不可壓磁流體力學(xué)方程的整體解與衰減估計

張 潔，王朋杰

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴陽 550025)

0 引 言

考慮下面的三維不可壓磁流體力學(xué)方程組:

(1)

a.?kf表示k階空間導(dǎo)數(shù), 定義為：

證明參考文獻(xiàn)[9]。

主要結(jié)果如下:

定理1令(u0,b0)∈HN,N≥2,并且存在一個常數(shù) δ,有

‖u0‖H2+‖b0‖H2≤δ

則柯西問題方程組(1)存在唯一的整體解(u,b)，使得?t≥0,有

并且對于l=0,1,…,N有以下的衰減結(jié)果:

(2)

注1將如上衰減與文獻(xiàn)[8-10]比較時, 容易知道在證明整體解存在性時只要求(u0,b0)的H2范數(shù)小, 但不需要H3范數(shù)足夠小。與此同時在證(2)和(3)時, 也不要求(u,b) 的高階導(dǎo)數(shù)估計。

1 能量估計

在這一節(jié)中, 將推導(dǎo)出 (u,b)的低階和高階的能量估計。

引理1令(u0,b0)∈HN,N≥2, 且(u,b)為柯西問題方程組(1)的解, 則

(3)

證明將方程組(1)的第1，2兩個式子分別乘上u和b,然后加起來并且運(yùn)用分部積分即得.

引理2令(u0,b0)εHN,N≥2, 且(u,b)為柯西問題方程組(1)的解, 有

(4)

證明將?k作用在方程組(1)上, 然后在所得等式兩邊乘上(?ku,?kb)并在R3上運(yùn)用分部積分, 有

‖?k(u·?u,b·?b)?ku‖L1+‖?k(u·?b)?kb‖L1+‖?k(b·?u)?kb‖L1=M1+M2+M3

(5)

接下來將對上述M1～M3項進(jìn)行估計。對于M1項，因u·?u與b·?b的形式相同,所以只需估計 ‖?k(u·?u)?ku‖L1。

‖?k(u·?u)?ku‖L2≤C‖?k(u·?u)?ku‖L6/5‖?k+1u‖L2

(6)

(7)

這里α,θ需滿足條件:

(8)

使用類似的方法, 有估計

(9)

所以, 由(7)式和(9)式, 有

(10)

再結(jié)合(6)與(10)有

(11)

類比于(11)式, 對‖?k(b·?b)?ku‖L1這一項, 有

(12)

聯(lián)合(11)和(12)式, 有

(13)

注意到在(7)式后面的兩個估計中，若將u替換為b其結(jié)論自然是成立的，有

(14)

(15)

再根據(jù)(13)-(15),即得(4),即完成引理2的證明.關(guān)于解的全局性,令

T*=sup{T:‖(u,b)(t)‖H2≤2‖(u0,b0)‖H2},可以斷言,如果‖(u0,b0)‖H2小的話,那么對?t<+∞,有 ‖(u,b)(t)‖H2≤2‖(u0,b0)‖H2否則, 取‖(u0,b0)‖H2=ε,使得1-4C(ε2+ε)>a>0, 由T*的定義，它大于零.然后根據(jù)引理2, 將(5)式從0到T*積分,有‖(u,b)(T*)‖H2≤‖(u0,b0)‖H2，顯然矛盾。進(jìn)一步，如果‖(u0,b0)‖H2≤ε,同時?k(u0,b0)εL2,那么對于kεN+,有

(16)

對?t>0,將(16)從 0 到t積分, 有

‖?k(u,b)(t)‖L2+‖?k+1(u,b)‖L2((0,t)×3)≤C‖?k(u0,b0))‖L2。

(17)

‖(Λ-su,Λ-sb)(t)‖L2≤C0

證明將Λ-s作用在方程組(1)上，把所得的結(jié)果乘以 (Λ-su,Λ-sb),然后在R3上積分,有

‖Λ-s(u·?b)Λ-sb‖L1+‖Λ-s(b·?u)Λ-sb‖L1=

T1+T2+T3+T4

(18)

接下來估計T1～T4，對于T1

|T1|≤‖?-s(u,?u)?-su‖L1≤

C‖?(u,?u)(t)‖L1/2+s/3‖?-su‖L2≤

C‖u‖L3/s‖?u‖L2‖?-su‖L2

(19)

類似有

(20)

(21)

(22)

根據(jù)(18-22)式，再結(jié)合估計b式, 有

(23)

C(‖?u‖L2+‖?2u‖L2),s∈[0,1/2)

聯(lián)合(23)式, 有

再結(jié)合(17)式, 最后有

‖(Λ-su,Λ-sb)(t)‖L2≤C,s∈[0,1/2)

(24)

(25)

根據(jù)(24)和(18)式,有

(26)

解這個微分不等式,有

(27)

(28)

‖(u,b)‖L2≤(1+t)-1/4

證完。

3 證明定理1