán)重，但是裂縫靠近中間位置會有變形平衡點，該位置縫寬基本不變。

（3）隨著裂縫內(nèi)支撐劑過頂替長度的增加，裂縫入口處變形更加嚴(yán)重，井底壓力稍有下降裂縫即閉合，因此維持較高的井底流壓是防止裂縫閉合的有效手段。