基于概率密度函數(shù)的加權變換在能譜測量中的應用

張斯龍，何世熠，陳 亮?，高潤龍，趙 括，歐陽曉平,，周建斌，李 洋

(1. 湘潭大學，湖南湘潭 411105；2. 西北核技術研究所，西安 710024；3. 西安交通大學，西安 710049；4. 火箭軍工程大學，西安 710025；5. 成都理工大學，成都 610059；6. 南京航空航天大學，南京 210016)

能譜測量是研究輻射場性質及攜帶信息的重要手段，廣泛應用于核素識別、核反應診斷和暗物質探測等領域[1-3]。不同的測量目標對能譜測量精度均提出了極高的要求，其中，能量分辨率作為衡量系統(tǒng)精度的直接參數(shù)，在能譜測量中有重要意義。如，火星γ射線能譜由多個峰組成，形成原因十分復雜，為觀察峰的特征并鑒別峰的來源，探測系統(tǒng)的能量分辨率需達到2.8 keV，才能識別334種宇宙射線成分[4]。

為提升探測系統(tǒng)的能量分辨率，自20世紀50年代以來，國內(nèi)外開展了大量的研究工作。一方面是使用新型探測器或改變探測器材料種類以提升探測器性能[5-6]，另一方面是不斷優(yōu)化電子學系統(tǒng)[7-8]。當探測器的本征分辨率及硬件改進達到物理瓶頸后，通過優(yōu)化數(shù)據(jù)處理軟件或算法來提升能量分辨效果成為一個新的重要方向?，F(xiàn)階段，得益于計算機及核電子技術的快速發(fā)展，在多種軟硬件結合的條件下，用于能譜測量的信號處理算法得到了快速發(fā)展和更新。 Meng等[9]、Abbene等[10-11]和李京倫等[12]利用反卷積技術，基于不同探測器的響應函數(shù)模型和不同濾波器的本征噪聲模型等先驗信息進行軟件設計，并通過高速ADC，F(xiàn)PGA，ARM等硬件實現(xiàn)了前端脈沖信號采集和整個數(shù)字化系統(tǒng)的控制處理，具有較強的信號先驗要求。周建斌等[13]和洪旭等[14]利用數(shù)字梯形濾波成形技術，通過確定數(shù)字梯形濾波成形的時間常數(shù)，消除了脈沖重疊時間，并減少了系統(tǒng)的死時間，提高了系統(tǒng)的有效計數(shù)率。在實測55Fe時，使用512點三角成形，結合特定的數(shù)字化系統(tǒng)能使5.9 KeV處全能峰的分辨率達156 eV。為進一步凸顯峰的信息，提高分辨率， Jordanov等[15-18]研究了一種新的能譜處理算法—種子局部平均(seeded localized averaging，SLA)算法，通過給定的半窗口長度和堆棧額度 2個參數(shù)對信號進行預采集，并記錄在預采集區(qū)；當以首信號為“種子”的窗口內(nèi)信號總數(shù)等于或大于堆棧額度時，得到多信號的平均道址及總計數(shù)；將預采集區(qū)窗口內(nèi)的計數(shù)清零后，在信息存儲區(qū)找到平均道址并增加計數(shù)，增加的計數(shù)值為預采集總計數(shù)與堆棧額度之比。與傳統(tǒng)的反卷積及梯形數(shù)字濾波成形技術相比，該算法的優(yōu)點為無需提供探測系統(tǒng)的先驗信息，能更普遍地適應多種系統(tǒng)，具有較高的實時采集處理效率。然而，該算法在不對稱峰篩選、臨近雙峰分辨和參數(shù)預設等方面仍存在不足，無法處理不對稱分布和鄰近雙峰會出現(xiàn)虛峰及重合峰等異?，F(xiàn)象，處理前預設處理參數(shù)的隨機性較強。

本文基于SLA算法，提出了一種基于概率密度函數(shù)迭代的加權平均變換(weighted average transform， WAT)算法。由于加權系數(shù)可調(diào)，SLA算法是WAT算法中加權系數(shù)相等的特殊形式。在隨機輸入信號的累積計算處理過程中引入均值不等式的數(shù)學思想方法，設置多個參數(shù)的變換過程，對形成原始分布的核脈沖信號進行迭代以獲得最小半高寬。本文基于仿真結果對WAT算法理論模型進行了分析和驗證。驗證結果表明，WAT算法不僅能解決SLA算法在不對稱峰、雙峰及參數(shù)協(xié)調(diào)等方面的問題，同時對系統(tǒng)要求不高，具有一定的普適性，也保持了系統(tǒng)設計的靈活性。

1 WAT算法的處理過程

(1)

其中：h為以p為自變量的遞增函數(shù)。當p取某些特殊值時，h具有不同的平均意義，包括以xi為系數(shù)的yi的算數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)及極值等。h可表示為

(2)

(3)

輸出后，以k(2)為中心的整個區(qū)間計數(shù)歸零，繼續(xù)等待下次信號輸入。圖1為基于式(1)-式(3)，當r=3,n=4，α1=0.4，α2=0.3，α3=0.2，α4=0.1時，算法的執(zhí)行和實現(xiàn)情況。其中：圖1(a)為第一步接收到首信號會記下該信號的順序、道址和信號個數(shù)；圖1(b)為第二步以接收到信號的道址為基礎,在半窗口r的范圍內(nèi)搜索是否存在種子信號，如存在，則迭代計算，如不存在，則同樣將其認定為首信號；圖1(c)為第三步，與第二步過程相同；圖1(d)為第四步展示信號個數(shù)達到堆棧額度后最終輸出。SLA算法，即αk=1/n(k=1, 2, …，n)，此時，由于通道的計數(shù)可大于1，n個參數(shù)αk并未完全使用。因此，這些系數(shù)并不是平權的，下標越大則系數(shù)的重要性越弱。

(4)

由式(4)可知： (1)通過WAT算法得到的新隨機變量的概率密度分布和累積分布函數(shù)與輸入直接相關； (2)WAT算法不改變分布的均值； (3)無論系數(shù)怎樣設置，新分布的方差均小于原始方差； (4)WAT 算法不改變分布的對稱性，如分布函數(shù)f(X)滿足關于均值μ對稱，則新分布同樣關于均值μ對稱。WAT算法最直接的效果是降低了分布方差，提升了能量分辨率。

2 基于WAT算法的模擬實驗結果

基于上述模型，利用Matlab軟件模擬Si-PIN半導體探測器對α粒子的能譜測量仿真實驗。為驗證WAT算法的有效性，在模擬測量中采用了多種不同形態(tài)的信號輸入。求解某次實測γ信號，分別以左右對稱的高斯分布、峰位偏移的對數(shù)高斯分布和峰位可調(diào)的多峰分布為輸入隨機變量的分布函數(shù)，研究了WAT的處理效果，并與SLA算法進行了對比。

對以單峰高斯分布為代表的對稱分布，WAT算法與SLA算法在處理效果上基本一致，以分布均值為代表的峰的位置不變，但峰的半高寬變小。這是因為半高寬與分布標準偏差正相關，峰與橫坐標形成的峰型面積則縮小至原面積的1/n。SLA算法對分布標準偏差的作用介于變量最小值和算術平均值之間，WAT算法能兼容SLA算法，在數(shù)據(jù)選取方面比SLA算法更靈活。

圖2為r=120，n=32時，WAT和SAL算法處理對稱單峰的結果。

由圖2可見，輸入波形的峰位和標準偏差分別為1 024和10，經(jīng)WAT算法處理后分別為1 024和5.33。此時，ki為32/528，31/528，…，1/528。取ki相等時，均為1/32，此時對稱單峰的標準偏差將進一步減小至5。經(jīng)WAT算法處理后，信號的峰位未發(fā)生漂移，半高寬減小，分辨率被明顯優(yōu)化，能譜峰與橫坐標形成的峰型按比例降低。因此WAT算法效果明顯。推廣到更一般情況，圖3為對稱單峰在不同的r和n的組合下得到波形的標準偏差，每組給定的系數(shù)均為1/n。

由圖3可見，當半窗口長度r一定時，隨著堆棧額度n的增加，處理后的標準偏差不斷降低，但降低速度變緩，增加n的取值帶來的“收益”逐漸減??；當堆棧額度n一定時，隨著半窗口長度r的增加，標準偏差同樣不斷降低，但是降低速度先快后慢。由此，考慮到最終信號的統(tǒng)計性和計算量的影響，參數(shù)r和n的選擇存在最優(yōu)解。

具有雙對稱峰分布特點的能譜在測量中非常常見。在模擬實驗中，利用Matlab的內(nèi)嵌函數(shù)生成雙峰，峰位道址分別設定為900和1 200(標準偏差為10)，間距300道址。圖4為WAT和SLA算法處理對稱雙峰的結果。

由圖4可見，當r=160，n=30，權重參數(shù)為32/528，31/528，…，1/528時，得到的計數(shù)波形有2個峰，且峰位不變,標準偏差降至5.9，谷峰比η(2峰之間最低點視為谷底，谷峰比為谷底與峰位之間的比值)為0.045。對于不同的r,n及權重參數(shù)組合，得到的谷峰比也不同，甚至會出現(xiàn)中部虛峰及重合峰等問題，峰位也將出現(xiàn)少量偏移。因此，針對雙峰需在模擬前或模擬過程中對峰位、面積比和半高寬等參數(shù)進行調(diào)整。

圖5為不同n條件下，輸出波形谷峰比隨r的變化關系，圖5中的水平線即為初始比例。由圖5可見，當r<50時，谷峰比變化并不顯著，WAT算法并沒有起到優(yōu)化作用；當r大于峰間距的一半時，谷峰比將超過原始比例，甚至超過1；在r=140附近，曲線出現(xiàn)了極小值，此時谷峰比有了明顯的優(yōu)化，甚至出現(xiàn)2個獨立峰的情況。針對不同的初始情況，對參數(shù)的優(yōu)化是必須的。

WAT算法對不對稱的單峰 同樣具有一定的調(diào)節(jié)能力。圖6為當輸入波形為對數(shù)高斯分布(μ=926，σ2=741)時，不同參數(shù)組合條件下的輸出波形。由圖6(a)可見：WAT算法處理后的輸出結果中，峰的分布發(fā)生了變化，峰位的計數(shù)明顯增加，峰更加突出；峰位從926變?yōu)榱?27，偏移率為0.1%；峰的寬度變小，半高寬從741減小為435；未出現(xiàn)虛峰及重合峰等異?，F(xiàn)象。由圖6(b)可見：當參數(shù)權重全等(即SLA算法)時，調(diào)整r將出現(xiàn)2種不同的輸出波形；當r較小時，輸出波形與原波形基本一致，SLA算法效果不明顯；當r較大時，在主峰的下降沿處將出現(xiàn)一個虛峰。

綜合3種情況，對不同形狀的輸入峰，不同算法對應的最佳參數(shù)是不同的。同時，在實際測量中會面臨由不同形態(tài)峰的混合能譜。在復雜輸入條件下，需根據(jù)先驗信息優(yōu)化參數(shù)。在記錄過程中對參數(shù)進行迭代，使算法具有“學習”的功能，也會提高算法的適應性。

圖7為WAT算法及SLA算法針對4種輸入分布疊加時的輸出波形。

由圖7可見，從左往右，第1部分為σ2=160的對稱單峰；第2部分為峰位高度比為2:1的雙峰，峰位間距為200道；第3部分為不對稱峰，符合對數(shù)高斯分布(μ=926，σ2=741)；第4部分為等高雙峰，峰位間距為300道。算法設定的參數(shù)均為r=160，n=32。對于多峰的復雜輸入，WAT算法能達到不引入虛峰、降低半高寬、增強尋峰能力、提高分辨率和降低信噪比的目的。與SLA算法相比，WAT算法更具靈活性和普適性。

3 結論

本文提出了一種概率密度函數(shù)加權平均變化(WAT)算法。首先對理論數(shù)學模型進行了論述，然后基于仿真，驗證了WAT算法對高斯分布、多峰分布和對數(shù)高斯分布等函數(shù)信號輸入時的有效性，探索了算法優(yōu)化的可能。研究結果表明：WAT是SLA算法的推廣，對原始輸入分布具有更好的適應性；WAT算法解決了雙峰輸入時出現(xiàn)的虛峰及重合峰等問題，同時減小了輸出分布中各峰的半高寬，提高了輸出波形的谷峰比，具有一定的降噪作用；對非對稱峰，WAT算法同樣能實現(xiàn)突出峰、保持峰位和減小半高寬的功能；采用概率密度函數(shù)對隨機輸入的核脈沖信號所形成的能譜建立數(shù)學模型，通過對符合分布的隨機信號的累加進行計算處理，能減小新生成分布的方差。本文的工作可為提升能量分辨率算法研究提供參考。