混沌Yang系統(tǒng)的Hopf分岔分析與控制

周六圓， 崔 巖， 趙少卿， 盧晨暉

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機械工程學(xué)院， 上海 201620)

0 引 言

混沌系統(tǒng)廣泛存在于自然科學(xué)和人文科學(xué)領(lǐng)域[1]。1963年，Lorez[2-3]混沌模型的提出，證實了在混沌系統(tǒng)中，即使很小的擾動也會導(dǎo)致巨大的無法預(yù)測的變化，并且Lorenz在演講中用著名的“蝴蝶效應(yīng)”闡述了這一理論。著名數(shù)學(xué)家Smale對結(jié)果穩(wěn)定性做了深入研究，引出了拓撲馬蹄理論，隨后混沌理論進入了蓬勃發(fā)展的時期[4]，一系列混沌模型也被研究人員發(fā)現(xiàn)，如Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)、Chua系統(tǒng)等[5—8]。近十年來，混沌系統(tǒng)設(shè)計、動力學(xué)分析、Hopf分岔、混沌控制和反控制、時滯系統(tǒng)分析等混沌研究不斷發(fā)展，很多學(xué)者從各種自然現(xiàn)象和非線性的工程實際中抽象出各類混沌系統(tǒng)，使得混沌理論學(xué)說在邁向?qū)嶋H應(yīng)用的過程中更進一步。在混沌理論應(yīng)用過程中，時滯因素的作用不可忽視，Mackey 和 Glass 首先發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象存在于時滯系統(tǒng)中[9—12]。2015年，蔡萍[13]分析非線性動力系統(tǒng)的分岔理論，豐富和完善了Hopf分岔理論；魏朝穎等[14]通過周期函數(shù)正交性方法,分析了具有離散時滯的單種群模型Hopf分支周期解問題,并由此給出了τ0在分支周期解存在的充分條件；孫觀等[15]通過對時滯類Lü系統(tǒng)的分析得出系統(tǒng)達到穩(wěn)定時的時滯參數(shù)；陳立林等[16]在原R?ssler系統(tǒng)基礎(chǔ)上增加了時滯項，運用變量延時反饋法對R?ssler混沌系統(tǒng)進行控制。

Yang系統(tǒng)是具有兩個非線性項的類Lorenz 新型混沌系統(tǒng)[17]，本文在混沌Yang系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出一種單時滯類Yang系統(tǒng)[18]，首先分析時滯系統(tǒng)的動力學(xué)特征，并結(jié)合計算得出單時滯Yang系統(tǒng)的時滯參數(shù)，明確系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的條件；然后以此為基礎(chǔ)對該系統(tǒng)采取線性狀態(tài)反饋控制，對系統(tǒng)的分岔發(fā)生時間進行提前和滯后，由此控制分岔發(fā)生的時間，擴大系統(tǒng)的應(yīng)用范圍，實現(xiàn)對該時滯系統(tǒng)的有效控制；最后用MATLAB軟件仿真驗證理論結(jié)果的正確性。

1 時滯系統(tǒng)分析

1.1 單時滯混沌Yang系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

混沌Yang系統(tǒng)描述為

其中，a，b，c均為常數(shù)，當(dāng)a=35，b=3，c=35時，混沌Yang系統(tǒng)存在混沌吸引子(圖1)。

圖1 Yang系統(tǒng)混沌吸引子圖像

在研究Yang系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題時，本文提出了一種單時滯Yang系統(tǒng)。通過對單時滯Yang系統(tǒng)的平衡點穩(wěn)定性分析和Hopf時滯分岔參數(shù)的分析研究，驗證了單時滯Yang系統(tǒng)Hopf分岔的存在性。

在Yang系統(tǒng)的第二個方程上添加時滯項，方程描述為

這里僅對平衡點E0(0,0,0)進行分析，其余平衡點分析相同。時滯系統(tǒng)在平衡點E0(0,0,0)處的線性化方程為

(3)

對應(yīng)的Jacobi矩陣為

特征方程如下：

λ3+(a+b)λ2+abλ-(acλ+abc)e-λτ=0

令p1=a+b,p2=ab,p3=ac,p4=abc,得

λ3+p1λ2+p2λ-(p3λ+p4)e-λτ=0

(1)

當(dāng)時滯參數(shù)τ=0時，有

λ3+p1λ2+(p2-p3)λ-p4=0

若特征方程所有的特征根均有復(fù)實部，根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可知，滿足p1>0,p4<0,p1(p2-p3)+p4>0,對應(yīng)參數(shù)代入式(1)可知條件滿足，時滯系統(tǒng)在平衡點處是局部漸進穩(wěn)定的。

1.2 Hopf 分岔分析

時滯參數(shù)τ>0，λ=±iω(ω>0)時，代入式(1)得

-iω3-p1ω2+p2iω(p3iω+p4)(cosωτ-i sinωτ)=0

令實數(shù)和虛數(shù)分別等于零，得

(2)

移項，平方相加：

(3)

令ω2=ξ,有

(4)

設(shè)ω0為式(3)的一個正實根，±iω0是一對純虛根,代入式(2)得

再將ω=ω0代入式(11)，可得時滯參數(shù)τ：

m=0,1,2,…

令(ω0，τn)為式(1)的解，當(dāng)τ0是該式的最小時滯參數(shù)時，得出定理1。

定理1方程的特征根為λ(τ)=α(τ)+iω(τ)，λ=±iω0是一對共軛的純虛根，使得α(τk)=0,ω(τn)=ω0。

證明對于式(1)，兩邊求導(dǎo)可得

(5)

由式(1)可得

λ3+p1λ2+p2λ=(p3λ+p4)e-λτ

(6)

式(6)代入(5)中,可得

則有

時滯參數(shù)τ=τn時，時滯方程存在特征根，特征根為iω0，代入方程得λ3+p1λ2+p2λ-(p3λ+p4)e-λτ=0， 又e-iω0τ=(cosω0τ-isinω0τ)=0，|e-ω0τ|=1，方程兩邊取絕對值：

(7)

根據(jù)命題(1)與Hopf分岔可得下面結(jié)論：

(1) 當(dāng)τ∈[0，τn)時，時滯系統(tǒng)在平衡點E0(0,0,0)處是趨向穩(wěn)定的；

(2) 當(dāng)τ=τn時，時滯系統(tǒng)在平衡點E0(0,0,0)處分岔已經(jīng)產(chǎn)生，并存在極限環(huán)；

(3) 當(dāng)τ>τn時，時滯系統(tǒng)在平衡點E0(0,0,0)的狀態(tài)不穩(wěn)定且存在較為穩(wěn)定的極限環(huán)。

1.3 數(shù)值仿真分析

Yang系統(tǒng)的參數(shù)a>0,b>0,c<0，取a=8,b=2,c=-1,此時該系統(tǒng)為

(8)

可得ω0=0.992 4，再將ω0代入到式(8)中，得τk=1.428 5，有如下結(jié)論：

(1) 當(dāng)τ∈[0，1.428 5)時，系統(tǒng)在平衡點E0(0,0,0)是逐漸穩(wěn)定狀態(tài)；

(2) 當(dāng)τ=1.428 5時，系統(tǒng)在平衡點E0(0,0,0)處產(chǎn)生分岔，并出現(xiàn)極限環(huán)；

(3) 當(dāng)τ>1.428 5+kπ時，系統(tǒng)在平衡點E0(0,0,0)不穩(wěn)定但存在較為穩(wěn)定的極限環(huán)，此時發(fā)生的為超臨界Hopf分岔。

當(dāng)時滯參數(shù)τ取不同值時，Matlab仿真得到的結(jié)論如下：

(a) 當(dāng)τ∈[0，1.428 5)時，圖2給出了當(dāng)時滯系數(shù)τ=1.400時系統(tǒng)時間序列，從圖中可以觀察到：系統(tǒng)的狀態(tài)變量x,y,z在較短的時間內(nèi)趨近平衡點，因此系統(tǒng)在平衡點E0(0,0,0)處是穩(wěn)定的，結(jié)論(1)得證。

圖2 τ=1.400時系統(tǒng)時間序列

(b) 當(dāng)τ=1.428 5時，圖3給出了系統(tǒng)時間序列和極限環(huán)，此時系統(tǒng)所經(jīng)歷的歷程與τ∈[0，1.428 5)類似，但此時該系統(tǒng)已經(jīng)產(chǎn)生極限環(huán)，結(jié)論(2)得證。

(c) 當(dāng)τ>1.428 5時，圖4給出了當(dāng)時滯系數(shù)τ=1.428 5時，系統(tǒng)的局步分岔圖，其狀態(tài)變量x,y,z隨時間t的增大而進入穩(wěn)定的震蕩，即產(chǎn)生極限環(huán)，說明系統(tǒng)在平衡點E0(0,0,0)處是不穩(wěn)定的，此時該系統(tǒng)極限環(huán)的狀態(tài)穩(wěn)定性較好，結(jié)論(3)得證。

(a) 時間系列

(b) 極限環(huán)圖3 時滯系數(shù)τ=1.428 5時系統(tǒng)時間序列和極限環(huán)

圖4為系統(tǒng)時滯參數(shù)τ的局部分岔圖，當(dāng)τ=1.428 5時，時滯系統(tǒng)到達分岔臨界點。

圖4 時滯Yang 系統(tǒng)局部分岔圖

2 分岔控制

2.1 時滯系統(tǒng)分岔控制

對于該系統(tǒng),參數(shù)取a=8，b=3，c=-1,此系統(tǒng)在τ=1.425 8處產(chǎn)生分岔。設(shè)計線性狀態(tài)反饋控制對系統(tǒng)的狀態(tài)變量進行控制，可改變其分岔狀態(tài)，并對極限環(huán)的幅值也會有一定的影響。在實際生產(chǎn)中，可采用阻尼減振器等實現(xiàn)該線性控制器的功能，對于該系統(tǒng)，可以采用線性控制k(x-p),其中k為控制參數(shù)，此處的p為對應(yīng)于平衡點處的坐標值，由于其對應(yīng)的平衡點為E0(0,0,0),因此p=0。線性控制項k(x-p)可添加在系統(tǒng)的第二個方程中，則整個系統(tǒng)可變?yōu)?/p>

(9)

將系統(tǒng)線性化得

(10)

受控系統(tǒng)的Jacobi矩陣為

則線性部分的特征矩陣為

對于該系統(tǒng)的分岔控制，若僅考慮虛根，則該系統(tǒng)的特征方程為λ2+aλ-ace-λτ-ak=0，將λ=±iω0代入該特征方程，化簡后可得如下方程組:

根據(jù)三角恒等變換可得受控系統(tǒng)的時滯參數(shù)為

在調(diào)節(jié)整個系統(tǒng)的分岔參數(shù)過程中，當(dāng)0

2.2 仿真結(jié)果

對于該受控時滯系統(tǒng)，在數(shù)值仿真計算中采用四階龍格-庫塔驗證以下結(jié)果：在控制參數(shù)k滿足取值范圍情況下，改變其值可以提前或滯后分岔的產(chǎn)生。

(1) 取k=0.75，對時滯系統(tǒng)進行控制后，該系統(tǒng)的分岔參數(shù)有所改變，圖5給出了受控時滯系統(tǒng)的分岔圖以及時間序列情況?？梢钥闯龇植睃c由原來的1.428 5提前至1.250 5，時滯參數(shù)τ=1.428 5時,原本趨近平衡點的系統(tǒng)狀態(tài)變量x,y,z也開始變得震蕩起來并逐漸遠離平衡點，同時整個分岔系統(tǒng)的幅值增加。

(a) Hopf分岔圖

(2) 取k=-0.75，由圖6可以看出分岔點由原來的1.428 5滯后到1.943 5，時滯參數(shù)τ=1.428 5時，系統(tǒng)的狀態(tài)變量x,y,z在更短的時間內(nèi)趨近于平衡點，整個分岔過程的幅值下降。

(a) Hopf分岔圖

以上仿真表明:可以添加適當(dāng)?shù)目刂破鲗r滯系統(tǒng)進行提前或滯后控制，并且該受控系統(tǒng)的整體幅值與原系統(tǒng)相比，有較大變化。

3 結(jié)束語

在對單時滯Yang系統(tǒng)的研究中，給出了時滯系統(tǒng)局部保持穩(wěn)定和出現(xiàn)Hopf分岔的充分條件，得到了時滯參數(shù)τ∈[0，1.428 5)時，系統(tǒng)在短時間內(nèi)趨于穩(wěn)定；當(dāng)τ=1.428 5時，系統(tǒng)產(chǎn)生分岔并存在較穩(wěn)定的極限環(huán)；當(dāng)τ>1.428 5時，時滯系統(tǒng)狀態(tài)不穩(wěn)定。對時滯混沌系統(tǒng)的線性反饋控制研究顯示：在適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)調(diào)節(jié)下，可以成功地將時滯系統(tǒng)分岔點提前或者滯后。通過MATLAB軟件的仿真實驗驗證了分析的正確性。