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    有界廣義GMM和無(wú)閾值遞歸圖的特征提取方法及應(yīng)用

    2022-05-19 05:53:00趙心陽(yáng)
    機(jī)械設(shè)計(jì)與制造 2022年5期
    關(guān)鍵詞:高斯分布直方圖齒輪

    趙心陽(yáng),肖 涵,2,呂 勇,2

    (1.武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院,湖北 武漢 430081;2.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北 武漢 430081)

    1 引言

    齒輪傳動(dòng)廣泛應(yīng)用于機(jī)械設(shè)備中,但由于工況的復(fù)雜多變,齒輪自身也容易發(fā)生故障,統(tǒng)計(jì)表明,在齒輪箱的全部零件中,齒輪自身失效引起的設(shè)備故障約占全部故障的60%[1],因此針對(duì)齒輪故障診斷方法的研究一直是近年來(lái)的熱點(diǎn)。齒輪振動(dòng)信號(hào)更多的表現(xiàn)出非線性、非平穩(wěn)特征是普遍共識(shí)[2],學(xué)者往往將振動(dòng)信號(hào)的非線性特征,如Lyapunov指數(shù)、分形維數(shù)、熵等用于故障診斷,取得一定的效果[2-3]。但由于振動(dòng)信號(hào)通常信噪比較低,而上述參數(shù)對(duì)噪聲較敏感,導(dǎo)致其作為特征量時(shí),故障識(shí)別精度不高。

    遞歸性是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的基本屬性之一,1987年Eckman基于相空間重構(gòu)理論提出遞歸圖(Recurrence Plot,RP)分析方法[4],用以從遞歸圖的內(nèi)部層狀結(jié)構(gòu)揭示時(shí)間序列的復(fù)雜性和可預(yù)測(cè)性,包括傳統(tǒng)閾值遞歸圖(Thresholded Recurrence Plot,RP)和無(wú)閾值遞歸圖(Un-Thresholded Recurrence Plot,URP)。為了解決遞歸圖分析方法無(wú)法定量描述動(dòng)力學(xué)特性等問(wèn)題,文獻(xiàn)[5-6]提出傳統(tǒng)閾值遞歸圖特征提取方法-遞歸定量分析(Recurrence Quantifica?tion Analysis,RQA)。通過(guò)研究遞歸點(diǎn)的分布規(guī)律,研究者已提出的遞歸參量已達(dá)20余種,且已應(yīng)用于設(shè)備故障診斷領(lǐng)域。但遞歸參量的選擇往往由研究者主觀確定,且故障識(shí)別精度有待提高。由于URP中遞歸點(diǎn)間的距離參數(shù)被保留下來(lái),因此對(duì)于同一時(shí)間序列,URP 中往往包含比RP 更多的信息量,近年來(lái)針對(duì)URP 的研究逐漸成為熱點(diǎn)。2018年,文獻(xiàn)[7]提出利用URP 分析方法檢測(cè)絕緣電力電纜因熱老化引起的劣化程度。文獻(xiàn)[8]根據(jù)URP中的歐式距離分布提出了一種基于無(wú)閾值遞歸矩陣的檢測(cè)器,用于檢測(cè)噪聲環(huán)境中信號(hào)的出現(xiàn)。但上述研究均是從定性角度分析,無(wú)法定量描述URP,限制了其應(yīng)用。這里提出一種采用有界廣義高斯混合模型(BGGMM)進(jìn)行URP特征提取的方法,用于URP的定量分析,并應(yīng)用于齒輪故障分類。

    2 算法

    2.1 無(wú)閾值遞歸圖

    遞歸圖作為時(shí)間序列中重復(fù)模式的圖形表示,是分析時(shí)間序列周期性、混沌性以及非平穩(wěn)性的一個(gè)重要方法[2]。算法流程如下:

    (1)對(duì)于一維時(shí)間序列xi(i=1,2,3,…N),經(jīng)相空間重構(gòu)后,得到高維相空間:

    式中:Nd=N-(d-1)τ,τ—延遲時(shí)間;d—嵌入維數(shù)。

    (2)對(duì)于相空間中的軌跡x→i(i=1,2,…Nd,x∈Rd),無(wú)閾值遞歸圖定義為:

    式中:‖ ?‖—向量范數(shù),常用范數(shù)包括1-范數(shù),2-范數(shù)和∞-范數(shù),這里采用∞-范數(shù);與傳統(tǒng)閾值遞歸圖不同,無(wú)閾值遞歸圖由于沒(méi)有閾值ε的限定,其遞歸矩陣Ri,j(unthres)—相空間中兩個(gè)向量x→i和x→j之間的歐式距離。

    2.2 有界廣義高斯混合模型

    基于高斯分布的混合模型一直都是研究的熱點(diǎn),廣泛應(yīng)用于模式識(shí)別、圖像處理和故障診斷等領(lǐng)域。其中高斯混合模型(GMM)[9]是應(yīng)用較多的混合模型之一,但由于其具有奇異性,即樣本數(shù)不足時(shí)參數(shù)估計(jì)會(huì)更加困難,從而導(dǎo)致算法發(fā)散。為解決GMM 的不足,學(xué)者提出更具魯棒性的廣義高斯混合模型(GGMM)[10]。相較于傳統(tǒng)GMM,GGMM 嵌入額外參數(shù)λ用以控制擬合曲線尾部凸起與否,因此可適應(yīng)更多類型數(shù)據(jù)。但是上述混合模型都未考慮數(shù)據(jù)邊界問(wèn)題,當(dāng)數(shù)據(jù)存在支撐邊界時(shí),將導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)存在較大的偏差。因此文獻(xiàn)[11]2014年提出有界廣義高斯混合模型(BGGMM)用以擬合高斯分布和非高斯分布數(shù)據(jù),并考慮數(shù)據(jù)的邊界問(wèn)題,近年來(lái)廣泛用于模式識(shí)別等領(lǐng)域。文獻(xiàn)[12-13]成功將BGGMM 應(yīng)用于視頻和圖像降噪以及圖像分割領(lǐng)域。文獻(xiàn)[14]結(jié)合獨(dú)立分量分析方法(ICA)和BGGMM成功實(shí)現(xiàn)對(duì)關(guān)鍵字進(jìn)行無(wú)監(jiān)督識(shí)別。

    2.2.1 算法簡(jiǎn)介

    高斯混合模型(GMM)是單高斯概率密度函數(shù)的延伸,廣泛應(yīng)用于模式識(shí)別、圖像處理、故障診斷[6]等領(lǐng)域。

    K個(gè)分量的GMM,其定義為:

    式中:Θj—模型參數(shù),ωj作為混合權(quán)重系數(shù),滿足ωj≥0。

    式中:μj和σj—混合模型中的均值和方差,參數(shù)λj控制該分布的尾部凸起與否;Γ(?)—伽馬函數(shù)。值得提出的是,GMM 和GGMM是BGGMM的特殊情況:當(dāng)λj=2,H(xi|Ωj)=1時(shí),式(4)可表示為GMM的概率密度函數(shù);當(dāng)H(xi|Ωj)=1時(shí),表示為GGMM的概率密度函數(shù)。

    2.2.2 參數(shù)估計(jì)

    期望最大化(Expectation-Maximum,EM)算法在統(tǒng)計(jì)學(xué)中廣泛被用于參數(shù)的最大似然估計(jì),同時(shí)也是基于高斯分布的混合模型中常用的參數(shù)估計(jì)方法[15]。EM算法以迭代的形式實(shí)現(xiàn)最大似然函數(shù)的最大化,包括E-Step 和M-Step,在這里所應(yīng)用的BGGMM中,最大似然函數(shù)定義如下:

    為了最大化式(8),采用其負(fù)數(shù)方程作為誤差方程,此時(shí)最大化似然函數(shù)即等效為最小化誤差式(9),誤差方程定義如下:

    在E-Step中,后驗(yàn)概率定義為:

    在M-Step 中,根據(jù)式(10)得出的后驗(yàn)概率更新模型參數(shù)如下:

    其中:

    式中:γ—比例因子—從混合模型特定組分j的廣義高斯分布中提取的隨機(jī)變量;M—大正整數(shù);當(dāng)x≥0時(shí),sign(x)=1,否則sign(x)=0。

    最后,對(duì)式(9)中的誤差函數(shù)進(jìn)行評(píng)估,檢查收斂準(zhǔn)則。若不滿足收斂條件,則從E-Step重新開(kāi)始下一次迭代,直到滿足收斂準(zhǔn)則為止。

    3 URP統(tǒng)計(jì)定量分析

    無(wú)閾值遞歸圖(URP)可以檢測(cè)遞歸點(diǎn)之間距離的微小變化,而如果這些變化小于預(yù)定義的截止距離,則在RP中無(wú)法檢測(cè)到。因此,URP中的模式可以比RP提供更多的信息。為了從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度量化URP,這里提出采用BGGMM進(jìn)行URP統(tǒng)計(jì)定量分析方法,算法流程如下:

    (1)輸入時(shí)間序列x(t);

    (2)通過(guò)式(1)和式(2)經(jīng)相空間重構(gòu)獲得無(wú)閾值遞歸矩陣Ri,j(unthres),然后將遞歸矩陣中值的直方圖進(jìn)行歸一化處理;

    (3)初始化模型參數(shù)Θ=(ωj,μj,σj,λj);

    (4)通過(guò)式(10)式(14)迭代更新模型參數(shù)Θ;

    (5)檢測(cè)迭代收斂準(zhǔn)則。若不滿足,返回步驟(4)繼續(xù)迭代,直至滿足條件,迭代停止;

    (6)輸出均值和方差,組成特征向量(μ,σ),對(duì)URP進(jìn)行定量描述。

    本節(jié)中,為了驗(yàn)證該方法的有效性,利用兩組仿真信號(hào)進(jìn)行分析。(1)周期信號(hào):x(t)=sin(2π10t);(2)Lorenz信號(hào):

    周期信號(hào)和Lorenz信號(hào)的時(shí)域波形圖、對(duì)應(yīng)的URPs以及歸一化后的歐式距離分布直方圖,如圖1所示。從圖1可看出,正弦周期信號(hào)URP的遞歸點(diǎn)沿主對(duì)角線平行或垂直分布,而混沌信號(hào)URP中出現(xiàn)大量平行與主對(duì)角線的線段。其對(duì)應(yīng)的分布直方圖近似服從于高斯分布,所不同的是,圖1(a)中的直方圖明顯存在數(shù)據(jù)邊界,數(shù)據(jù)也更加分散;圖1(b)中,數(shù)據(jù)更接近于高斯分布,且相對(duì)集中,這表明原始信號(hào)存在差異。經(jīng)BGGMM擬合(K=1),提取均值分別為1.45和1.92,方差分別為7.04和1.91,提取的均值和方差均存在差異,其中方差存在較大的差異也解釋了直方圖數(shù)據(jù)的集中程度的不同,這表明混合模型的參數(shù)可作為URP的定量分析指標(biāo)。

    圖1 仿真信號(hào)時(shí)域圖及其對(duì)應(yīng)的URPs和歐式距離分布直方圖Fig.1 Time-Domain Plot and their URPs as well as the Euclidean Distance Distribution Histogram of Simulate Signals

    4 齒輪故障分類識(shí)別實(shí)驗(yàn)

    這里將該方法應(yīng)用于齒輪故障的分類,提出的齒輪故障分類算法的流程圖,如圖2所示。

    圖2 齒輪故障分類算法的流程圖Fig.2 The Flowchart of Fault Classification Algorithm

    4.1 實(shí)驗(yàn)裝置

    為了驗(yàn)證所提方法的有效性,通過(guò)齒輪故障實(shí)驗(yàn)臺(tái)采集不同齒輪狀態(tài)下的振動(dòng)信號(hào),實(shí)驗(yàn)臺(tái)及其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖,如圖3 所示。實(shí)驗(yàn)臺(tái)包括550w(220V-50Hz)電機(jī),帶有一對(duì)嚙合齒輪的齒輪箱,聯(lián)軸器和磁粉制動(dòng)器。其中,電機(jī)的轉(zhuǎn)速和負(fù)載在(300~1217)r/min和(0~20)N·m范圍內(nèi)變動(dòng);小齒輪的齒數(shù)為20,大齒輪37,模數(shù)均為3;振動(dòng)信號(hào)由安裝在輸入軸承座的垂直方向上的加速度傳感器采集。

    圖3 齒輪故障實(shí)驗(yàn)臺(tái)及其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.3 Gear Failure Test Table and its Structure Diagram

    4.2 時(shí)域信號(hào)及無(wú)閾值遞歸圖

    采用上述實(shí)驗(yàn)臺(tái),分別采集四種齒輪狀態(tài)的振動(dòng)信號(hào)各100組,采樣頻率10kHz,采樣時(shí)間0.1s。四種齒輪故障狀態(tài)的時(shí)域信號(hào)波形圖及其對(duì)應(yīng)的URP,如圖4、圖5所示。原始信號(hào)不進(jìn)行降噪處理,采用虛假鄰域法確定嵌入維數(shù)d=4,平均互信息算法[16]確定延遲時(shí)間τ=4。

    圖4 四種齒輪狀態(tài)時(shí)域波形圖Fig.4 Time-Domain Signals of Four Gear States

    圖5 四種齒輪狀態(tài)的無(wú)閾值遞歸圖Fig.5 Un-Thresholded Recurrence Plots of Four Gear States

    從時(shí)域波形圖看,原始信號(hào)摻雜噪聲較多,無(wú)法直接從原始時(shí)域信號(hào)區(qū)分四種齒輪故障狀態(tài);從URP中看出,遞歸圖中的遞歸點(diǎn)主要呈垂直分布,動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所決定。

    4.3 故障識(shí)別結(jié)果及對(duì)比

    無(wú)閾值遞歸圖中,向量之間的歐式距離大小由顏色深淺不一的遞歸點(diǎn)映射在圖像中,如圖5 所示。四種齒輪故障模式下的URP 顏色深度不同,表明遞歸點(diǎn)的歐式距離分布存在差異。應(yīng)用BGGMM 擬合URP 中遞歸點(diǎn)歐式距離分布直方圖,并提取均值和方差組成特征向量(μ,σ)用以齒輪的故障分類。分別以均值(μ)和方差(σ)為橫縱坐標(biāo)繪制,如圖6 所示。由圖6 可以看出,四種齒輪故障狀態(tài)下的振動(dòng)信號(hào)特征向量的分布存在較大的差異,除了斷齒和周節(jié)兩種狀態(tài)存在少量重疊外,四種故障齒輪的特征向量基本完全被分開(kāi)。

    圖6 BGGMM提取的特征向量分布情況Fig.6 Distribution of Feature Vectors Extracted by BGGMM

    為了驗(yàn)證該方法的有效性,將所采集的各齒輪故障狀態(tài)數(shù)據(jù)按1:1的比例分為訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù),即前50組數(shù)據(jù)用于訓(xùn)練,后50組數(shù)據(jù)用于測(cè)試,建立高斯混合模型,應(yīng)用貝葉斯最大似然分類器進(jìn)行分類。并與傳統(tǒng)RQA的10種遞歸定量[16](RR、DET、L、Lmax、ENTR、LAM、TT、Vmax、T1/T2)作為特征向量時(shí)的識(shí)別率進(jìn)行比較,結(jié)果如表1所示。

    表1 URP定量分析和傳統(tǒng)RQA方法的識(shí)別率Tab.1 Identification Rates of URP Quantitative Analysis and Traditional RQA Methods

    從表1可以看出,基于BGGMM的URP定量分析方法的識(shí)別率明顯高于傳統(tǒng)RQA方法,四種齒輪故障狀態(tài)的識(shí)別率均高于90%,其中對(duì)齒輪正常狀態(tài)的識(shí)別率較高,達(dá)到100%。對(duì)于齒輪磨損和正常兩種狀態(tài),較傳統(tǒng)RQA 方法分別提高10%和26%。表明這里所提出的齒輪故障分類方法具有一定的優(yōu)勢(shì)。

    5 結(jié)論

    近年來(lái),遞歸定量分析廣泛應(yīng)用于故障診斷等領(lǐng)域,但其診斷精度有待提高,此外,目前缺乏針對(duì)無(wú)閾值遞歸圖定量分析的有效方法。這里提出一種采用BGGMM進(jìn)行URP特征提取的方法,用于定量分析URP,并成功應(yīng)用于齒輪的故障分類中。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,與傳統(tǒng)的RQA方法相比,該方法在齒輪故障識(shí)別方面具有更好的性能和更高的分類精度。

    所提方法是從模式識(shí)別的角度,對(duì)無(wú)閾值遞歸圖的一種統(tǒng)計(jì)定量分析方法,將遞歸矩陣中歐式距離的分布直方圖的統(tǒng)計(jì)參數(shù)作為定量分析指標(biāo)。但提出的定量指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)特征還需進(jìn)一步研究,此外,研究其它的統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)作為定量分析指標(biāo)也是后續(xù)的研究?jī)?nèi)容。

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