基于改進(jìn)灰色Verhulst模型的巷道變形破壞預(yù)警方法研究及應(yīng)用

李 甲，王文杰，尹 東

(武漢科技大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院，湖北 武漢 430081)

隨著地表淺層礦產(chǎn)資源開采殆盡，國(guó)內(nèi)諸多礦山已經(jīng)轉(zhuǎn)入中深部開采，在井下高地應(yīng)力場(chǎng)重新平衡的過程中，會(huì)擠壓巷道圍巖發(fā)生變形，當(dāng)變形量超過巷道圍巖自身的變形極限時(shí)，巷道圍巖最終會(huì)以變形破壞的形式失穩(wěn)[1-2]。在高地應(yīng)力條件下，巷道圍巖的變形破壞程度較淺部開采顯著增大，尤其是大變形破壞極大地威脅著礦山安全生產(chǎn)[3-4]。因此，通過對(duì)巷道圍巖變形進(jìn)行監(jiān)測(cè)預(yù)警，降低其變形失穩(wěn)的危險(xiǎn)性對(duì)礦山安全生產(chǎn)具有重要意義。

眾多學(xué)者針對(duì)巷道圍巖變形破壞預(yù)警進(jìn)行了諸多研究。崔秀敬[5]、秦兵文[6]等采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到了礦巖體破壞的特征方程并構(gòu)建了巷道頂板變形破壞的預(yù)警模型；馬熊忠[7]、李苗[8]等利用累計(jì)差量法對(duì)多個(gè)礦山礦巖失穩(wěn)時(shí)聲發(fā)射差量的一般規(guī)律進(jìn)行研究，利用研究結(jié)果對(duì)采空區(qū)巷道圍巖變形失穩(wěn)進(jìn)行了有效預(yù)警；張耀祖[9]根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)，確定了位移、聲發(fā)射的臨界值，構(gòu)建了圍巖變形破壞的綜合預(yù)警模型。然而，諸多學(xué)者在建立巷道圍巖變形失穩(wěn)預(yù)警模型時(shí)，通常依據(jù)大量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)設(shè)定預(yù)警閾值，當(dāng)數(shù)據(jù)樣本較少時(shí)，預(yù)警精度較低。

灰色Verhulst模型被廣泛應(yīng)用于人口增長(zhǎng)、生物生長(zhǎng)、繁殖、經(jīng)濟(jì)壽命等的飽和狀態(tài)成“S”型的領(lǐng)域，其具有對(duì)小樣本數(shù)據(jù)擬合度高的特點(diǎn)[10]。礦山巷道圍巖變形時(shí)累計(jì)位移量的變化情況近似于“S”型，與灰色Verhulst模型的發(fā)生、發(fā)展、成熟，以及最后到達(dá)極限的變化特征具有較高的契合度[11-12]，因此可利用灰色Verhulst模型反映巷道圍巖變形破壞的過程?；疑玍erhulst模型應(yīng)用于巷道圍巖時(shí)主要是預(yù)測(cè)巷道圍巖的變形破壞情況[13-14]，但是鮮有學(xué)者用灰色Verhulst模型直接作為預(yù)警方法對(duì)巷道圍巖變形失穩(wěn)進(jìn)行預(yù)警。故筆者通過灰色Verhulst模型擬合巷道圍巖變形失穩(wěn)過程中累計(jì)位移量的曲線圖，劃分巷道圍巖變形破壞的危險(xiǎn)等級(jí)，構(gòu)建基于灰色Verhulst的巷道圍巖變形失穩(wěn)預(yù)警模型，以期為前期缺乏監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的礦山提供有效的巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害預(yù)警方法。

1 基于灰色Verhulst模型的巷道圍巖變形失穩(wěn)過程分析

由灰色Verhulst模型的特征可知，在“S”型曲線拐點(diǎn)之前，曲線斜率逐漸增大；拐點(diǎn)之后，曲線斜率逐漸減??；在曲線峰值處斜率減為0，此時(shí)巷道圍巖失穩(wěn)破壞，故可將斜率最大處設(shè)置為巷道圍巖變形破壞的1個(gè)預(yù)警閾值。通過logistic函數(shù)擬合式可求出巷道圍巖完全破壞時(shí)的極限位移量，可將其設(shè)置為另1個(gè)預(yù)警閾值。

根據(jù)求得的預(yù)警閾值，參照巷道圍巖變形失穩(wěn)的3個(gè)階段[15-16]，即劇烈變形階段、緩慢變形階段和穩(wěn)定變形階段，將變形失穩(wěn)災(zāi)害危險(xiǎn)級(jí)別設(shè)置為 4級(jí)。在劇烈變形階段，巷道圍巖變形速率不斷增大，但是圍巖累計(jì)位移量不大，此階段基本不會(huì)發(fā)生圍巖失穩(wěn)現(xiàn)象，與灰色Verhulst模型拐點(diǎn)之前的變化趨勢(shì)一致，故將拐點(diǎn)處作為劇烈變形階段與緩慢變形階段的臨界點(diǎn)，拐點(diǎn)之前設(shè)置為Ⅰ級(jí)(安全)；緩慢變形階段持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，是變形失穩(wěn)災(zāi)害發(fā)生的過渡階段及采取安全措施的黃金時(shí)期，因此需要對(duì)此階段進(jìn)行重點(diǎn)研究，依據(jù)緩慢變形階段變形量與巷道圍巖變形破壞的接近程度，將緩慢變形階段的前50%階段劃分為緩慢變形階段初期，變形失穩(wěn)災(zāi)害危險(xiǎn)等級(jí)設(shè)置為Ⅱ級(jí)(危險(xiǎn))，后50%階段劃分為緩慢變形階段后期，變形失穩(wěn)災(zāi)害危險(xiǎn)等級(jí)設(shè)置為Ⅲ級(jí)(非常危險(xiǎn))；在穩(wěn)定變形階段，巷道圍巖幾乎達(dá)到能承載的變形極限，隨時(shí)可能發(fā)生變形破壞失穩(wěn)事故，此時(shí)的圍巖累計(jì)位移量達(dá)到最大值，即為灰色Verhulst模型中的極限位移量，因此將極大值點(diǎn)作為緩慢變形階段與穩(wěn)定變形階段的臨界點(diǎn)，將此階段的變形失穩(wěn)災(zāi)害危險(xiǎn)級(jí)別設(shè)置為Ⅳ級(jí)(災(zāi)害)。

2 預(yù)警指標(biāo)的確定及灰色Verhulst模型的優(yōu)化

由于巷道圍巖變形失穩(wěn)過程可通過位移監(jiān)測(cè)直接反映其變化情況，故采用位移監(jiān)測(cè)的累計(jì)位移量及位移速率作為預(yù)警指標(biāo)，對(duì)巷道圍巖變形失穩(wěn)進(jìn)行災(zāi)害預(yù)警。

采用灰色Verhulst模型求取巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害預(yù)警閾值的關(guān)鍵是對(duì)原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合、預(yù)測(cè)，得到完整的礦巖變形破壞位移曲線圖，確定巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害預(yù)警閾值，劃分巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害危險(xiǎn)等級(jí)。由于預(yù)警閾值的精度取決于灰色Verhulst模型的擬合精度，擬合精度受構(gòu)造式中的背景值與初值影響，故通過優(yōu)化灰色Verhulst模型的背景值與初值來(lái)提高預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性。

2.1 灰色Verhulst基本模型

德國(guó)生物學(xué)家Verhulst在1837年基于生物繁殖規(guī)律提出了灰色Verhulst模型，該模型是單序列一階非線性動(dòng)態(tài)模型，基本模型如下：

定義1：設(shè)X(0)為非負(fù)原始序列，X(0)={X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(n)}，X(0)的一次累加序列1-AGO為：

X(1)={X(1)(1),X(1)(2),…,X(1)(n)}

(1)

則構(gòu)成的灰色Verhulst模型為:

X(0)(k)+aZ(1)(k)=b[Z(1)(k)]2

(2)

式中a、b為背景值。

灰色Verhulst模型響應(yīng)方程為：

(3)

利用一次累減還原原始序列擬合值為：

(4)

式中k=1，2，…，n-1。

2.2 灰色Verhulst模型背景值優(yōu)化

由式(3)變形可得：

(5)

(6)

通過式(6)可以看出，只需找出a、b與X(1)(k)之間的關(guān)系即可完成優(yōu)化。為求出a、b與X(1)(k)之間的關(guān)系，建立以下方程：

(7)

(8)

(9)

用X(1)(k)代替a、b，得到改進(jìn)的背景值公式：

(10)

2.3 灰色Verhulst模型初值優(yōu)化

通常將X(1)(1)作為灰色Verhulst模型的初值，但實(shí)際數(shù)據(jù)并不一定包含灰色Verhulst模型的第1個(gè)值，會(huì)對(duì)模型的擬合精度產(chǎn)生一定的誤差。為降低初值選取對(duì)灰色Verhulst模型帶來(lái)的影響，通過構(gòu)建擬合值與實(shí)測(cè)值的平方和誤差函數(shù)，以誤差和最小為原則，采用最速下降法得到優(yōu)化的初值c。

由式(3)變形可得灰色Verhulst模型時(shí)間響應(yīng)方程為：

(11)

式中c為常數(shù)。

(12)

式中k=1，2,…，n。

為求出初值c，構(gòu)建位移量的一次累加值和擬合值的平方和誤差函數(shù)：

(13)

式中t為時(shí)間序列。

最后采用最速下降法尋優(yōu)獲得c值。

2.4 改進(jìn)的灰色Verhulst模型檢驗(yàn)

由于灰色Verhulst模型是已被廣泛認(rèn)可的模型，無(wú)需對(duì)模型本身進(jìn)行檢驗(yàn)，僅需驗(yàn)證擬合結(jié)果對(duì)本改進(jìn)方法的合理性及擬合精度是否滿足誤差要求。采用文獻(xiàn)[17]中12號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。

由此構(gòu)建累計(jì)位移量原始序列為：X(0)={11.7,4.9,6.9,9.6,13.3,18.4,24.9}。

優(yōu)化后灰色Verhulst模型時(shí)間響應(yīng)方程為：

(14)

式中k為時(shí)間序列，k=1,2,…,n。

通過累減后，得到傳統(tǒng)灰色模型與優(yōu)化灰色模型的擬合結(jié)果，如表1所示。

表1 傳統(tǒng)與優(yōu)化灰色Verhulst模型精度對(duì)比

由表1可以求得，傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的相對(duì)誤差平均值為29.73%，而優(yōu)化灰色Verhulst模型的相對(duì)誤差平均值為1.46%，結(jié)果表明擬合精度有了大幅提高,改進(jìn)模型合理有效。

3 巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害預(yù)警方法的構(gòu)建及驗(yàn)證

改進(jìn)傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的目的是為了更準(zhǔn)確地得到巷道變形破壞的預(yù)警閾值。以文獻(xiàn)[18]中恒大煤礦2233運(yùn)輸平巷的巷道變形情況為例，通過此預(yù)警方法進(jìn)行巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害預(yù)警，并驗(yàn)證預(yù)警方法的合理性。

3.1 巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害預(yù)警閾值的確定

(e-ak-e-a(k-1))

(15)

式中k=2，3，…，n。

位移速率灰色Verhulst模型的動(dòng)態(tài)模型為：

(16)

將v(1)(k)=a/2b代入上式，得出曲線拐點(diǎn)的時(shí)間表達(dá)式：

(17)

式中k0為對(duì)應(yīng)v(0)(1)的初始時(shí)刻。

根據(jù)式(4)與式(11)，對(duì)文獻(xiàn)[18]中2號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)2018年6月8日至7月20日的位移量進(jìn)行擬合，并與文獻(xiàn)[18]的時(shí)間序列保持一致，取6 d為一個(gè)時(shí)間序列，在此基礎(chǔ)上對(duì)7月20日以后的累計(jì)位移量進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后對(duì)擬合預(yù)測(cè)的累計(jì)位移量進(jìn)行l(wèi)ogistic函數(shù)與多項(xiàng)式擬合，擬合預(yù)測(cè)曲線如圖1所示。

圖1 累計(jì)位移量擬合預(yù)測(cè)曲線

由圖1可知，logistic函數(shù)擬合精度為0.999 04，多項(xiàng)式擬合精度為0.997 31，logistic函數(shù)擬合精度更高，因此采用logistic函數(shù)求解預(yù)警閾值。由式(17)可求得k=2.96時(shí)為累計(jì)位移曲線的拐點(diǎn)，通過logistic函數(shù)求得時(shí)間序列k為2.96時(shí)，累計(jì)位移量為48.0 mm，即為累計(jì)位移量的預(yù)警閾值。巷道變形破壞的極限位移量為100.7 mm。

同理，k為2.96時(shí)，可求得單位時(shí)間位移速率為2.4 mm/(6 d)，即為位移速率的預(yù)警閾值；極限位移速率為0 mm/(6 d)。

3.2 巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害的危險(xiǎn)等級(jí)評(píng)判

3.2.1 巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害危險(xiǎn)等級(jí)的劃分

由圖1可知，累計(jì)位移曲線拐點(diǎn)之后的緩慢變形階段變化趨勢(shì)較為平滑，因此按照位移速率均勻變化的原則，將累計(jì)位移量拐點(diǎn)與極大值點(diǎn)的50%處設(shè)置為緩慢變形階段初期與緩慢變形階段后期的臨界點(diǎn)，此點(diǎn)即為巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害危險(xiǎn)級(jí)別Ⅱ級(jí)、Ⅲ級(jí)的臨界點(diǎn)。根據(jù)求得的結(jié)果，累計(jì)位移量拐點(diǎn)值為 48.0 mm，極大值點(diǎn)為100.7 mm，因此當(dāng)累計(jì)位移量y≤48.0 mm時(shí)，巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害的危險(xiǎn)等級(jí)為Ⅰ級(jí)(安全)；累計(jì)位移量48.0100.7 mm時(shí)，處于穩(wěn)定變形階段，巷道圍巖失穩(wěn)災(zāi)害危險(xiǎn)等級(jí)為Ⅳ級(jí)(災(zāi)害)。

由圖1可知，位移速率為單位時(shí)間內(nèi)累計(jì)位移量的變化量，由此可求得相應(yīng)的位移速率。根據(jù)位移速率的計(jì)算結(jié)果可知，累計(jì)位移量拐點(diǎn)處的位移速率為2.4 mm/(6 d)，極大值點(diǎn)的位移速率為0。在緩慢變形階段，將累計(jì)位移量的拐點(diǎn)與極大值點(diǎn)的50%處所對(duì)應(yīng)的位移速率設(shè)置為緩慢變形階段初期與緩慢變形階段后期的臨界點(diǎn)。因此，在累計(jì)位移量拐點(diǎn)以下，位移速率處于0

預(yù)警指標(biāo)分級(jí)情況如表2所示。

表2 預(yù)警指標(biāo)分級(jí)情況

3.2.2 綜合預(yù)警結(jié)果判斷

根據(jù)累計(jì)位移量及位移速率隨時(shí)間變化的連續(xù)分布特征，采用梯形分布函數(shù)式作為預(yù)警指標(biāo)的隸屬度函數(shù)。

對(duì)于構(gòu)建的巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害模糊綜合評(píng)判模型，要對(duì)各預(yù)警指標(biāo)依次進(jìn)行評(píng)判，評(píng)判式為：

ψi=∑Ai°Ri

(18)

式中:ψi為累計(jì)位移量及位移速率的綜合評(píng)判結(jié)果，反映巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害的危險(xiǎn)性程度;“°”為模糊算子;Ai為預(yù)警指標(biāo)的權(quán)重;Ri為預(yù)警指標(biāo)的隸屬度。

累計(jì)位移量反映了整個(gè)巖體變形破壞的過程，位移速率反映了巖體破壞的快慢程度，兩者均能反映巖體的破壞情況，且累計(jì)位移量與位移速率均屬于位移監(jiān)測(cè)的重要參數(shù)。根據(jù)層次分析法9標(biāo)度賦權(quán)原則，將累計(jì)位移量與位移速率視為同等重要，因此將累計(jì)位移量與位移速率賦同等權(quán)重。

按照最大隸屬度原則進(jìn)行最終穩(wěn)定性綜合評(píng)判，進(jìn)行巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害等級(jí)預(yù)警。

3.3 預(yù)警方法可靠性驗(yàn)證

依據(jù)文獻(xiàn)[18]中2號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移監(jiān)測(cè)情況可知，對(duì)2018年7月26日、8月1日2個(gè)時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行預(yù)警，累計(jì)位移量實(shí)測(cè)值為101.6、107.2 mm，求得累計(jì)位移量拐點(diǎn)以上的位移速率為0.97、0.93 mm/(6 d)。依據(jù)式(18)求得7月26日、8月1日綜合評(píng)價(jià)隸屬度分別為(0，0，0.405，0.595)、(0，0，0.388，0.612)，再按照最大隸屬度原則進(jìn)行最終巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害等級(jí)確定。根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知，7月26日、8月1日巷道變形失穩(wěn)災(zāi)害危險(xiǎn)狀態(tài)均處于Ⅳ級(jí)(災(zāi)害)，且Ⅳ級(jí)的隸屬度有上升趨勢(shì)，即巷道變形失穩(wěn)災(zāi)害危險(xiǎn)性有增加的趨勢(shì)，短期內(nèi)會(huì)發(fā)生巷道變形失穩(wěn)災(zāi)害?，F(xiàn)實(shí)中在8月6日發(fā)生了巷道頂板垮落災(zāi)害事故，根據(jù)文獻(xiàn)[21]可知在8月5日進(jìn)行了安全預(yù)警，但未能避免事故,預(yù)警時(shí)間與災(zāi)害時(shí)間非常接近，可能預(yù)警后無(wú)法及時(shí)采取相應(yīng)措施。從安全的角度考慮，本文構(gòu)建的巷道圍巖變形失穩(wěn)災(zāi)害預(yù)警方法更為合理有效。

4 工程應(yīng)用

金川二礦區(qū)位于甘肅省河西走廊中部金昌市區(qū)，目前已進(jìn)入深部開采，1 018 m水平Ⅲ盤區(qū)1分層位于16行與18行之間，盤區(qū)礦巖完整性較差，處于較高地應(yīng)力水平。為有效控制開采過程中地壓顯現(xiàn)問題，降低采場(chǎng)巷道充填體頂板變形失穩(wěn)的危險(xiǎn)性，采用GYW300型頂板離層監(jiān)測(cè)儀對(duì)1 018 m水平Ⅲ盤區(qū)1分層巷道變形及采場(chǎng)頂板離層破壞進(jìn)行監(jiān)測(cè)，在礦巖交界處及巷道交界處布置了14個(gè)位移監(jiān)測(cè)點(diǎn)，其中3號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)位于1號(hào)穿脈巷道與 20號(hào)進(jìn)路口交界位置。由于3號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)充填體頂板短期累計(jì)位移量變化不大，結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況取14 d為一個(gè)時(shí)間序列(周期)進(jìn)行監(jiān)測(cè)。2020年8月1日至10月10日監(jiān)測(cè)點(diǎn)累計(jì)位移量變化情況如表3所示。

表3 3號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)累計(jì)位移量變化情況

根據(jù)優(yōu)化灰色Verhulst模型時(shí)間相應(yīng)方程擬合預(yù)測(cè)得到充填體頂板變形破壞特征曲線，如圖2所示。

圖2 3號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)充填體頂板變形破壞特征曲線

根據(jù)預(yù)警閾值的確定方法，結(jié)合圖2中的logistic函數(shù)可求得累計(jì)位移量拐點(diǎn)與極值點(diǎn)分別為99.8、237.4 mm，位移速率的拐點(diǎn)與極值點(diǎn)分別為1.43、0 mm/(14 d)。根據(jù)巷道圍巖危險(xiǎn)性等級(jí)劃分方法，劃分金川二礦區(qū)研究區(qū)域累計(jì)位移量及位移速率危險(xiǎn)性分級(jí)情況，如表4所示。

表4 累計(jì)位移量及位移速率危險(xiǎn)性分級(jí)

2020年10月24日實(shí)測(cè)累計(jì)位移量為31 mm，位移速率為0.07 mm/(14 d)，根據(jù)預(yù)警結(jié)果的判斷方法，由式(18)求得最終的隸屬度分別為(1，0，0，0)，以最大模糊隸屬度函數(shù)為原則，確定充填體頂板變形失穩(wěn)災(zāi)害危險(xiǎn)等級(jí)為Ⅰ級(jí)(安全)，預(yù)警結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際一致，短期內(nèi)不會(huì)發(fā)生巷道頂板變形失穩(wěn)災(zāi)害事故。

5 結(jié)語(yǔ)

1)改進(jìn)的灰色Verhulst模型對(duì)巷道圍巖變形的預(yù)測(cè)精度明顯得到了提高，對(duì)金川二礦區(qū)1 018 m水平Ⅲ盤區(qū)的頂板變形監(jiān)測(cè)預(yù)警提供了指導(dǎo)。

2)現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)鮮有連續(xù)的大量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，通過優(yōu)化灰色Verhulst模型對(duì)小樣本監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，可為巷道頂板變形監(jiān)測(cè)預(yù)警提供數(shù)據(jù)支撐，有效地提高了小樣本監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)情況下巷道圍巖變形失穩(wěn)的預(yù)警精度。