《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》專題訓(xùn)練

王采玉

1.在直角坐標(biāo)系xOy下，曲線 C1的參數(shù)方程為下變成曲線 C2.

（1）求曲線 C2的普通方程;

（2）若 m>1，求曲線 C2與曲線 C3：y=m|x|-m 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，l 的參數(shù)方程為半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為ρ2= 12

（1）求 l 的普通方程和曲線 C 的直角坐標(biāo)方程;

（2）求曲線 C上的點(diǎn)到l 距離的最大值及該點(diǎn)坐

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線 C1 的參數(shù)方程為y（x）? o，s θ， （θ為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為ρ2=? 4

（1）求曲線C1的極坐標(biāo)方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

（2）若直線 l：y =kx與曲線 C1、曲線C2在第一象限交于 P，Q 兩點(diǎn)，且|OP|=2|OQ|，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（2，0），求ΔMPQ 的面積.

4.曲線 C 的參數(shù)方程為x =mt+ ， （ t 為參數(shù)，y =t - ，m >0），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線θ=α與直線ρ sin θ=2交于點(diǎn)P，動(dòng)點(diǎn) Q 在射線 OP 上，且滿足|OQ|·|OP|=8.

（1）求曲線 C的普通方程及動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡E 的極坐標(biāo)方程;

（2）曲線E與曲線 C 的一條漸近線交于P1，P2兩點(diǎn)，且|P1P2|=2，求 m 的值.

5.以直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸.已知曲線 C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4 cos θ+8 sin θ，P 是C1上一動(dòng)點(diǎn)，O P =2O Q，Q 的軌跡為 C2.

（1）求曲線C2的極坐標(biāo)方程，并化為直角坐標(biāo)方程;

（2）若點(diǎn) M（0，1） ，直線l的參數(shù)方程為（t 為參數(shù)），直線 l 與曲線 C2的交點(diǎn)為 A，B，當(dāng)|MA|+|MB|取最小值時(shí)，求直線 l 的普通方程.

6.在在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)伸縮變換 x，， 后，曲線 C1：x2+y2=1變?yōu)榍€ C2.

（1）求C2的參數(shù)方程;

（2）設(shè) A2， 1，點(diǎn) P 是C2上的動(dòng)點(diǎn)，求△OAP 面積的最大值，及此時(shí) P 的坐標(biāo).

7.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線 l 的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，橢圓 C 的極坐標(biāo)方程為ρ2 cos2θ+3ρ2 sin2θ=48，其左焦點(diǎn) F 在直線 l 上.

（1）若直線 l 與橢圓 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，求FA+FB的值;

（2）求橢圓 C 的內(nèi)接矩形面積的最大值.

8.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線 l 的參數(shù)方程為y（x） t（t）? ， （t 為參數(shù)），圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）.

（1）求 l 和 C 的普通方程;

（2）將 l 向左平移 m（m >0）后，得到直線 l′，若圓 C

9.在直角坐標(biāo)系xOy中，參數(shù)方程為y（x） s（c）in（os）（其中θ為參數(shù)）的曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換φ：y（x） x，， 得到曲線 C.以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線D 的極坐標(biāo)方程為ρ sinè（?）θ+ ?（?）= .

（Ⅰ）求曲線C的普通方程及曲線D的直角坐標(biāo)方程;（Ⅱ）設(shè) M、N 分別為曲線 C 和曲線D上的動(dòng)點(diǎn)，求MN|的最小值.

10.過(guò)點(diǎn) P-1，0作傾斜角為α的直線與曲線x = cos θ，（1）寫(xiě)出曲線 C 的一般方程;

（2）求PM ?PN 的最小值.

11.在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線 C1 的參數(shù)方程為y（x）?? o，sα， 其中α為參數(shù)，曲線 C2：x2+y2-2y =0，以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線 l：θ= aρ≥0與曲線C1，C2分別交于點(diǎn) A，B （均異于原點(diǎn) O ）

（1）求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程;

（2）當(dāng)0<a <時(shí)，求OA2+OB2的取值范圍.

12.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線 C 的參數(shù)方程為2，s，（ s 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 l 的極坐標(biāo)方程為ρ cos θ+2ρ sin θ+9=0.

（1）求 C 和 l 的直角坐標(biāo)方程;

（2）設(shè) P 為曲線 C 上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) P 到直線l 的距離的最小值.

13.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線 l 的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓 C 的極坐標(biāo)方程為ρ=4 cos θ.

（1）求直線 l 的普通方程與圓 C 的直角坐標(biāo)方程;

（2）已知點(diǎn) P1，0，直線 l 與圓 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，設(shè)PB=λPAλ>1，求實(shí)數(shù)λ.

14.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線 C1的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)）.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 l 的極坐標(biāo)方程為θ=θ0（θ0∈（0， π）），將曲線C1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線C .

（1）求曲線 C 的普通方程和極坐標(biāo)方程;

（2）設(shè)直線 l 與曲線 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，求+ 的取值范圍.

參考答案與解析

1.【解析】（1）因?yàn)榍€ C1的參數(shù)方程為y（x） s（c）in（os） ，，

所以曲線 C1的普通方程為x2+y2=1，

將變換T ：即 x，′，將其代入x2+y2=1，

得 +y′2=1，

所以曲線 C2的普通方程為+y2=1.

（2）因?yàn)?m >1，所以 C3上的點(diǎn) A0，-m在在橢圓E：x +y2=1外，

當(dāng) x >0時(shí)，曲線 C3的方程化為y =mx -m ，

將其代入 +y2=1，

得（4m2+1）x2-8m2x +4（m2-1）=0，（*）

因?yàn)棣?64m4-4（4m2+1）?4（m2-1）=16（3m2+1）>0，所以方程（*）有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2，

又 x1+x2=8m2 >0，x1x2=4（m2-1）>0，

所以 x1>0，x2>0，

所以當(dāng)x >0時(shí)，曲線 C2與曲線 C3有且只有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，

又因?yàn)榍€ C2與曲線 C3都關(guān)于 y 軸對(duì)稱，

所以當(dāng)x <0時(shí)，曲線 C2與曲線 C3有且只有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，

綜上可得，曲線 C2與曲線 C3：y =m|x|-m 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4.

2.【解析】（1）由 x = = =1-? ，為參數(shù)），得 x ≠1.

消去參數(shù)t ，得l 的普通方程為x -2y +1=0（x ≠1）;

將ρ2= 去分母得3ρ2+ρ2 sin2θ=12，

將 y =ρ sin θ， ρ2=x2+y2代入，得 x2+ y2=1，

所以曲線C 的直角坐標(biāo)方程為 x2+ y2=1.

（2）由（1）可設(shè)曲線 C 的參數(shù)方程為 α

為參數(shù)，則曲線C上的點(diǎn)到l 的距離為：

d =|2 cos α-2 sin α+1|=4 cosè（?）α+ ?（?）+1，

當(dāng)cosè（?）α+ ?（?）=1，即α=-+ 2kπ，k ∈Z 時(shí)，

所以曲線C上的點(diǎn)到直線 l 距離的最大值為，該點(diǎn)坐標(biāo)為 è（?）1，- ?（?）.

3.【解析】（1）依題意得，曲線 C1：（x -2）2+y2=4，

即 x2+y2-4x =0，

故ρ2-4ρ cos θ=0，即ρ=4 cos θ.

cos2α+4 sin2α ，

即 x2+4y2=4，即 +y2=1.

（2）將θ=θ0代入ρ2= ，

得ρ= ，將θ=θ0代入 p =4 cos θ，得ρP =4 cos θ0，由|OP|=2|OQ|，得ρP =2ρQ ，

則4 cos θ02= ，解得 sin2θ0= ，則 cos2θ0= .又0<θ0<，故ρQ = = ， ρP =4 cos θ0= ，

故ΔMPQ 的面積 SΔMPQ =SΔOMP -SΔOMQ =?|OM|?ρP -ρQ? sin θ0= .

4.【解析】（1）由題：x =mt + ， 所以=t + ，

兩式平方得 x -y2=4，曲線 C 的普通方程為x2- y2=1，設(shè)Qρ，θ，則Pρ1，θ，因?yàn)閨OQ ||OP |=8，所以ρ?ρ1=8，又因?yàn)镻 點(diǎn)是直線θ=α和ρ sin θ=2的交點(diǎn)，所以ρ1= ，所以ρ?= 8，即ρ=4 sin θ，

所以動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡 E 的極坐標(biāo)方程為ρ=4 sin θ，ρ>0，

（2）雙曲線C 的漸近線過(guò)極點(diǎn)，所以漸近線的極坐標(biāo)方程為θ=α;它與曲線E 的兩個(gè)交點(diǎn) P1、P2，其中一個(gè)為極點(diǎn)，

所以|P1P2|=2， 得2=4 sin α， 即 sinα= ， 則tanα=± ，所以±= ± ， 解得m = .

5.【解析】（1）設(shè)點(diǎn) P，Q 的極坐標(biāo)分別為ρ0， θ，（ρ， θ）），因?yàn)棣? ρ0=2 cos θ+4 sin θ，

所以曲線 C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ+4 sin θ，兩邊同乘以ρ，得ρ2=2ρ cos θ+4ρ sin θ，

所以 C2的直角坐標(biāo)方程為 x2+y2=2x +4y ，即（x -1）2+（y -2）2=5.

（2）設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，

則|MA|=t1，|MB|=t2，

將其代入 C2的直角坐標(biāo)方程x 12+y -22=5中，整理得 t2-2（cos α+ sin α）t -3=0.由根與系數(shù)的關(guān)系得t1+t2=2（cos α+ sin α），t1t2=-3.

所以|MA|+|MB|=t1+t2=t1-t2= = = ≥2 ，（當(dāng)且僅當(dāng) sin2α=-1時(shí)等號(hào)成立）

所以當(dāng)|MA|+|MB|取得最小值時(shí)，直線 l 的普通方程為 x +y -1=0.

6.【解析】（1）由伸縮變換得到 x′， 、①

將①代入 x2 + y2 = 1 ，得 （12 x′）2 + y′2 = 1 ，整理得C2：+y′2=1.所以 C2的參數(shù)方程為y（x） n（c） ，α，（α為參數(shù)）.

（2）設(shè)P2 cos α，sin α0≤α<2π，直線OA：x -2y =0， 2 cos α-2 sin α

所以 S△OAP =OA?d =??d ≤??252= .當(dāng)α=或α=時(shí)，△OAP 面積的最大值為 ，

7.【解析】（1）將y（x）? s（c）in（os）代入ρ2 cos2θ+3ρ2 sin2θ=48，得 x2+3y2=48，即 x2+ y2=1，

因?yàn)?c2=48-16=32，所以F 的坐標(biāo)為（-4 ，0），又因?yàn)镕在直線l上，所以m =-4 .

把直線 l 的參數(shù)方程代入x2+3y2=48，

化簡(jiǎn)得 t2-4t -8=0，所以 t1+t2=4，t1t2=-8，

所以FA +FB =t1-t2= = =4 .

（2）由橢圓C 的方程 x2+ y2=1，可設(shè)橢圓 C上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（4 cos θ，4sinθ）（0<θ<），所以內(nèi)接矩形的面積 S =8 cos θ?8 sin θ=32 sin2θ，當(dāng)θ= 時(shí)，面積S取得最大值32 .y（x） t（t）? （ t 為參數(shù)）

圓C 的參數(shù)方程為y（x）1- i（s） ，θ， （θ為參數(shù)）

消去參數(shù)t ，得l 的普通方程為3x -4y -7=0，

消去參數(shù)θ，得C 的普通方程為（x -1）2+（y +2）2=1.（2）l′的方程為y =（x +m）- ，即3x -4y +3m -7=0，

因?yàn)閳AC上只有一個(gè)點(diǎn)到l′的距離為1，圓C 的半徑為1，所以 C（1，-2）到 l′的距離為2，

即=2，解得m =2（m =-<0舍去）.

9.【解析】（Ⅰ）曲線C 的參數(shù)方程為y（x） n（c）θ， （其中θ為參數(shù)），因此，曲線C 的普通方程為+y2=1，

曲線D的極坐標(biāo)方程為（ρ sin θ+ρ cos θ）= ，因此曲線D 的直角坐標(biāo)方程為x +y -3=0.

（Ⅱ）設(shè) M（2cos θ，sin θ），則|MN|的最小值為M 到直線 x +y -3=0的距離為d ，

sin（θ+φ）=1時(shí)，|MN|最小值為 .

10.【解析】（1）由曲線 C 的參數(shù)方程（θ是參數(shù)）可得 x2+ y2= cos2θ+ sin2θ=1，即曲線C 的一般方程為

（2）直線 N 參數(shù)方程為y（x）1s? c，osα， （ t 為參數(shù)）將直線MN的參數(shù)方程代入曲線 x2+ y2=1，

得2-1+t cos α2+3t sin α2=6，

整理得3- cos2α?t2-4 cos α?t -4=0，設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)分別為t1，t2，

則PM ?PN =t1?t2= 4

當(dāng) cos α=0時(shí)，PM ?PN 取得最小值為 .

11.【解析】（1） C1的普通方程為（x -2）2+y2=4，C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ，C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2 sin θ，

（2）聯(lián)立θ=αρ≥0與 C1的極坐標(biāo)方程得|OA|2=16cos2α，聯(lián)立θ=αρ≥0與C2的極坐標(biāo)方程得|OB|2=4 sin2α，|OA|2+|OB|2=4+12 cos2α，0<a <，可得|OA|2+|OB|2∈4，16.

12.【解析】（1）C 的直角坐標(biāo)方程為：y2=4x ，將 x =ρ cos θ，y =ρ sin θ代入 l 的極坐標(biāo)方程得l 的直角坐標(biāo)方程為： x +2y +9=0.

（2）設(shè)Pè（?） s2，? s?（?），則點(diǎn) P 到直線 l 的距離

| s2+2 s +9 （s +2）2+5

當(dāng) s =-2 時(shí)，距離最小，最小值為d = = .

13.【解析】（1）由消去參數(shù) t ，

得 x -y - =0.

由ρ=4 cos θ，得ρ2=4ρ cos θ，即 x2+y2=4x .故圓 C 的直角坐標(biāo)方程為x -22+y2=4.

（2）設(shè)點(diǎn) A ，B 對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.∴λ=- t1.將直線l 的參數(shù)方程代入圓 C 的直角坐標(biāo)方程并整理得 t2-t -3=0，∴t1+t2=1，t1t2=-3.

∴=-，∴+ =-，

得 t1= 6 ，∴λ=- t1= 6 .∵λ>1，∴λ= .

14.【解析】（1）∵x = = sin2 ， y == ， ∴y2= =4x， 即曲線 C1的普通方程為 y2=4x ，依題意得曲線 C 的普通方程為 y2=4（x +2），令 x =ρ cos θ，y =ρ sin θ得曲線 C 的極坐標(biāo)方程為ρ2 sin2θ-4ρ cos θ-8=0;

（2）將θ=θ0代入曲線 C 的極坐標(biāo)方程得ρ2 sin2θ0-4ρ cos θ0-8=0，

∴ρ1+ρ2=4 cos θ0 ρ1ρ2=- 8

∵ρ1ρ2<0，∴ρ1，ρ2異號(hào)，

∴+ =1+2=ρ1ρ2=

sin2θ0?? sin2θ0? 1

sin2θ0

∵θ0∈（0， π），∴ sin θ0∈（0，1]，

∴+ ∈（ ， ].