.怎樣由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式

郁桂萍

由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題常以填空、選擇題的形式出現(xiàn)，難度一般不大.解答此類問(wèn)題，需靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等.下面，重點(diǎn)談一談?dòng)蛇f推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種方法.

一、累加法

當(dāng)遇見(jiàn)形如an +1=an +f（n）的遞推關(guān)系式時(shí)，可由 f（1）+f（2）+…+f（n）得到 an =（an -an -1）+（an -1-an -2）+…+（a2-a1）+a1（n ≥2），將各式子累加，便可求得當(dāng) n ≥2時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式.對(duì)于 n =1的情形，需單獨(dú)討論.若當(dāng) n =1時(shí)的結(jié)果滿足當(dāng) n ≥2時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，則用當(dāng) n ≥2時(shí)的式子表示數(shù)列的通項(xiàng)公式;如不滿足，則需將數(shù)列的通項(xiàng)公式分段表示.

例1.已知數(shù)列an，a1=1，an =an -1+ （n ≥2）， 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：由 an =an -1+? ，

可得 an -an -1= = - （n ≥2），則 an =（an -an -1）+（an -1-an -2）+…+（a2-a1）+a1

= - + - +…+ - +1- +1

=2-

本題中的 a1=1，滿足當(dāng) n ≥2時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，所以可以將對(duì)當(dāng) n =1時(shí)的討論省略.

二、累乘法

當(dāng)遇見(jiàn)形如 an? =f（n）的遞推關(guān)系式時(shí)，可以令 n =1，2，3， …，n ，再將 n 個(gè)式子累乘，得到 an =an -1?an -2?…?a1?a1（n ≥2），即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公.

例2.已知數(shù)列an中，a1=1，前 n 項(xiàng)和Sn = an ， 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：當(dāng)n>1時(shí)，an =Sn -Sn -1=n + an - an -1，整理得 an -1= n -1，于是 a1=3，a2=2，a3=3，…， = ，= ，將以上 n -1個(gè)等式相乘，整理得 an =???…?? = .

綜上可得，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = .

累乘法的本質(zhì)是通過(guò)約分來(lái)化簡(jiǎn)乘積，因此在遇到分式遞推關(guān)系式時(shí)，要注意將分式變形為前后項(xiàng)的分子、分母能夠約分的形式，這樣才能簡(jiǎn)化運(yùn)算，快速求得 an 的表達(dá)式.

三、構(gòu)造法

有的遞推關(guān)系式較為復(fù)雜，此時(shí)，可將遞推關(guān)系式進(jìn)行合理的變形，如引入待定系數(shù)、取倒數(shù)、取對(duì)數(shù)等，構(gòu)造出輔助數(shù)列，便可將求數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題.

例3.在數(shù)列an中，an+1=3an +2，a1=1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：設(shè) an+1=1+λ=3（an +λ），

則 an+1=3an +2λ，由an +1=3an +2可得λ=1，所以 an+1+1=3（an +1），

所以an +1是首項(xiàng)為a1+1=2，公比為3的等比數(shù)列，

所以 an +1=2?3n -1，即 an =2?3n -1-1.

對(duì)于形如 an +1=Aan +B 的遞推關(guān)系式，可引入待定系數(shù)，設(shè) an +1+λ=Aan +λ，再根據(jù)遞推式求得λ的值，便可構(gòu)造輔助數(shù)列{an +λ}，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解題.

例4.若數(shù)列an中，a1=2，an+1= ，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：由 a1=2，an+1= ，可得 = + ，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以 = +（n -1）= n ，故 an = ，n ∈ N?.

對(duì)于形如 an = kan -1+b ，an?an -1=an -1-an 的遞推關(guān)系式，可以運(yùn)用取倒數(shù)的方法來(lái)構(gòu)造輔助數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.相比較而言，累加法、累乘法較為簡(jiǎn)單，構(gòu)造法較為復(fù)雜.在由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，要將遞推關(guān)系式進(jìn)行合理的變形，將其整合為 an +1=an +f（n）、的形式，然后選擇與之相應(yīng)的方法進(jìn)行求解.

（作者單位：江蘇省鹽城市大岡中學(xué)）