郁桂萍
由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式問題常以填空、選擇題的形式出現(xiàn),難度一般不大.解答此類問題,需靈活運用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等.下面,重點談一談由遞推關(guān)系式求數(shù)列通項公式的幾種方法.
一、累加法
當遇見形如an +1=an +f(n)的遞推關(guān)系式時,可由 f(1)+f(2)+…+f(n)得到 an =(an -an -1)+(an -1-an -2)+…+(a2-a1)+a1(n ≥2),將各式子累加,便可求得當 n ≥2時數(shù)列的通項公式.對于 n =1的情形,需單獨討論.若當 n =1時的結(jié)果滿足當 n ≥2時數(shù)列的通項公式,則用當 n ≥2時的式子表示數(shù)列的通項公式;如不滿足,則需將數(shù)列的通項公式分段表示.
例1.已知數(shù)列an,a1=1,an =an -1+ (n ≥2), 求數(shù)列an的通項公式.
解:由 an =an -1+? ,
可得 an -an -1= = - (n ≥2),則 an =(an -an -1)+(an -1-an -2)+…+(a2-a1)+a1
= - + - +…+ - +1- +1
=2-
本題中的 a1=1,滿足當 n ≥2時數(shù)列的通項公式,所以可以將對當 n =1時的討論省略.
二、累乘法
當遇見形如 an? =f(n)的遞推關(guān)系式時,可以令 n =1,2,3, …,n ,再將 n 個式子累乘,得到 an =an -1?an -2?…?a1?a1(n ≥2),即可求得數(shù)列的通項公.
例2.已知數(shù)列an中,a1=1,前 n 項和Sn = an , 求數(shù)列an的通項公式.
解:當n>1時,an =Sn -Sn -1=n + an - an -1,整理得 an -1= n -1,于是 a1=3,a2=2,a3=3,…, = ,= ,將以上 n -1個等式相乘,整理得 an =???…?? = .
綜上可得,數(shù)列an的通項公式為an = .
累乘法的本質(zhì)是通過約分來化簡乘積,因此在遇到分式遞推關(guān)系式時,要注意將分式變形為前后項的分子、分母能夠約分的形式,這樣才能簡化運算,快速求得 an 的表達式.
三、構(gòu)造法
有的遞推關(guān)系式較為復(fù)雜,此時,可將遞推關(guān)系式進行合理的變形,如引入待定系數(shù)、取倒數(shù)、取對數(shù)等,構(gòu)造出輔助數(shù)列,便可將求數(shù)列的通項公式問題轉(zhuǎn)化為求等差、等比數(shù)列的通項公式問題.
例3.在數(shù)列an中,an+1=3an +2,a1=1,求數(shù)列an的通項公式.
解:設(shè) an+1=1+λ=3(an +λ),
則 an+1=3an +2λ,由an +1=3an +2可得λ=1,所以 an+1+1=3(an +1),
所以an +1是首項為a1+1=2,公比為3的等比數(shù)列,
所以 an +1=2?3n -1,即 an =2?3n -1-1.
對于形如 an +1=Aan +B 的遞推關(guān)系式,可引入待定系數(shù),設(shè) an +1+λ=Aan +λ,再根據(jù)遞推式求得λ的值,便可構(gòu)造輔助數(shù)列{an +λ},根據(jù)等比數(shù)列的通項公式解題.
例4.若數(shù)列an中,a1=2,an+1= ,求數(shù)列an的通項公式.
解:由 a1=2,an+1= ,可得 = + ,所以數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,所以 = +(n -1)= n ,故 an = ,n ∈ N?.
對于形如 an = kan -1+b ,an?an -1=an -1-an 的遞推關(guān)系式,可以運用取倒數(shù)的方法來構(gòu)造輔助數(shù)列,求得數(shù)列的通項公式.相比較而言,累加法、累乘法較為簡單,構(gòu)造法較為復(fù)雜.在由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式時,要將遞推關(guān)系式進行合理的變形,將其整合為 an +1=an +f(n)、的形式,然后選擇與之相應(yīng)的方法進行求解.
(作者單位:江蘇省鹽城市大岡中學(xué))