基于圖形仿真法的螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子成形刀具廓形設(shè)計

賀詩哲，楊 劍

(1.中石化上海工程有限公司，上海 200120；2.中國船舶重工集團(tuán)第七一一研究所，上海 201108)

1 引言

螺桿壓縮機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡單、操作方便和運(yùn)轉(zhuǎn)可靠等一系列獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)。在螺桿壓縮機(jī)設(shè)計中，最重要的是設(shè)計其轉(zhuǎn)子型線，轉(zhuǎn)子加工精度基本決定了螺桿壓縮機(jī)性能。在轉(zhuǎn)子的制造加工方面，由于轉(zhuǎn)子是螺旋面，成形銑刀被公認(rèn)為是包絡(luò)銑削螺旋曲面的高效專用刀具，在加工精度等方面具有顯著地優(yōu)勢，在銑削效率上要比立銑刀高出3到5倍。因此，研究成形銑刀廓形對轉(zhuǎn)子的生產(chǎn)制造具有重要的經(jīng)濟(jì)價值和現(xiàn)實(shí)意義，為此，國內(nèi)外研究學(xué)者對轉(zhuǎn)子刀具廓形設(shè)計方法進(jìn)行了一系列深入研究。

國內(nèi)在轉(zhuǎn)子刀具廓形研究方面，西安交通大學(xué)朱國懷等介紹了螺桿壓縮機(jī)螺旋轉(zhuǎn)子嚙合及加工基本原理，并以單邊不對稱擺線銷齒圓弧轉(zhuǎn)子型線為研究對象，采用包絡(luò)法求解銑刀廓形方程[1]。南開大學(xué)吳大任等對渦輪蝸桿進(jìn)行了透徹剖析，對圓柱蝸桿螺旋曲面的形成原理進(jìn)行了必要的論述，并對圓盤銑刀和刀盤加工方法進(jìn)行了全面的分析[2]。易先中等根據(jù)曲面簇的包絡(luò)原理，詳細(xì)分析了銑刀刀具與螺旋曲面(即工件)的相對位置和運(yùn)動關(guān)系，提出了采用專用盤形刀具對圓柱螺旋齒面實(shí)現(xiàn)銑削加工的方法[3]。隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，螺旋轉(zhuǎn)子的加工技術(shù)不斷得到革新。國外在轉(zhuǎn)子加工研究方面，Goldfarb et al.基于齒輪傳動理論知識用CAD軟件開發(fā)了新的轉(zhuǎn)子加工計算方法，在實(shí)際生產(chǎn)實(shí)際零件之前模擬齒輪的設(shè)計、制造以及檢驗(yàn)[4]。Litvin FL根據(jù)在齒輪和刀盤之間接觸點(diǎn)的公法線必須穿過刀盤旋轉(zhuǎn)軸的概念，推導(dǎo)了從圓柱齒輪廓形計算刀盤廓形的數(shù)學(xué)模型，該模型亦可用于轉(zhuǎn)子磨削用刀盤廓形的計算過程中[5]。Yu-Ren Wu等提出了一種在給定任意轉(zhuǎn)子輪廓(轉(zhuǎn)子輪廓為解析形式或離散形式)時形成用于加工轉(zhuǎn)子的銑刀廓形的設(shè)計方法[6]。這些文獻(xiàn)都是通過解析包絡(luò)法獲得轉(zhuǎn)子的刀具廓形，但在計算復(fù)雜的刀具接觸線方程時，由于導(dǎo)數(shù)不連續(xù)往往存在數(shù)值穩(wěn)定性問題。在轉(zhuǎn)子型線的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的情況下，轉(zhuǎn)子刀具廓形會出現(xiàn)斷點(diǎn)，還要單獨(dú)把斷點(diǎn)處的刀具廓形線補(bǔ)上去，容易出現(xiàn)干涉誤差。另外在某些情況下，奇異點(diǎn)會出現(xiàn)在對應(yīng)的銑刀上，這些奇異點(diǎn)容易在加工時產(chǎn)生干涉或根切的現(xiàn)象。因此，希望找到一種更簡單、更全面的方法來代替解析齒輪包絡(luò)法。

由于解析法求解螺桿壓縮機(jī)刀具廓形復(fù)雜容易出現(xiàn)干涉，Popa Camelia Lǎcrǎmioara研究了基于包絡(luò)面互補(bǔ)的定理，根據(jù)“替代圓族”定理，以解析法的為基礎(chǔ)，提出了一種加工壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子成形刀具廓形的方法，該方法在借助于AutoCAD對螺桿轉(zhuǎn)子加工過程進(jìn)行運(yùn)動仿真，確定螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子的成形刀具廓形[7]。Kun He a提出了一種點(diǎn)矢量包絡(luò)(PVE)法來計算螺旋線的成形刀具廓形表面?；谠撛?，螺旋表面的橫向輪廓被分散成一系列點(diǎn)，并且通過數(shù)值方法獲得離散點(diǎn)的法向量，然后使用PVE方法，通過刀具和螺旋面的螺旋運(yùn)動形成螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子成形刀具廓形[8]。雖然上訴方法避免了解析法求解的繁瑣，但是由于他們是通過AutoCAD的運(yùn)動仿真方法和AutoCAD的二次開發(fā)后求解刀具廓形的速度相對較慢，本文提出了一種計算螺旋曲面成形刀具輪廓的圖形仿真與數(shù)值法結(jié)合的方法，這種方法速度快，精度高?；趫D形仿真法求解轉(zhuǎn)子刀具廓形時，將計算機(jī)圖形仿真與數(shù)值方法的結(jié)合方法可以避開型線導(dǎo)數(shù)求解，這樣就避免了刀具廓形求解出現(xiàn)斷點(diǎn)，即使在雙包絡(luò)、干涉或根切問題時，也可以快速，精確求出轉(zhuǎn)子刀具廓形，還可以用生成刀具廓形進(jìn)行螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子的切削過程仿真，以方便檢查切削齒廓與給定齒形數(shù)據(jù)的偏差反過來驗(yàn)證刀具的正確性，可以減少刀具廓形的設(shè)計誤差。

2 螺旋面成形銑刀廓形設(shè)計原理

2.1 螺旋面的形成

(1)

式中u——空間參數(shù)

或用直角坐標(biāo)表示為

x0=x0(u)y0=y0(u)z0=z0(u)

(2)

螺旋面的方程用坐標(biāo)式表示為：

x=x0(u)·cos(θ)-y0(u)·sin(θ)y=x0(u)·sin(θ)+y0(u)·cos(θ)z=z0(u)+p·θ

(3)

式中p——螺旋面導(dǎo)程

螺旋面如果是左旋的，把公式(3)中的θ變?yōu)樨?fù)號。

在加工螺旋面的中，往往已知其端截形或軸向截形。當(dāng)已知螺旋面在xoy平面上的端截形時，z=0，其截形方程式為

(4)

則由式(3)得相應(yīng)的螺旋面方程式為

(5)

2.2螺旋面的法線矢量

設(shè)任意曲面的方程為

(6)

式中u、θ——曲面的2個變參數(shù)

(7)

式中nx、ny、nz——分別表示曲面上的在點(diǎn)M(x，y，z)的法線分量

由螺旋面刀具定義可得

nx·y-ny·x=p·nz

(8)

當(dāng)已知螺旋面的端截形時，z0(u)=0和當(dāng)已知螺旋面的端截形時，y0(u)=0。由式(8)得其法線矢量為

(9)

2.3接觸條件及其方程式

加工具有螺旋面的工件時，螺旋面是刀具的回轉(zhuǎn)面相對于工件作螺旋運(yùn)動時所形成的包絡(luò)面?；剞D(zhuǎn)面要包絡(luò)出工件的螺旋面，這兩個表面應(yīng)沿著一條空間曲線相切接觸。在刀具回轉(zhuǎn)面和工件螺旋面的接觸點(diǎn)處，有公共的法線矢量，相對運(yùn)動速度應(yīng)該與公法線垂直。因此，刀具與工件表面的接觸線應(yīng)滿足基本條件式為

(10)

若已知工件的螺旋面，接觸線條件式可用坐標(biāo)式表示為

z·nx+C·ctg(ε)·ny+(C-x+p·ctg(ε))·nz=0

(11)

式中ε——刀具安裝角

C——刀具回轉(zhuǎn)面中心到螺旋面中心的距離

2.4刀具回轉(zhuǎn)面軸向截形

通過坐標(biāo)變換，將接觸線變換到刀具坐標(biāo)系(o′-X，Y，Z)中，接觸線繞刀具軸線回轉(zhuǎn)即得刀具回轉(zhuǎn)面。則刀具回轉(zhuǎn)面的軸向截形為

(12)

點(diǎn)集(R，Z)構(gòu)成刀具回轉(zhuǎn)面的軸向截形。

3 圖形仿真法原理與成形刀具廓形的獲取

根據(jù)需要構(gòu)造轉(zhuǎn)子刀具與工件實(shí)體進(jìn)行交運(yùn)算，其交集即為工件在該面域內(nèi)的截面，因此對于仿真加工出的工件實(shí)體，其工件截面的廓形即為工件截形。依據(jù)仿真和螺旋面加工原理，本文首先提出了分層銑削運(yùn)算法來獲取螺旋轉(zhuǎn)子齒面加工用成形刀具廓形，即采用分層銑削運(yùn)算法以工件反加工用的成形刀具廓形。根據(jù)螺旋面刀具的形成特點(diǎn)采用UG以布爾運(yùn)算完成成形刀具的軸向廓形的生成。分層銑削算法用到的是布爾運(yùn)算的一種差集運(yùn)算，即通過工件與刀具毛坯連續(xù)做差集運(yùn)算，把刀盤毛坯加工為成形刀具。

現(xiàn)在以SRM-A型線的陽轉(zhuǎn)子為例，基于SRM-A型線利用圖形仿真算法得到了完整的一齒的螺桿壓縮機(jī)成形刀具廓形，基本過程如下：

(1)工件造型；在UG環(huán)境下，在前視基準(zhǔn)面上，插入提供的4～6螺桿陽轉(zhuǎn)子工件端面截型的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，形成工件端面曲線和在工件端面形成陰陽轉(zhuǎn)子外圓，形狀如圖1(a)～(b)，然后在圓柱任意一個端面上根據(jù)形成的圓和相關(guān)參數(shù)形成螺旋線圖1(c)，最后根據(jù)螺旋面銑削輪廓和銑削路徑對圓柱進(jìn)行“掃描拉伸”，形成螺旋面，如圖1(d)。

圖1 陽轉(zhuǎn)子造型

(2)刀盤毛坯造型，并擺放到合適的位置；由于螺旋面工件和刀盤毛坯中心的距離為A，并且它們的軸線夾角為∑，因此先在前視基準(zhǔn)面上，以(0，A，0)為圓心，以刀盤毛坯半徑為半徑畫圓，雙向拉伸并繞螺旋面工件和刀盤毛坯之間的連線(Y軸)逆時針旋轉(zhuǎn)∑(如果螺旋面工件螺旋線方向?yàn)橛倚?，則∑為正，否則為負(fù)。)結(jié)果如圖2(a)所示。設(shè)計成形刀盤時，預(yù)設(shè)二個銑削安裝參數(shù)——中心距A和軸線夾角為∑。圖2(a)中Z軸是工件軸線，X軸是刀盤軸線，Z軸和X軸之間的最小距離即中心距A，Z軸和X軸之間的投影交角即軸線夾角為∑。然后大致設(shè)定工件實(shí)體B，刀盤柱體刀坯Bz，其厚度應(yīng)比工件齒槽的法向?qū)挾壬源?，其半徑比X軸到工件槽底的距離亦稍大，使B和Bz二個實(shí)體相互交迭如圖2(a)。

(3)布爾運(yùn)算，用工件反加工刀盤毛坯，然后獲得成形刀具面；應(yīng)用UG軟件的運(yùn)動仿真模塊的實(shí)體干涉檢驗(yàn)功能，產(chǎn)生螺旋面實(shí)體B和刀盤Bz之間的一系列干涉體 Bi(圖2(b))。很明顯，一系列Bi曲面疊加∑Bi即為屬于成形刀具面。

(4)獲取成形刀具軸向截形。成形刀具面形成后，然后用過刀盤軸線并與上視基準(zhǔn)面平行的基準(zhǔn)面與刀盤求交獲得成形刀具的軸向截形如圖2(c)。

圖2 形成陽轉(zhuǎn)子成形刀具截形

(5)利用獲取的成形刀具的軸向截型，用MATLAB提取圖形提取邊界的命令提取出成形刀具軸向截型的邊界點(diǎn)的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)，再對提取的邊界離散點(diǎn)基于樣條插值擬合光順化，再以刀盤與轉(zhuǎn)子的中心距為半徑交螺桿壓縮機(jī)成形刀具邊界線就可以得到成形刀具的完整邊界輪廓線的左右邊界點(diǎn)，最后得到了完整的一齒的成形刀具廓形，如圖3所示。

圖3 基于計算機(jī)圖形輔助設(shè)計與數(shù)值方法提取SRM-A型線的刀具輪廓線

4 成形刀具廓形設(shè)計的分析及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

基于上述的螺旋面加工原理，可以得到幾何仿真加工的得到轉(zhuǎn)子刀具廓形，然后用得到的刀具仿真加工螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子的螺旋面。在加工過程中，仿真加工出的工件螺旋面越光滑，越接近于真實(shí)加工的效果。在UG平臺上利用運(yùn)動仿真功能可實(shí)現(xiàn)這一仿真加工過程，在基于MATLAB強(qiáng)大的數(shù)值計算功能可得螺桿轉(zhuǎn)子的成形刀具廓形。將仿真加工得到的工件實(shí)際截形與其理論截形進(jìn)行對比，即可校驗(yàn)出所設(shè)計的刀具廓形是否正確。通過圖形數(shù)值法求的無密封筋與密封槽的SRM-A型線的時的刀具反切出的SRM-A齒型線與理論法求得SRM-A型線的刀具反切的SRM-A型線在兩者計算結(jié)果是一致的，如圖4所示。而在求解帶有密封筋和密封槽的SRM-A型線的轉(zhuǎn)子刀具時，解析解求得成形刀具切削轉(zhuǎn)子有過切現(xiàn)象。舉例如下，SRM-A型線的端面數(shù)據(jù)如表1，如圖5所示，可以看出用解析數(shù)學(xué)模型計算的刀具與基于圖形與數(shù)值方法計算的刀具反切轉(zhuǎn)子有差異，其中紅線是由基于圖形與數(shù)值方法計算的刀具反切加工出來的轉(zhuǎn)子和藍(lán)線是由解析法計算的的刀具反切加工出來的轉(zhuǎn)子，可以

圖4 解析法和基于計算機(jī)圖形輔助設(shè)計與數(shù)值方法刀具反切無密封筋與密封槽的SRM-A陰陽轉(zhuǎn)子

圖5 解析法和基于計算機(jī)圖形輔助設(shè)計與數(shù)值方法刀具反切帶密封筋與密封槽的SRM-A陰陽轉(zhuǎn)子

表1 SRM-A型線的刀具的設(shè)計參數(shù)

看出基于圖形與數(shù)值方法計算的刀具反切加工出來的轉(zhuǎn)子在密封筋的地方比較光滑，是無干涉的，而由解析法計算的刀具反切加工出來的轉(zhuǎn)子在密封筋的地方是有干涉的。

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，對上述方法設(shè)計的SRM-A型線的成形刀具進(jìn)行了轉(zhuǎn)子加工。

為了評定成形刀具切削的轉(zhuǎn)子的加工精度，對轉(zhuǎn)子端面進(jìn)行了測量，如圖6中D表示理論型線與加工出的型線法向誤差，從圖中可以看出陽轉(zhuǎn)子法向誤差最小為0.92 mm，由測量結(jié)果知，轉(zhuǎn)子整體加工誤差位于(-0.001 mm，+0.001 m)范圍內(nèi)。設(shè)計要求中轉(zhuǎn)子允許的加工容差為(-0.02 mm，+0.02 mm)，可見加工出的陰、陽轉(zhuǎn)子均滿足該螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子加工的精度要求。

圖6 SRM-A陽轉(zhuǎn)子實(shí)際加工與理論陽轉(zhuǎn)子的法向誤差檢測

5 結(jié)語

論文中提出了一種新的計算機(jī)圖形仿真與數(shù)值方法加工螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子成形刀具廓形的生成方法，理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文的算法不僅可以省去了復(fù)雜的螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子成形刀具接觸線公式推導(dǎo)，也為復(fù)雜螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子型面的刀具設(shè)計提供了新方法。這種方法比傳統(tǒng)包絡(luò)解析法更快速、直觀且適應(yīng)性好，主要結(jié)論如下：

(1)針對已知任意螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子型線的刀具廓形設(shè)計問題，通過對轉(zhuǎn)子型線坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換，建立了轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系與刀盤坐標(biāo)系之間的幾何映射關(guān)系，為任意型線轉(zhuǎn)子齒面刀具廓形的計算奠定了基礎(chǔ)。

(2)當(dāng)轉(zhuǎn)子型線以離散形式表達(dá)時，基于轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系與刀盤坐標(biāo)系之間的映射關(guān)系建立了轉(zhuǎn)子與刀具的數(shù)學(xué)模型，利用圖形法取代包絡(luò)條件，求解得到成形刀具廓形，可以避開求轉(zhuǎn)子廓形的法線，這種圖形數(shù)值仿真法可以解決類似的離散點(diǎn)工件廓形刀具廓形的計算問題，對于解決類似的離散問題可顯著提高計算精度。

(3)加工結(jié)果表明，本文提出的方法能夠滿足螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子的加工精度要求，是一種有效的螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子齒面成形刀具廓形設(shè)計方法，圖形仿真法在決定刀具廓形形狀或?qū)に噮?shù)進(jìn)行優(yōu)化等方面，也有獨(dú)到之處，并可推廣應(yīng)用于其他螺旋面成形刀盤或盤形刀具的廓形設(shè)計。