Geo Gebra軟件在物理問題表征中的應(yīng)用*

龔圣卿 林 欽(福建師范大學(xué)物理與能源學(xué)院 福建 福州 350108)

表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié).認(rèn)知心理學(xué)家Simon指出，“如果一個問題得到了正確表征，可以說它已解決了一半.”[1]美國著名的數(shù)學(xué)家斯蒂恩也曾說，“如果能用圖形表征特定問題，那么思想就對這個問題有了整體把握，就可以找到創(chuàng)造性地解決問題的辦法.”[2]

在現(xiàn)實教學(xué)中，很多學(xué)生學(xué)習(xí)物理都有這樣的感受，老師上課講的物理規(guī)律、定理以及例題、習(xí)題等好像都聽懂了，可是一旦之后碰到類似的物理問題，又變得茫然無措了.拿到題目時無從下手、不知所措，很多學(xué)生就直接開始套用相關(guān)公式，最后代數(shù)計算結(jié)果，如果最后發(fā)現(xiàn)錯了，再換另一個公式接著嘗試，就這樣盲目的嘗試錯誤[3].顯然，學(xué)生解決物理問題的步驟變成了讀題、接著套用物理公式、最后進(jìn)行數(shù)學(xué)演算這一機(jī)械過程.

究其原因是多方面的，其中很重要的原因是解決問題的表征形式影響著學(xué)生的思維方式，學(xué)生學(xué)習(xí)物理變成了只習(xí)慣于用文字表征、數(shù)學(xué)表征，而對“問題表征”中圖形表征、方法表征等能力卻顯得比較弱，導(dǎo)致學(xué)生不能有效解決物理問題[4].對問題做什么樣的表征，這種表征是否適宜，直接影響解決問題的難易、快慢和成敗.

在物理表征教學(xué)中，GeoGebra軟件有其自身獨特的優(yōu)勢.例如滑塊木板模型往往讓學(xué)生感到頭疼，認(rèn)為該過程和情境復(fù)雜.若在教學(xué)過程中，利用GeoGebra將動態(tài)過程可視化地呈現(xiàn)出來，同時配合滑塊木板運(yùn)動的速度-時間圖像，如圖1所示，可以使學(xué)生更容易理解該情境的物理過程，教學(xué)效果往往更佳.

圖1 滑塊木板模型

目前GeoGebra軟件在物理教學(xué)中的應(yīng)用情況大致可分為4大類:

(1)在物理概念教學(xué)中的輔助教學(xué)應(yīng)用，文獻(xiàn)[5]利用該軟件進(jìn)行簡諧運(yùn)動和機(jī)械波物理課堂教學(xué).

(2)輔助習(xí)題教學(xué)應(yīng)用，文獻(xiàn)[6]針對一道高考題，對等量同種電荷連線中垂線上場強(qiáng)進(jìn)行研究.

(3)輔助物理實驗教學(xué)應(yīng)用，文獻(xiàn)[7]將該軟件運(yùn)用在平拋運(yùn)動實驗數(shù)據(jù)的可視化處理.

(4)輔助物理問題探究等，文獻(xiàn)[8]利用GeoGebra軟件模擬行星現(xiàn)象.

筆者認(rèn)為GeoGebra軟件在物理教學(xué)的各方面應(yīng)用過程中的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在分析動態(tài)過程、探討臨界狀態(tài)，繪制函數(shù)圖像、理解物理規(guī)律，圖形維度轉(zhuǎn)換、突破思維障礙等3個方面.

1 分析動態(tài)過程探討臨界狀態(tài)

臨界狀態(tài)往往是極值出現(xiàn)的狀態(tài)，該狀態(tài)涉及的物理過程往往比較復(fù)雜，考查學(xué)生推理能力和分析綜合能力，利用圖形進(jìn)行表征，可以幫助學(xué)生巧妙地解決臨界狀態(tài)問題.

例如在探究三共點力動態(tài)平衡問題時，如圖2所示，“∠”形鐵架中，∠ABO=60°，鐵架中放一鋼球，系統(tǒng)恰好靜止于實線位置(鋼球與OB邊接觸，AB邊水平).現(xiàn)使鐵架繞水平轉(zhuǎn)軸O逆時針緩慢轉(zhuǎn)過90°至虛線位置，不計一切摩擦，則該過程中鋼球受到BA和OB的彈力變化情況如何.

圖2 三共點力動態(tài)平衡問題情境圖

鐵架繞O點轉(zhuǎn)動某一角度，鋼球受力如圖3所示，其中鐵架夾角為α，鐵架繞O點轉(zhuǎn)過的角度為β.在GeoGebra中，利用力的合成的思路，繪制出鐵架轉(zhuǎn)動過程動態(tài)圖形，如圖3所示.

圖3 鋼球受力分析圖

通過β調(diào)節(jié)鐵架繞O點轉(zhuǎn)動的角度，N1和N2的大小可在動態(tài)文本工具中同步顯示出來.

由于鐵架形狀保持不變，N1和N2的夾角保持不變，合力始終與重力平衡，根據(jù)“同一弦所對應(yīng)的圓周角相等”的規(guī)律建立如圖4所示的輔助圓.在圖3矢量三角形CDE中，兩彈力的夾角α，它們的夾角α始終對應(yīng)鋼球所受合力F合，繪制出輔助圓，如圖4所示，在輔助圓中，E點為在圓周上的動點，移動點E，可以改變角度β，分析鐵架繞O點轉(zhuǎn)動過程兩彈力大小的變化趨勢.

圖4 輔助圓

斜拋運(yùn)動中，可利用GeoGebra將斜拋運(yùn)動軌跡可視化，分析動態(tài)變化的斜拋運(yùn)動軌跡，進(jìn)而得出斜拋運(yùn)動結(jié)論.

如圖5所示，調(diào)節(jié)初速度或拋射角，斜拋運(yùn)動軌跡即可發(fā)生相應(yīng)的改變，變化的軌跡也可以記錄下來，進(jìn)而分別探究初速度、拋射角度與斜拋運(yùn)動的射程和射高的關(guān)系.

圖5 拋射軌跡

如圖6所示，通過調(diào)節(jié)拋射角θ滑動條，實時讀取拋射軌跡的長度、軌跡的邊界與水平軸所圍面積大小、射程的長度等數(shù)值，比較拋射角θ取何值時三者數(shù)值分別達(dá)到最值.且在圖7中，以拋射角為橫坐標(biāo)，分別以面積大小、軌跡長度、水平射程長度為縱坐標(biāo)，繪制出三者與拋射角θ的函數(shù)圖像，圖像能夠直觀地看出拋射角θ存在一個臨界值，使得該三者存在最大值.

圖6 拋射角度與軌跡長度、面積、射程關(guān)系

圖7 關(guān)系曲線

利用GeoGebra繪制出科學(xué)準(zhǔn)確的物理圖形，可顯現(xiàn)出物體變化和運(yùn)動的動態(tài)過程出現(xiàn)的關(guān)鍵點、轉(zhuǎn)折點、臨界點.在解決物理問題時，畫出圖形的過程，形成物理圖景，往往需要形象思維活動的參與，可以有效幫助學(xué)生構(gòu)建物理模型，培養(yǎng)學(xué)生形象思維能力.

2 繪制函數(shù)圖像理解物理規(guī)律

物理教學(xué)中離不開數(shù)學(xué)思想的滲透，物理規(guī)律的得出往往也需要列出物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，利用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)圖像進(jìn)行分析、表達(dá)，進(jìn)而通過圖像找出其表達(dá)的物理內(nèi)容，記憶物理規(guī)律.

在“∠”形鐵架例題中，為了更好地說明兩分力的大小變化情況，還可以利用正弦定理進(jìn)行輔助分析.圖3可知

其中θ=120°-β，利用GeoGebra繪制出兩個力N1和N2與轉(zhuǎn)動角度β之間的關(guān)系圖像，如圖8所示，觀察函數(shù)圖像可以發(fā)現(xiàn)，鐵架在轉(zhuǎn)動過程，兩個力與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系存在著臨界狀態(tài)：當(dāng)鐵架轉(zhuǎn)動時，N1先增大后減?。昏F架旋轉(zhuǎn)角度為零時，N1大小等于重力，此時N2值為零；鐵架旋轉(zhuǎn)角度為30°時，力N1達(dá)到最大值，N2先增大后減??；鐵架旋轉(zhuǎn)角度為90°時，力N2達(dá)到最大值；鐵架旋轉(zhuǎn)角度為120°時，N2大小等于重力，此時N1值為零；其中，鐵架旋轉(zhuǎn)角度為60°時，N1和N2大小都等于重力.

圖8 作用力與轉(zhuǎn)動角關(guān)系曲線

在探究分壓電路中各部分電流變化規(guī)律時，學(xué)生往往難以理解數(shù)學(xué)表達(dá)式的結(jié)果.例如，在圖9電路圖中，若滑片P將電阻R2分為兩部分，設(shè)右部分電阻為r，則滑片從b端滑至a端，A，B處的電流分別如何變化？

圖9 電路圖

學(xué)生在解答此類問題時，常常利用“程序法”“特殊值法”定性分析，有時卻不能得出結(jié)論，究其本質(zhì)，還需要列出該過程的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行定量分析.根據(jù)歐姆定律列出電流IA與電阻r之間的關(guān)系

電流IB和電阻r之間的關(guān)系

觀察函數(shù)關(guān)系式發(fā)現(xiàn)，對于給定的電源U和電阻R0，R1，R2，輸出各支路的電流與電阻r相關(guān)，但它們之間存在什么樣的關(guān)系，只從表達(dá)式中不容易得出結(jié)論.可根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，利用GeoGebra以數(shù)化形，可以較為直觀地分析出電流隨滑動變阻器的變化情況.

在GeoGebra輸入框中分別輸入電流IA和IB與電阻r之間的函數(shù)關(guān)系，分別得到電流IA和IB與電阻r的靜態(tài)曲線，開啟靜態(tài)曲線跟蹤功能，改變R0，可得到不同R0對應(yīng)的靜態(tài)曲線.同時分別創(chuàng)建A，B點，兩點分別為電流IA和IB與電阻r函數(shù)上的動點，啟動動畫按鈕，觀察動點A，B在靜態(tài)曲線上運(yùn)動，動點坐標(biāo)顯示電阻r與對應(yīng)電流值，如圖10所示.

觀察函數(shù)圖像可知，滑片從b端滑至a端過程，電流表IA的讀數(shù)隨著r值的增大而單調(diào)遞增.而電流IB的單調(diào)性卻沒有唯一確定，當(dāng)R0較小時，電阻r增大，電流表IB的數(shù)值先減小后增大；當(dāng)R0較大時，電流表IB的數(shù)值隨電阻r的增大單調(diào)遞減.可見電阻R0的大小影響著分壓電路中滑動變阻器支路部分電流的單調(diào)性.

利用GeoGebra將物理公式和函數(shù)圖像結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生理解公式和數(shù)學(xué)圖像背后的物理意義，幫助學(xué)生更直觀地從整體上把握規(guī)律.在解決物理問題時，往往涉及列方程等數(shù)學(xué)步驟，恰當(dāng)進(jìn)行邏輯推理思維活動，以數(shù)形結(jié)合的方式，加深數(shù)學(xué)表征的理解，得出物理結(jié)論，有利于培養(yǎng)學(xué)生的物理運(yùn)算能力和推理思維能力.

3 圖形維度轉(zhuǎn)換突破思維障礙

物理教學(xué)中含有許多抽象的物理知識，教師在課堂講解過程常以二維平面中畫圖為主，學(xué)生理解起來費勁.因此，我們在畫圖的過程中“升維”能夠有效突破學(xué)生思考過程的思維障礙，提高學(xué)生的抽象思維能力，促進(jìn)問題的解決.

例如在水平桌面M上放置一塊正方形薄木板abcd，在木板的正中央放置一個質(zhì)量為m的木塊，如圖11所示.

圖11 圖形維度轉(zhuǎn)換問題情境圖

先以木板的ad邊為軸，將木板向上緩慢轉(zhuǎn)動，使木板的ab邊與桌面的夾角為θ1，再接著以木板的ab邊為軸，將木板向上緩慢轉(zhuǎn)動，使木板的ad邊與桌面的夾角為θ2(ab邊與桌面的夾角不變).在轉(zhuǎn)動過程中木塊在木板上沒有滑動，求轉(zhuǎn)動以后木塊受到摩擦力的大小.

如果把桌面稱為水平面M，第一次轉(zhuǎn)動θ1得到平面M′，將物體重力正交分解，如圖12所示，第二次翻轉(zhuǎn)θ2，得到平面M″，如圖13所示，作平面M″的垂線N，第一次在水平面翻轉(zhuǎn)θ1所產(chǎn)生的靜摩擦力f1=mgsinθ1，第二次翻轉(zhuǎn)時“等效重力”大小為mgcosθ1,第二次在斜面上翻轉(zhuǎn)后所增加的側(cè)向靜摩擦力應(yīng)為f2=(mgcosθ1)sinθ2，因此最后的摩擦力為

圖12 翻轉(zhuǎn)一次受力分析圖

圖13 翻轉(zhuǎn)兩次受力分析圖

利用GeoGebra繪制出三維物理情境圖，類比二維斜面時的受力分析，利用等效的原理進(jìn)行力的分解是解題的關(guān)鍵.在解決物理問題時，只有正確運(yùn)用科學(xué)的方法抓住問題的要害，才能找出解決問題的途徑，類比、聯(lián)想、等效、圖解等都是常用的科學(xué)思維方法，學(xué)習(xí)和運(yùn)用這些科學(xué)思維方法，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治鏊季S活動，能夠有效促進(jìn)問題的解決.

綜上所述，物理問題解決過程中，表征的難點和方式有所差異，但不同的表征過程都涉及了物理思維活動，思維活動貫穿問題解決的全過程[9].在平常的物理教學(xué)中，提高學(xué)生物理思維能力、物理想象能力、物理運(yùn)算能力、運(yùn)用科學(xué)方法能力等是有效促進(jìn)問題解決的關(guān)鍵所在.