一類帶Kirchhoff擾動(dòng)項(xiàng)擬線性Schr?dinger方程非平凡解的存在性

李國發(fā)

（曲靖師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 曲靖 655011）

本文將研究一類如下形式的帶Kirchhoff擾動(dòng)項(xiàng)一般對偶擬線性薛定諤(Schr?dinger)方程非平凡解的存在性

其中位勢函數(shù)V∈C(?3,?)和函數(shù)g∈C1(?,?+)滿足如下條件

(V1)V(x)≥V0＞0,?x∈?3。

(V2)對任意的M＞0有meas({x∈?3:V(x)≤M})＜+∞，這里meas為?3中的Lebesgue測度。

(g1)g是偶函數(shù)，對任意的

當(dāng)b=0，方程（1）變?yōu)槿缦聰M線性Schr?dinger方程

此方程有非常豐富的物理背景，函數(shù)g的不同可以導(dǎo)出不同的物理現(xiàn)象[1，2]。當(dāng)g(t)=1時(shí)，方程（1）可以化為如下的Kirchhoff方程

從數(shù)學(xué)的角度研究以上問題具有重要的理論意義，也是目前研究的熱點(diǎn)問題，發(fā)表了許多重要結(jié)果。函數(shù)g在討論解的存在性過程中帶來了困難，人們通常需要用對偶變換技巧來克服此困難，即處理函數(shù)g，我們將此函數(shù)稱為對偶變換函數(shù)，我們在文獻(xiàn)[4]中提出了條件(g1)，有許多特殊的函數(shù)滿足條件(g1)[3]，這樣就推廣許多文獻(xiàn)中的對偶變換函數(shù)。本文將利用變分方法討論在條件(g1)之下方程駐波解的存在性，本文中我們假設(shè)非線性項(xiàng)h∈C(?,?)滿足：

(h3)0＜4H(t)≤h(t)t,?t∈?。

在如上的條件中，我們稱非線性項(xiàng)h在無窮遠(yuǎn)處滿足3-超線性增長，據(jù)我們所知，對此問題的研究結(jié)果還很少，以下是本文的結(jié)果：

定理1 假設(shè)(V1)，(V2)，(g1)，(h1)-(h3)成立，則方程（1）有一非平凡解。

注記：有許多函數(shù)滿足條件(h1)-(h3)，例如h(t)=|t|q-2t,4＜q＜6,t∈?。

本文中，我們將采用如下記號(hào)：‖u‖q(1＜q≤∞)記為Lebesgue空間Lq(?N)中的標(biāo)準(zhǔn)范數(shù)，→記為強(qiáng)收斂，on(1)是n→∞時(shí)的無窮小量，C,C0,C1,…記為正常數(shù)。

1 變分框架

我們定義如下空間

并賦予范數(shù)

由條件(V1)和(V2)可知此范數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)的空間H1(?3)的范數(shù)等價(jià)。

我們注意到方程（1）的能量泛函為

泛函I(u)可轉(zhuǎn)化為

泛函J(v)為如下方程的能量泛函

下面給出函數(shù)g的一個(gè)性質(zhì)。

引理1[4]假設(shè)(g1)成立，則對偶變換函數(shù)g(t),滿足如下性質(zhì)：

由引理1，泛函J在空間X中是良定義的，直接計(jì)算可知對所有的v,ψ∈X,J∈C1且

標(biāo)準(zhǔn)的討論可知v∈X是方程（3）的一個(gè)弱解當(dāng)且僅當(dāng)如果u∈X是泛函I的一個(gè)臨界點(diǎn)，此臨界點(diǎn)即為方程（1）的弱解，具體的討論過程可參見文獻(xiàn)[5]。

2 定理的證明

我們將利用山路定理證明定理1，首先證明泛函J滿足山路幾何，獲得(PS)c序列{vn}，其次證明(PS)c序列在X中有界，最后證明{vn}強(qiáng)收斂。

引理2 假設(shè)條件(V1)，(V2)，(g1)，(h1)和(h2)成立，則存在ρ,α＞0，使得J(v) ≥α,?v:‖v‖=ρ。

證明：由條件(h1)，(h2)，存在Cε＞ 0使得