函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的不等式問題

■廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué) 潘敬貞

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的不等式問題一直是高考考查的熱點和難點問題,主要包括兩種類型:已知不等式求參數(shù)的范圍和證明不等式。該類問題的求解對同學(xué)們的分析問題、轉(zhuǎn)化與化歸、代數(shù)變形、構(gòu)造新函數(shù)、分類討論、推理論證、運算求解等能力要求比較高。本文結(jié)合實例對常見的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的不等式問題進(jìn)行歸納、梳理,主要目的是加強同學(xué)們對該類題備考的針對性,提高解決該類問題的能力,從而提高高考競爭力。

一、已知不等式求參數(shù)的范圍

例1已知函數(shù)f(x)=(x-1)exa(x2+1),x∈[1,+∞)。

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)≥-2a+lnx,求實數(shù)a的取值范圍。

解析:(1)略。

(2)令g(x)=f(x)+2a-lnx=(x-1)ex-a(x2-1)-lnx,注意到g(1)=0,則問題轉(zhuǎn)化為g(x)≥0在x∈[1,+∞)上恒成立。

g＇(x)=xex-2ax-。

若a＞,則g＇(1)=e-2a-1＜0;g＇(ln(2a+1))=ln(2a+1)-,因為2a+1＞e,所以ln(2a+1)＞1,g＇(ln(2a+1))＞0。所以存在x0∈(1,ln(2a+1)),使得g＇(x0)=0。

當(dāng)x∈(1,x0)時,g＇(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)＜g(1)=0,不滿足題意。

若a≤,則g＇(x)≥xex-(e-1)x=x[ex-(e-1)]-。

當(dāng)x＞1時,x[ex-(e-1)]＞1,0＜＜1,所以g＇(x)＞0,g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(1)=0,滿足題意。

綜上可得,a≤。

評注:解答本題的關(guān)鍵是由g＇(1)=0得a=,后面只需討論a＞和a≤時函數(shù)g(x)的符號即可。

例2已知函數(shù)f(x)=aex-2ax-2(a≠0)。

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)是否存在a∈(0,1),使得對于任意實數(shù)x,都有f(x)+＞0?

解析:(1)f＇(x)=aex-2a=a(ex-2),令f＇(x)=0,得x=ln 2。

若a＞0,當(dāng)x∈(-∞,ln 2)時,f＇(x)＜0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(ln 2,+∞)時,f＇(x)＞0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。

若a＜0,當(dāng)x∈(-∞,ln 2)時,f＇(x)＞0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(ln 2,+∞)時,f＇(x)＜0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。

(2)方法1:f(x)+=aex-2ax-2+＞0,可變形為ae2x-(2ax+2)·ex+(x2+2x)＞0。

令g(x)=ae2x-(2ax+2)ex+(x2+2x),則g＇(x)=2ae2x-(2ax+2a+2)ex+(2x+2)=2(aex-1)(ex-x-1)。

令h(x)=ex-x-1,則h＇(x)=ex-1,由h＇(x)=0,得x=0。

當(dāng)x∈(-∞,0)時,h＇(x)＜0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,+∞)時,h＇(x)＞0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增。

因此,不存在a∈(0,1),使得對于任意實數(shù)x,都有f(x)+＞0。

由(1)知,當(dāng)a＞0時,f(x)min=f(ln 2)=2a-2aln 2-2。

g＇(x)=,令g＇(x)=0,得x=。

所以g(x)在(-∞,)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增。

因此,不存在a∈(0,1),使得對于任意實數(shù)x,都有f(x)+＞0。

方法3:假設(shè)存在a∈(0,1),使得對于任意實數(shù)x,都有f(x)+＞0,即aex-2ax-2+＞0。令h(x)=ex-2x,則h＇(x)=ex-2。當(dāng)x∈(-∞,ln 2)時,h＇(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(ln 2,+∞)時,h＇(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增。所以h(x)min=h(ln 2)=2-2ln 2＞0,所以ex-2x＞0,所以a＞恒成立。

令F(x)=,則F＇(x)=。

令Q(x)=ex-x-1,則Q＇(x)=ex-1。當(dāng)x∈(-∞,0)時,Q＇(x)＜0,Q(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,+∞)時,Q＇(x)＞0,Q(x)單調(diào)遞增。所以Q(x)≥Q(0)=0,所以ex≥x+1。

而獲得了知識和美德的人，就可以出色地運用其天生就具備的武器(即各種能力)，而美德一旦武裝起來就能形成極強的能力；如果人們的品德敗壞了，比如極其邪惡和殘暴，無比放蕩和貪婪，就會把我們天生的武器用于做極惡劣的事情?！安还晃溲b起來將會是莫大的禍害?！盵2](P7)善德與惡德對于個人和團(tuán)體的生活之影響十分巨大，所以，政治的作用就是要采取優(yōu)良政體，或者促使時下的各種政體能夠得到改善，其標(biāo)準(zhǔn)就是：有效地安排各種善，并使美德的價值優(yōu)先；同時政體的安排要有助于公民獲得美德，并且可以按照政體能在多大程度培養(yǎng)公民的完整美德來衡量其優(yōu)良程度。

令g(x)=x2-ex,則g＇(x)=2x-ex＜0,所以g(x)在R 上單調(diào)遞減。

又g(-1)=1-＞0,g(0)=-1＜0,所以?x0∈(-1,0),使得g(x0)=0,從而F＇(x0)=0,此時。

當(dāng)x∈(-∞,x0)時,F＇(x)＞0,F(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x0,+∞)時,F＇(x)≤0,F(x)單調(diào)遞減。所以F(x)max=F(x0)=＞1,所以a＞1,矛盾。

因此,不存在a∈(0,1),使得對于任意實數(shù)x,都有f(x)+＞0。

評注:本題是以探究存在性問題進(jìn)行設(shè)問,具有濃厚的探究味道,但本質(zhì)上和已知不等式求參數(shù)范圍是一致的,本題的方法1 是正面突破,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,通過一系列推導(dǎo)和求解得出矛盾,最后下結(jié)論,這是這類問題的一般解法,但過程有點煩瑣;方法2 是將問題轉(zhuǎn)化為f(x)min＞g(x)max,從而求得實數(shù)a的取值范圍,最后得出結(jié)論,該思路也非常清晰、自然,解答過程簡潔,是一種好的解法;方法3是通過分離參數(shù),然后構(gòu)造新函數(shù),該解法容易理解,也常用,但對運算能力要求比較高,解答過程比較繁雜,沒有一定的數(shù)學(xué)功底很難完整地解答出來。

二、證明函數(shù)不等式

有關(guān)證明不等式問題,一般有轉(zhuǎn)化后求函數(shù)的最值問題,極值點偏移問題,對數(shù)均值不等式問題,有時還需要對函數(shù)進(jìn)行同構(gòu)等。

例3已知函數(shù)f(x)=x2+ax+2lnx(a為常數(shù))。

(1)當(dāng)a≤4 時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2,且|x1-x2|≤,證明:|f(x1)-f(x2)|≤-4ln 2。

解析:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)。

f＇(x)=2x+a+。

設(shè)g(x)=2x2+ax+2(x＞0)。

當(dāng)-4≤a≤4時,Δ≤0,2x2+ax+2≥0成立,則f＇(x)＞0,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)由(1)知函數(shù)f(x)的兩個極值點x1,x2滿足2x2+ax+2=0,所以x1x2=1,x1+x2=。

不妨設(shè)0＜x1＜1＜x2,則f(x)在(x1,x2)上是減函數(shù),故f(x1)＞f(x2)。

評注:本題第(2)問根據(jù)題意利用韋達(dá)定理將參數(shù)消掉,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,解題過程中的換元、變形是關(guān)鍵,試題難度較大,需要豐富的解題經(jīng)驗和較高的數(shù)學(xué)綜合能力。

函數(shù)不等式問題一直是高考考查的熱點問題,也是難點問題,一般都是考卷中的壓軸題,該類題的解決對同學(xué)們的數(shù)學(xué)能力要求較高,不僅需要豐富的解題經(jīng)驗,還需要很強的推理論證和運算求解能力。只有勤于思考,經(jīng)常歸納解題思路,提煉思想方法,不斷反思小結(jié),從而提高自己的數(shù)學(xué)綜合能力,才能在高考考場中擊敗函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題。