一個(gè)函數(shù)應(yīng)用“對數(shù)求導(dǎo)法”求導(dǎo)過程的探析

楊 雄 周立芬

（1.婁底職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 婁底 417000；2.邵陽縣第一高級中學(xué)，湖南 邵陽 422100）

微積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其中求導(dǎo)是微積分的主要內(nèi)容之一，并且對函數(shù)的求導(dǎo)的方法靈活多樣——定義求導(dǎo)、求導(dǎo)公式、求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和反函數(shù)求導(dǎo)等。若一個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及冪指函數(shù)或由這幾個(gè)函數(shù)組合成的結(jié)構(gòu)形式，并且函數(shù)式中又有乘、除、乘方、開方等運(yùn)算，則采用前面提到的方法求導(dǎo)，會比較困難，進(jìn)而大部分教材介紹了“對數(shù)求導(dǎo)法”。對數(shù)求導(dǎo)法是一種很方便求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法，取對數(shù)的運(yùn)算可將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及冪指函數(shù)運(yùn)算降格成為乘法運(yùn)算或除法運(yùn)算降格為加法或減法運(yùn)算，使求導(dǎo)運(yùn)算量大為減少。其采用的原理是對數(shù)運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，適用的范圍是函數(shù)由乘積形式、商的形式、根式、冪的形式、指數(shù)形式或冪指函數(shù)形式等構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)?？稍趹?yīng)用對數(shù)求導(dǎo)法時(shí)，有時(shí)忽略了對數(shù)的真數(shù)要大于零的條件，細(xì)心的同學(xué)會提出問題，對于函數(shù)的定義域范圍內(nèi)，有時(shí)函數(shù)值小于零或等零時(shí)，函數(shù)等式兩邊取對數(shù)是否合理。鑒于此，從教材的案例出發(fā)，通過分析存在的問題，提出解決問題的方法，并且探討對數(shù)求導(dǎo)法合理的構(gòu)思，最后應(yīng)用實(shí)際案例給出對數(shù)求導(dǎo)法的嚴(yán)謹(jǐn)解題過程。當(dāng)然對數(shù)求導(dǎo)法在冪指函數(shù)求導(dǎo)中應(yīng)用很廣，值得探索，可以參考其他的書籍[1]和文獻(xiàn)[2-3]，這里只探討以下案例1類型的函數(shù)求導(dǎo)過程。

1 教材中案例分析

大部分教材在求導(dǎo)章節(jié)中會有案例1的舉例，有假設(shè)x＞4的，有沒有考慮x取值范圍的[4]，也有考慮x的取值范圍的，但沒有考慮端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)[5]，教師上課時(shí)甚至說不用考慮x的取值范圍。進(jìn)而導(dǎo)致求導(dǎo)的過程不能完全說服學(xué)生，因此我們在講解求導(dǎo)的過程時(shí)要考慮自變量的取值范圍。

分析1：作出案例1函數(shù)的圖像如圖1所示，從圖像上可以看出函數(shù)的定義域是(-∞,1]∪[2,3)∪(4,+∞)，若不考慮定義域，直接求導(dǎo)，相當(dāng)于沒有考慮導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，即無定義點(diǎn)、左右導(dǎo)數(shù)存在但不相等點(diǎn)、左右導(dǎo)數(shù)至少一個(gè)不存在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是不存在的。若定義x＞4，則縮小函數(shù)的實(shí)際定義域，求出來的導(dǎo)數(shù)很難具有說服力。因此從圖1可以看出，求導(dǎo)時(shí)要分段進(jìn)行，并且要考慮端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)問題。

圖1 案例1函數(shù)的圖像

分析2：案例1利用對數(shù)求導(dǎo)的計(jì)算過程是方便快捷，并易學(xué)易懂，但是解題過程不太嚴(yán)謹(jǐn)，如x＜1時(shí)，ln(x-1)等是沒有意義的，可x＜1在原函數(shù)的定義域內(nèi)，即計(jì)算過程沒有考慮到函數(shù)的定義域及對數(shù)真數(shù)要求大于0的情況，正確的求解應(yīng)考慮定義域(-∞,1]∪[2,3)∪(4,+∞)內(nèi)部點(diǎn)及x=1和2兩個(gè)端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)問題，進(jìn)而應(yīng)該分步對此函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)。

（?。?yīng)用左右導(dǎo)數(shù)的定義判斷x=1和x=2是否可導(dǎo)，則有

所以f＇(1)不存在，同理可求x=2右導(dǎo)數(shù)不存在，進(jìn)而f＇(2)不存在。

（ⅱ）當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，原式可變?yōu)?/p>

對等式兩邊同時(shí)取自然對數(shù)和求導(dǎo)，并進(jìn)行整理，即可得（1）式。

（ⅲ）當(dāng)x∈(2,3)時(shí)，原式可變?yōu)?/p>

對等式兩邊同時(shí)取自然對數(shù)和求導(dǎo)，并進(jìn)行整理，即可得（1）式。

（ⅳ）當(dāng)x∈(4,+∞)，（1）式的求解過程即可得導(dǎo)數(shù)。

綜上可得，x∈(-∞,1)∪(2,3)∪(4,+∞)函數(shù)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為

當(dāng)x=1或x=2時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在。

2 對數(shù)求導(dǎo)法深入探討

2.1 對數(shù)求導(dǎo)法的一般步驟

2.2 對數(shù)求導(dǎo)法合理性的深入探索

對案例1是否存在方法使其在計(jì)算過程中更合理，先看y=ln||x,(x≠0)的導(dǎo)數(shù)

從上面的求導(dǎo)可知，y=ln|x|,(x≠0)與y=lnx,(x≠0)的求導(dǎo)結(jié)果是一致的，因此加絕對值對結(jié)果沒有影響，雖然結(jié)果沒有影響，但若不取絕對值，則求對數(shù)過程中，若自變量不大于0是沒有意義的。

從上面的求導(dǎo)過程可知，不管函數(shù)f(x)是否為正還是為負(fù)，加不加絕對值都對求導(dǎo)結(jié)果沒有任何影響，但從解題的嚴(yán)謹(jǐn)性看，在取對數(shù)前必須加絕對值，可取絕對值之后，問題又來了，在求解導(dǎo)數(shù)時(shí)，要去絕對值進(jìn)行討論，并且一些零點(diǎn)值要應(yīng)用左右導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行求解，這樣的求解導(dǎo)數(shù)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程，如案例1的分析過程，可發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)過程還是較復(fù)雜，那是否有辦法避免去絕對值的討論，是否有直接的方法求出零點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，進(jìn)而進(jìn)一步思考可得出下列命題。

命題1：若有函數(shù)f(x)定義域內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)定義域包括端點(diǎn)時(shí)，端點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)或右導(dǎo)數(shù)存在，且f(x)≠ 0，則

此命題可以在函數(shù)取絕對值之后取對數(shù)的求導(dǎo)過程中，避免分情況討論，進(jìn)而減少了許多計(jì)算過程，如案例1解題過程取對數(shù)時(shí)可轉(zhuǎn)化為（2）式，再由命題1進(jìn)行求解，則求解過程就嚴(yán)謹(jǐn)了。

命題2：[6]設(shè)f(x)=(x-x0)aφ(x)，其中a為常數(shù)，f(x)在x0的領(lǐng)域u(x0)內(nèi)僅有x0一個(gè)零點(diǎn)，φ(x)在u(x0)內(nèi)連續(xù)且φ(x)≠ 0，則

2.3 對“對數(shù)求導(dǎo)法”求導(dǎo)的推廣

3 對數(shù)求導(dǎo)法合理性解題過程舉例

函數(shù)乘積形式的求導(dǎo)，可以應(yīng)用積的求導(dǎo)公式進(jìn)行求解，但有些函數(shù)式，既有乘積又有冪及根式，如直接用積求導(dǎo)公式，運(yùn)算過程復(fù)雜，只宜采用對數(shù)求導(dǎo)法，實(shí)質(zhì)是通過對數(shù)運(yùn)算把積式轉(zhuǎn)化為和式，然后對和式進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而簡化了積求導(dǎo)繁雜的過程。但在求對數(shù)時(shí)一定要考慮定義域范圍內(nèi)，取對數(shù)是否有意義。

分析：這是乘積形式的求導(dǎo)，若直接應(yīng)用公式求導(dǎo)，計(jì)算量大，并且不一定能求出導(dǎo)數(shù)，先用對數(shù)計(jì)算把乘積式轉(zhuǎn)化為和式，當(dāng)然應(yīng)注意取對數(shù)前先取絕對值，因求導(dǎo)的函數(shù)可能取負(fù)值，只有取絕對值，才能保證函數(shù)定義域內(nèi)取對數(shù)時(shí)，真數(shù)中的因式大于0，對數(shù)在有意義[7]，定義域一些特殊點(diǎn)取0時(shí)，可以根據(jù)命題2進(jìn)行考慮，真數(shù)大于0的因式再根據(jù)命題1，即可完成求導(dǎo)。

4 結(jié)論

本文從案例出發(fā)，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用對數(shù)求導(dǎo)法解題過程中，若不取絕對值，解題過程不夠嚴(yán)謹(jǐn)，進(jìn)而進(jìn)行深入分析，得出對數(shù)求導(dǎo)過程中，等式兩邊取對數(shù)時(shí)是否加絕對值求導(dǎo)的結(jié)論是一致的，但解題過程中當(dāng)函數(shù)值小于0或等于0做真數(shù)是無意義的，因此取對數(shù)應(yīng)加絕對值，加絕對值后為了計(jì)算方便，進(jìn)一步得出命題1，命題1避免了真數(shù)去絕對值的討論。當(dāng)然在函數(shù)的定義域的一些特殊點(diǎn)的函數(shù)值為0，取對數(shù)做真數(shù)也無意義，一般應(yīng)用函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義來求這些特殊點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或判斷這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在，用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)，要用到極限的思想，計(jì)算量大，為計(jì)算的方便，進(jìn)而得出了命題2，可以直接判斷一些特殊點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在或直接求出這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。對數(shù)求導(dǎo)法是一種常用的求導(dǎo)方法，但在求解問題中要認(rèn)真考慮真數(shù)的取值范圍。文章最后給出實(shí)際案例，運(yùn)用對數(shù)求導(dǎo)法給出了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}過程，為教師教學(xué)和初學(xué)對數(shù)求導(dǎo)法的學(xué)生提供參考。