基于虛擬相機(jī)的天線俯仰軸形變快速高精度測量方法研究

于琳琳，許 謙，王 娜

(1. 中國科學(xué)院新疆天文臺，新疆 烏魯木齊 830011；2. 中國科學(xué)院射電天文重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210033；3. 新疆射電天體物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，新疆 烏魯木齊 830011；4. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

因長期磨損和扭轉(zhuǎn)等原因而產(chǎn)生的射電望遠(yuǎn)鏡天線俯仰軸形變，雖然變化量不大，但對高精度指向產(chǎn)生的影響不可忽略。這種影響隨著天線口徑增大、觀測頻段提高、天線綜合性能要求提升而更加明顯。研究俯仰軸形位變化對提高望遠(yuǎn)鏡指向精度具有重要意義[1-2]。

國內(nèi)外學(xué)者對于大口徑、高精度天線的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)變化對性能影響的研究主要集中在大中尺度變形的測量及補(bǔ)償。如美國綠岸望遠(yuǎn)鏡(Green Bank Telescope, GBT)[3]在天線座架及副面撐腿上安裝了溫度傳感器，測量結(jié)構(gòu)受溫度影響的大小。文[4-6]考慮天線結(jié)構(gòu)陰影遮擋，對500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡(Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope, FAST)及上海天馬65 m射電望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行了熱力學(xué)仿真，分析了各類天線的溫度分布特性。意大利撒丁島射電望遠(yuǎn)鏡(Sardinia Radio Telescope, SRT)利用位置傳感器測量副反射體位姿，用于修正副面因自重、環(huán)境載荷造成的位置偏差[7-8]。上海天馬65 m射電望遠(yuǎn)鏡利用位置傳感器測量副面三維位移，并分析各種因素導(dǎo)致的大型射電望遠(yuǎn)鏡的副面位姿變化[9-10]。文[11]利用傾斜儀、熱電偶和風(fēng)速儀建立方位軸誤差和溫度梯度以及方位軸誤差和風(fēng)載傾覆力矩之間的經(jīng)驗(yàn)公式。文[12]測量了新疆南山26 m射電望遠(yuǎn)鏡的軌道高差，并分析了其對指向精度的影響。然而，對于天線重要部件的小尺度變形測量研究并不多。文[13]為RT-70 Suffa(Radio Telescope-70 Suffa)射電望遠(yuǎn)鏡俯仰軸設(shè)計(jì)了基于自準(zhǔn)直方法的角度變形測量系統(tǒng)，在22 m的測量距離和16′測量范圍內(nèi)，系統(tǒng)誤差為15′。改進(jìn)后的自準(zhǔn)直法測量系統(tǒng)的測量距離為8 m，其精度均方根(Root Mean Square, RMS)為11″[14]。但是自準(zhǔn)直法系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，安裝要求高，不易維護(hù)。

作為天線結(jié)構(gòu)的重要部件，俯仰軸因?yàn)殚L期運(yùn)行過程中的磨損和扭轉(zhuǎn)等原因，會發(fā)生小尺度形變。這將導(dǎo)致軸角編碼器獲取的俯仰角和實(shí)際值產(chǎn)生偏差，影響射電望遠(yuǎn)鏡指向精度，而且由于微小形變引起的內(nèi)部組織性能演化將加速俯仰軸疲勞?？焖俑呔葴y量俯仰軸的形變?yōu)樘炀€指向誤差修正、俯仰軸系統(tǒng)主動(dòng)維護(hù)以及制定和調(diào)整望遠(yuǎn)鏡觀測計(jì)劃提供重要支撐。

本文設(shè)計(jì)了一種單相機(jī)形變測量系統(tǒng)，建立了虛擬相機(jī)數(shù)學(xué)模型，通過快速獲取并處理靶標(biāo)圖像分析靶標(biāo)處俯仰軸形變情況，實(shí)現(xiàn)俯仰軸結(jié)構(gòu)小尺度變形的快速高精度測量，為實(shí)現(xiàn)大口徑射電望遠(yuǎn)鏡指向精度修正提供一種備選方法。

1 單相機(jī)形變測量系統(tǒng)

單相機(jī)形變測量系統(tǒng)如圖1(a)。靶標(biāo)固定在俯仰軸上，根據(jù)靶標(biāo)圖像獲取俯仰軸的形變信息。每個(gè)靶標(biāo)對應(yīng)某一俯仰角下的俯仰軸情況，例如靶標(biāo)1，2和3分別在俯仰軸30°，60°和90°時(shí)唯一出現(xiàn)在相機(jī)視野中并被拍攝圖像。本文約定分別沿著x,y和z軸正向以右手法則為俯仰角(Pitch)、偏航角(Yaw)和滾轉(zhuǎn)角(Roll)，如圖1(b)。

圖1 單相機(jī)形變測量系統(tǒng)及俯仰軸角度方向

測量原理是通過靶標(biāo)位置與參考位置對比，求解俯仰軸在不同俯仰角下的變換。首先，在俯仰軸非工作時(shí)，獲取靶標(biāo)參考位置；然后在俯仰軸正常工作時(shí)，轉(zhuǎn)到俯仰角30°時(shí)，固定在俯仰軸末端的相機(jī)快速獲取靶標(biāo)1圖像；最后，通過靶標(biāo)1的圖像集，得到俯仰角30°時(shí)俯仰軸局部的變化情況。

2 測量系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

2.1 虛擬相機(jī)

虛擬相機(jī)是將真實(shí)物體空間變換等效成真實(shí)相機(jī)空間變換的方法，特點(diǎn)是在真實(shí)相機(jī)中觀察到的物體運(yùn)動(dòng)情況與虛擬相機(jī)中原物體運(yùn)動(dòng)情況一致。虛擬相機(jī)的優(yōu)勢在于一個(gè)固定相機(jī)能夠監(jiān)測物體的小尺度六自由度運(yùn)動(dòng)情況，且虛擬相機(jī)空間變換與真實(shí)物體空間變換有定量關(guān)系。

本文假定真實(shí)模型包括初始目標(biāo)A、形變后的目標(biāo)B和真實(shí)相機(jī)O，如圖2(a)；虛擬模型包括初始目標(biāo)A、真實(shí)相機(jī)O和虛擬相機(jī)P，如圖2(b)。建立右手坐標(biāo)系，O-xOyOzO為真實(shí)相機(jī)坐標(biāo)系，也是世界坐標(biāo)系；A-xAyAzA為初始目標(biāo)坐標(biāo)系，目標(biāo)坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸與真實(shí)相機(jī)坐標(biāo)系平行；B-xByBzB為形變后的目標(biāo)坐標(biāo)系；P-xPyPzP為虛擬相機(jī)坐標(biāo)系。

假設(shè)存在一個(gè)虛擬相機(jī)P，當(dāng)俯仰軸上目標(biāo)A變化到B，虛擬相機(jī)拍攝的目標(biāo)A圖像與真實(shí)相機(jī)O拍攝的目標(biāo)B的圖像完全相同，則

(1)

成立，其中A1和B1分別為A-xAyAzA和B-xByBzB目標(biāo)上同一點(diǎn)，如圖2。

圖2 真實(shí)模型與虛擬模型。(a)真實(shí)模型；(b)虛擬模型

(2)

根據(jù)虛擬相機(jī)的概念以及(1)式和(2)式，目標(biāo)空間變換可等價(jià)為虛擬相機(jī)相對于真實(shí)相機(jī)的空間變換。

2.2 空間等價(jià)變換

由于虛擬相機(jī)的存在，若目標(biāo)A平移變換到B，則相當(dāng)于真實(shí)相機(jī)O平移到虛擬相機(jī)P，如圖3(a)。若目標(biāo)A旋轉(zhuǎn)變換到B，則相當(dāng)于真實(shí)相機(jī)O先平移到虛擬相機(jī)P，再旋轉(zhuǎn)到Q，如圖3(b)。一次空間變換，等價(jià)于若干次平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的組合迭代。

在圖3(a)中, 平移變換的關(guān)系為

(3)

在圖3(b)中，旋轉(zhuǎn)變換的關(guān)系為

圖3 目標(biāo)的平移與旋轉(zhuǎn)。(a)平移變換；(b)旋轉(zhuǎn)變換

(4)

2.3 目標(biāo)空間變換

(5)

成立。由(5)式可以得

(6)

其中，

(7)

3 虛擬相機(jī)空間變換求解

3.1 相機(jī)模型

理想相機(jī)可以看作是針孔相機(jī)，如圖4。設(shè)OC-xCyCzC為相機(jī)坐標(biāo)系，OW-xWyWzW為世界坐標(biāo)系，OUV-UV為圖像像素坐標(biāo)系。設(shè)點(diǎn)P在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xW,yW,zW)，在相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xC,yC,zC)，成像點(diǎn)P0像素坐標(biāo)為(u,v)，相機(jī)成像過程表示為

圖4 針孔相機(jī)模型

(8)

實(shí)際相機(jī)模型有多種類型畸變，但一般情況下考慮徑向畸變和切向畸變已經(jīng)足夠。

3.2 第1幀對應(yīng)虛擬相機(jī)空間變換

利用二維投影求解第1幀對應(yīng)虛擬相機(jī)空間變換[15]，如圖5。設(shè)P是三維空間中一點(diǎn)，O1和O2是真實(shí)相機(jī)光心和虛擬相機(jī)光心，空間變換為R和t，p1和p2分別是空間點(diǎn)P在兩個(gè)成像平面I1和I2上的投影，l1和l2是極線，e1和e2是極點(diǎn)。根據(jù)針孔相機(jī)模型得

圖5 參考幀和第1幀的關(guān)系

s1p1=KP,s2p2=K(RP+t) ，

(9)

其中，K為相機(jī)內(nèi)參矩陣；s1和s2為特征點(diǎn)深度。若取x1和x2是兩個(gè)像素點(diǎn)的歸一化平面坐標(biāo)，得到

x2TEx1=p2TFp1=0 ，

(10)

其中，x1=K-1p1,x2=K-1p2；F為基礎(chǔ)矩陣；E為本質(zhì)矩陣。分解E或F可求R和t，若多對空間點(diǎn)都落在同一平面內(nèi)，則通過單應(yīng)矩陣H求R和t。

3.3 其余幀對應(yīng)虛擬相機(jī)空間變換

利用三角測量法公式

s2x2=s1Rx1+t

(11)

得到空間點(diǎn)的深度信息。

從第2幀起，相鄰幀間的關(guān)系如圖6(a)，Ok-1和Ik-1是前一幀對應(yīng)虛擬相機(jī)的光心和圖像；Ok和Ik是當(dāng)前幀對應(yīng)虛擬相機(jī)的光心和圖像；P1，P2和P3是空間點(diǎn)；p1，p2和p3，以及p1′，p2′和p3′是投影點(diǎn)。

根據(jù)多個(gè)空間點(diǎn)三維信息和相鄰幀間的關(guān)系，借助P3P(Perspective-3-Points)[16]求解其余幀對應(yīng)虛擬相機(jī)空間變換，如圖6(b)。空間點(diǎn)A,B和C分別對應(yīng)圖像投影點(diǎn)a,b和c，幾何關(guān)系表示為

圖6 其余幀虛擬相機(jī)空間變換。(a)相鄰幀的關(guān)系；(b)P3P

(12)

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

本文搭建光學(xué)測試平臺，驗(yàn)證虛擬相機(jī)數(shù)學(xué)模型中的空間等價(jià)變換，并分析當(dāng)前測試系統(tǒng)下每個(gè)自由度的測量誤差。

4.1 光學(xué)測試平臺

測試系統(tǒng)主要有空間高精度平臺、定焦鏡頭、相機(jī)和標(biāo)定板等組成，如圖7和表1。

圖7 光學(xué)測試平臺

表1 光學(xué)測試平臺主要組成和具體參數(shù)

4.2 結(jié)果分析

本次結(jié)果分析將圖像解算的空間變換數(shù)據(jù)作為測量值，將高精度四自由度平臺數(shù)據(jù)作為真實(shí)值，將測量值與真實(shí)值的差作為誤差，分析各自由度誤差情況。

由于結(jié)構(gòu)為小變形量，本次實(shí)驗(yàn)平移分量的實(shí)驗(yàn)條件是x，y和z方向的變化范圍分別為-4～5 mm，-2～2 mm和-3～3 mm。由圖8和表2可知，平移分量中，x軸方向最大誤差為-0.360 2 mm，均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)為0.179 5 mm；y軸方向最大誤差為0.391 4 mm，均方根誤差為0.135 5 mm；z軸方向最大誤差為-0.393 7 mm，均方根誤差為0.171 0 mm。

圖8 平移分量實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差分布圖，誤差折線反映15幀圖像的空間變換在各軸(x, y和z軸)分量測量值與真實(shí)值的差值變化。(a)x軸平移分量；(b)y軸平移分量；(c)z軸平移分量

表2 平移分量精度分析

在旋轉(zhuǎn)分量的實(shí)驗(yàn)條件為俯仰角和滾轉(zhuǎn)角方向?yàn)?，偏航角方向的變化范圍為-5～5°。由圖9和表3可知，旋轉(zhuǎn)分量中，俯仰角方向最大誤差為0.074 5°，均方根誤差為0.037 6°；偏航角方向最大誤差為0.613 8°，均方根誤差為0.267 6°；滾轉(zhuǎn)角方向最大誤差為0.613 1°，均方根誤差為0.291 8°。

圖9 旋轉(zhuǎn)分量實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差分布圖，誤差折線反映15幀圖像的空間變換的各角(俯仰角、偏航角和滾轉(zhuǎn)角)分量測量值與真實(shí)值的差值變化。(a)俯仰角旋轉(zhuǎn)分量；(b)偏航角旋轉(zhuǎn)分量；(c)滾轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)分量

表3 旋轉(zhuǎn)分量精度分析

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種單相機(jī)俯仰軸形變測量系統(tǒng)，建立了虛擬相機(jī)數(shù)學(xué)模型，提出了一種基于虛擬相機(jī)的俯仰軸形變測量方法，并搭建了光學(xué)測試平臺對所提方法和主要原理進(jìn)行驗(yàn)證，分析了六自由度誤差情況。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，平移分量中，x方向-4～5 mm內(nèi)均方根誤差為0.179 5 mm，y方向-2～2 mm內(nèi)均方根誤差為0.135 5 mm，z方向-3～3 mm內(nèi)均方根誤差為0.171 0 mm；旋轉(zhuǎn)分量中，偏航角方向在俯仰軸旋轉(zhuǎn)-5～5°內(nèi)均方根誤差為0.267 6°，俯仰角方向和滾轉(zhuǎn)角方向在0°處均方根誤差分別為0.037 6°與0.291 8°。誤差主要由相機(jī)坐標(biāo)軸與靶標(biāo)坐標(biāo)軸不完全平行和圖像解算方法等因素引起。

該系統(tǒng)及方法具有非接觸、精度高、速度快等優(yōu)點(diǎn)，能滿足大口徑、高頻段、高精度射電望遠(yuǎn)鏡俯仰軸長期快速測量的需求，也適用于其他大結(jié)構(gòu)的小變形測量。