解答數(shù)列求和問題的幾種措施

劉勤 何長林

數(shù)列求和問題的綜合性較強，通常會重點考查等差、等比數(shù)列的定義、性質、通項公式、前 n 項和公式等，常以解答題的形式出現(xiàn)在各類試題中.本文重點談一談解答數(shù)列求和問題的幾種措施，以幫助大家提升解題的效率.

一、運用裂項相消法

所謂裂項相消法，是指將已知數(shù)列中的每一個項進行合理的拆分，使得拆分后的項能夠相互抵消，從而求得數(shù)列和.在運用裂項相消法求數(shù)列的前 n 項和時，首先要仔細觀察數(shù)列中的各項或通項的特點，并對其進行裂項;然后將各項相加，把互為相反數(shù)的項抵消，化簡剩下的項即可求得數(shù)列的和.

例1.已知數(shù)列an中，a1=4，公差為4，它的前 n 項和為 Sn，試求：+ +…+ .

解：因為 a1=4，公差為4，

因此 + +…+ = ?1- + - +…+ -= è（?）1- ?（?）= .

解答本題，需先根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項裂項，采用裂項相消法來求和.

二、運用倒序相加法

運用倒序相加法求數(shù)列的和，需將數(shù)列的正序和與倒序和相加，在相加的過程中，要使與首末兩端距離相等的兩項相加，即將第一項與最后一項相加，將第二項與倒數(shù)第二項相加，將第三項與倒數(shù)第三項相加......這樣便可將數(shù)列的和轉化為求與首末兩端距離相等的兩項的和.求得與首末兩端距離相等的兩項的和即可解題.

例2.若 f x= ，求 S =f -5+f -4+…+f 0+…+f 5+f 6的值.

分析：仔細研究f x= ，可發(fā)現(xiàn)f x+f 1- x= += ，于是可將數(shù)列中自變量之和為1的兩項相加，這樣便將問題轉化為求常數(shù)列：…的和.

解：由 f x= 可得f 1- x=， 所以f x+f 1- x= += ，

由S =f -5+f -4+…+f 0+…+f 5+f 6，得 S =f 6+f 5+…+f 1+…+f -4+f -5，所以2S =f -5+f 6+f -4+f 5+…+

f 0+f 1=12f -5+f 6=12×??? ，

即 S =3.

三、運用歸納猜想法

有些數(shù)列求和問題較為復雜，我們很難根據(jù)已知條件快速求得數(shù)列的和，此時可先根據(jù)題意猜想出數(shù)列的通項公式或前 n 項和，然后運用數(shù)學歸納法證明猜想的結論成立.在運用歸納法證明結論時，要按照如下兩個步驟進行：（1）證明當n =1時，猜想的結論成立;（2）假設當 n =k 時，猜想的結論成立，證明當 n =k +1時，猜想的結論也成立，從而證明猜想成立.

例3.已知數(shù)列an滿足： Sn = an + ，且an >0，求該數(shù)列的前 n 項和 Sn .

解：由 an >0得出 Sn >0，根據(jù) Sn = an + 可得 S1= a1+? ，即 S1= a1=1，S2= a2+? ，得 S2= S2-1+? ，

解得： S2=- （舍）或 S2=1，S3= ，

猜想： Sn = .下面用歸納猜想法進行證明.證明：①當 n =1時，S1= a1=1，猜想成立;

②當 n = k 時，Sk = ，所以當 n = k+1時， Sk+1=? ak+1+ 和 Sk+1= Sk + ak+1，可得ak + + ak+1= Sk + ak+1，

因此Sk = ak + ，ak>0，即 Sk+1= ，

因此，當 n = k +1時，猜想也成立.

綜上可得 Sn = .

相比較而言，裂項相消法和倒序相加法比較簡單，只需要合理裂項，正確計算，即可求得正確的答案，而歸納猜想法對同學們的邏輯思維能力和分析能力的要求較高，一般在找不到其他方法時才使用.

（作者單位：江蘇省揚州市邗江區(qū)公道中學）