融合隨機(jī)反向?qū)W習(xí)的黏菌與算術(shù)混合優(yōu)化算法

賈鶴鳴，劉宇翔，劉慶鑫，王 爽，鄭 榮

1.三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明365004

2.福州大學(xué) 物理與信息工程學(xué)院，福州350108

3.海南大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，?？?70228

隨著科技的不斷創(chuàng)新發(fā)展，近年來不同領(lǐng)域的工程問題產(chǎn)生了諸多優(yōu)化求解的需求，而如牛頓法、梯度下降法等傳統(tǒng)優(yōu)化方法已經(jīng)無法滿足實(shí)際需求。因此，通過模仿生物或物理現(xiàn)象而提出的元啟發(fā)式算法不斷涌現(xiàn)，元啟發(fā)式算法概念和框架簡(jiǎn)單，無需梯度更新信息，常見的算法有：粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization，PSO）、樽海鞘群優(yōu)化算法（salp swarm algorithm,SSA）、黏菌優(yōu)化算法（slime mould algorithm，SMA）、算術(shù)優(yōu)化算法（arithmetic optimization algorithm，AOA）、灰狼優(yōu)化算法（grey wolf optimization，GWO）、鯨魚優(yōu)化算法（whale optimization algorithm，WOA）、哈里斯鷹優(yōu)化算法（Harris hawks optimization，HHO）等，但無免費(fèi)午餐（no-free-lunch，NFL）理論證明不存在一種優(yōu)化算法能解決所有的工程問題，每種已存在的優(yōu)化算法都存在其優(yōu)勢(shì)與不足。因此，基于混合模式和融合改進(jìn)策略對(duì)傳統(tǒng)優(yōu)化算法進(jìn)行升級(jí)是迫切且必要的。

SMA 是由Li 等人于2020 年提出的一種模擬黏菌在覓食過程中的行為和形態(tài)變化的新型群體智能優(yōu)化算法，其靈感啟發(fā)來源于模擬多頭絨泡菌的覓食行為和形態(tài)變化，利用權(quán)值的變化模擬覓食過程中黏菌本體產(chǎn)生的正反饋和負(fù)反饋過程，進(jìn)而產(chǎn)生三種階段覓食形態(tài)。該算法具有一定的收斂精度和較好的穩(wěn)定性，因此已被廣泛應(yīng)用于優(yōu)化應(yīng)用領(lǐng)域。Kouadri 等人提出利用SMA 優(yōu)化算法研究?jī)?yōu)化潮流控制變量，以此探索發(fā)電機(jī)燃油成本和損耗最小化的問題。Zhao 等人提出將SMA 與HHO 算法相混合，利用多復(fù)合選擇機(jī)制提高算法的選擇性和隨機(jī)性，提高個(gè)體位置更新的隨機(jī)性和算法求解的效率。Sun 等人提出融合布朗運(yùn)動(dòng)和錦標(biāo)賽機(jī)制對(duì)傳統(tǒng)SMA 策略進(jìn)行改進(jìn)，并且結(jié)合自適應(yīng)爬山法進(jìn)一步提升了算法的搜索進(jìn)度。上述改進(jìn)策略在不同程度上提高了原算法的尋優(yōu)性能，但上述文獻(xiàn)多為復(fù)合策略的疊加或兩種混合算法的簡(jiǎn)單結(jié)合，未考慮改進(jìn)策略并結(jié)合混合模式來提高SMA 的算法性能。AOA 算法是在2021 年由Abualigah 等人提出的基于四則混合運(yùn)算思想設(shè)計(jì)的元啟發(fā)式優(yōu)化算法，該算法利用數(shù)學(xué)中的乘除運(yùn)算提高位置更新的全局分散性，利用加減運(yùn)算提高位置更新在局部區(qū)域的精確性，由于該算法提出的時(shí)間較短，需對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)和完善，以適應(yīng)更多領(lǐng)域工程問題的優(yōu)化求解。

本文基于SMA 和AOA 的優(yōu)勢(shì)和不足，將兩種算法結(jié)合，同時(shí)引入隨機(jī)反向?qū)W習(xí)策略，提出了一種性能優(yōu)越的黏菌與算術(shù)混合優(yōu)化算法。該混合算法結(jié)合了SMA 與AOA 的尋優(yōu)特性，有效增強(qiáng)了算法的尋優(yōu)性能和避免局部最優(yōu)能力，提升了收斂速度與收斂精度，并通過標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和工程問題的測(cè)試驗(yàn)證了所提混合算法的有效性和工程適用性。

1 黏菌優(yōu)化算法

黏菌優(yōu)化算法是根據(jù)黏菌的覓食行為得到的一種優(yōu)化算法。黏菌在覓食過程中發(fā)現(xiàn)食物時(shí)，會(huì)有振蕩收縮的特性。同時(shí)，在多個(gè)食物源之間會(huì)形成粗細(xì)不一的靜脈網(wǎng)絡(luò)，并且靜脈網(wǎng)絡(luò)的粗細(xì)與食物源的質(zhì)量有關(guān)。此外，黏菌在獲取食物源時(shí)，仍會(huì)有一定的概率對(duì)未知區(qū)域進(jìn)行搜索。

黏菌根據(jù)空氣中的氣味接近食物，靜脈接觸到的食物濃度越高，內(nèi)部生物振蕩器產(chǎn)生的波越強(qiáng)，細(xì)胞質(zhì)流動(dòng)得越快，靜脈越粗，其位置更新公式為：

其中，為0 到1 之間的隨機(jī)數(shù)，X()表示目前適應(yīng)度最優(yōu)的個(gè)體位置，()與()為兩個(gè)隨機(jī)個(gè)體位置，為[-,]之間的隨機(jī)數(shù)，是從1 到0 線性遞減的參數(shù)，代表黏菌的權(quán)重系數(shù)，代表當(dāng)前迭代次數(shù)。

控制參數(shù)、參數(shù)與權(quán)重系數(shù)的更新公式如下：

其中，參數(shù)根據(jù)當(dāng)前個(gè)體適應(yīng)度值和最優(yōu)值進(jìn)行計(jì)算，∈1,2,…,，為種群規(guī)模，()代表當(dāng)前個(gè)體適應(yīng)度值，為當(dāng)前取得的最佳適應(yīng)度值。為均勻分布于0 到1 之間的隨機(jī)數(shù)，是最大迭代次數(shù)。condition 表示種群中適應(yīng)度排在前一半個(gè)體，others 表示剩下的個(gè)體，代表當(dāng)前迭代獲取的最佳適應(yīng)度值，代表當(dāng)前迭代最差適應(yīng)度值。()為適應(yīng)度值序列（求極小值問題為遞增序列）。

盡管黏菌找到了更好的食物源，它們?nèi)詴?huì)分離部分個(gè)體探索其他領(lǐng)域試圖尋找更高質(zhì)量的食物源。因此SMA 整體更新位置的公式為：

式中，與為上下界；為均勻分布在0 到1之間的隨機(jī)數(shù)；代表值為0.03 的常量。

2 算術(shù)優(yōu)化算法

算術(shù)優(yōu)化算法是一種根據(jù)算術(shù)操作符的分布特性來實(shí)現(xiàn)全局尋優(yōu)的元啟發(fā)式優(yōu)化算法。算法分為三部分，通過數(shù)學(xué)優(yōu)化器加速函數(shù)選擇優(yōu)化策略，乘法策略與除法策略進(jìn)行全局搜索，提高解的分散性，增強(qiáng)算法的全局尋優(yōu)與克服早熟收斂能力，實(shí)現(xiàn)全局探索尋優(yōu)。開發(fā)階段利用加法策略與減法策略降低解的分散性，有利于種群在局部范圍內(nèi)充分開發(fā)，加強(qiáng)算法的局部尋優(yōu)能力。

2.1 數(shù)學(xué)優(yōu)化器加速函數(shù)

AOA 通過數(shù)學(xué)優(yōu)化器加速函數(shù)（math optimizer accelerated，MOA）選擇搜索階段，當(dāng)＞時(shí)，AOA 進(jìn)行全局探索；當(dāng)＜時(shí)，AOA 進(jìn)入局部開發(fā)階段。

其中，代表0 到1 之間的隨機(jī)數(shù)，與分別是加速函數(shù)的最小值和最大值，為0.2 和1.0。

2.2 探索階段

AOA 通過乘法運(yùn)算與除法運(yùn)算實(shí)現(xiàn)全局搜索，當(dāng)＜0.5 時(shí)，執(zhí)行除法搜索策略；當(dāng)＞0.5 時(shí)，執(zhí)行乘法搜索策略，其位置更新公式如下：

其中，∈[0,1]，是調(diào)整搜索過程的控制參數(shù)，值為0.499，為極小值，數(shù)學(xué)優(yōu)化器概率（math optimizer probability，MOP）曲線如圖1 所示，計(jì)算公式如下：

圖1 數(shù)學(xué)優(yōu)化器概率曲線圖Fig.1 Curve of math optimizer probability

式中，是敏感參數(shù)，定義了迭代過程中的局部開發(fā)精度，取值為5。

2.3 開發(fā)階段

AOA 利用加法運(yùn)算與減法運(yùn)算實(shí)現(xiàn)局部開發(fā)，位置更新公式如下：

其中，為0 到1 之間的隨機(jī)數(shù)。

3 隨機(jī)反向?qū)W習(xí)策略

反向?qū)W習(xí)策略（opposition-based learning，OBL）是Tizhoosh于2005 年提出的群智能領(lǐng)域中的一種改進(jìn)策略，其思想是：在種群尋優(yōu)的過程中，根據(jù)當(dāng)前解產(chǎn)生一個(gè)反向解，比較當(dāng)前解與反向解的目標(biāo)函數(shù)值，擇優(yōu)進(jìn)入下一次迭代。

反向解定義：存在維坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，同時(shí)滿足∈[,]，則反向解計(jì)算公式如下：

由于反向?qū)W習(xí)策略生成的反向解與當(dāng)前解距離為一定值，缺乏隨機(jī)性，無法有效增強(qiáng)搜索空間內(nèi)種群多樣性。因此，Long 等人提出了改進(jìn)的隨機(jī)反向?qū)W習(xí)策略（random opposition-based learning，ROBL），進(jìn)一步增強(qiáng)種群多樣性，提高種群避免局部最優(yōu)的能力（如圖2），計(jì)算公式如下：

圖2 任意解與它的隨機(jī)反向解Fig.2 Arbitrary solution and its randomly opposite solution

4 融合隨機(jī)反向?qū)W習(xí)策略的黏菌與算術(shù)混合優(yōu)化算法

4.1 改進(jìn)混合算法理論分析

如前所述，SMA 會(huì)根據(jù)適應(yīng)度值調(diào)整不同的搜索模式，適應(yīng)度較差的黏菌進(jìn)行全局搜索，和的協(xié)同作用也使黏菌不止向最優(yōu)位置收縮，同時(shí)會(huì)分離出一部分有機(jī)物向其他領(lǐng)域探索，并且的振蕩作用也增加了全局探索的可能性。此外，當(dāng)隨機(jī)數(shù)小于時(shí)，黏菌進(jìn)行隨機(jī)初始化。因此，SMA 的多重探索機(jī)制使該算法具有強(qiáng)大的全局尋優(yōu)能力。但在迭代后期，的振蕩作用大幅減弱，使算法不能有效跳出局部最優(yōu)，且SMA 利用參數(shù)實(shí)現(xiàn)收縮機(jī)制，為1 到0 線性遞減的參數(shù)，用于描述黏菌與檢測(cè)到的食物濃度的反饋關(guān)系，但這種機(jī)制較薄弱，容易陷入局部最優(yōu)。AOA 借助乘除算子帶來的高分布性實(shí)現(xiàn)位置更新，隨迭代次數(shù)的增加從0.7 線性遞減至0，并且遞減幅度逐漸減小，能夠針對(duì)最優(yōu)位置進(jìn)行放縮，提高后期尋優(yōu)隨機(jī)性，提高黏菌算法避免局部最優(yōu)能力。因此，本文將SMA 和AOA 進(jìn)行了有機(jī)融合，提出一種新的混合算法（hybrid algorithm of slime mould algorithm and arithmetic optimization algorithm based on random opposition-based learning，HSMAAOA）?；旌纤惴ǚ謩e保留了SMA 與AOA 的優(yōu)勢(shì)特性，首先保留了SMA 根據(jù)值進(jìn)行隨機(jī)初始化的部分，當(dāng)＜時(shí)，黏菌分離出部分個(gè)體探索其他食物源，隨后根據(jù)隨機(jī)數(shù)與值選擇黏菌的位置更新方式，當(dāng)＜時(shí)，通過式（6）進(jìn)行位置更新，否則通過乘除算子（式（8））進(jìn)行位置更新。最后利用ROBL 策略產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)反向位置，使用貪婪策略選出表現(xiàn)最優(yōu)的個(gè)體進(jìn)入下一次迭代，引導(dǎo)黏菌更好地向最優(yōu)個(gè)體位置進(jìn)化，增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力，使得算法獲得更好的收斂速度。綜上所述，HSMAAOA 偽代碼如下，具體實(shí)現(xiàn)流程如圖3 所示。

圖3 HSMAAOA 算法流程Fig.3 Flowchart of HSMAAOA

4.2 運(yùn)算復(fù)雜度分析

HSMAAOA 算法主要由種群初始化、種群位置更新以及隨機(jī)反向解組成，假設(shè)種群規(guī)模、維度、最大迭代次數(shù)，則HSMAAOA 初始階段時(shí)間復(fù)雜度為(×)，計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度為()，迭代過程中利用SMA 全局探索與AOA 乘除算子進(jìn)行位置更新，并通過ROBL生成隨機(jī)反向解，復(fù)雜度為(2×××)，更新最優(yōu)解的時(shí)間復(fù)雜度為(1) 。綜上所述，HSMAAOA 運(yùn)算復(fù)雜度為(2×××)。

5 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

本文實(shí)驗(yàn)環(huán)境采用IntelCorei7-4720HQ CPU，主頻為2.60 GHz，內(nèi)存12 GB，操作系統(tǒng)為64 位Windows10的電腦。編程語(yǔ)言為Matlab，版本R2020b。使用23 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)HSMAAOA 進(jìn)行性能測(cè)試。在這些測(cè)試函數(shù)中，1～7 為單峰測(cè)試函數(shù)，只有一個(gè)全局最優(yōu)解，用于檢驗(yàn)算法的局部開發(fā)能力與收斂速度。8～13 為多峰測(cè)試函數(shù)，具有多個(gè)局部最優(yōu)值和一個(gè)全局最優(yōu)值，可驗(yàn)證算法的全局搜索能力與跳出局部最優(yōu)的能力。14～23 是固定維多峰測(cè)試函數(shù)，檢驗(yàn)算法平衡探索與開發(fā)能力之間的性能。利用三種不同類型的測(cè)試函數(shù)，可充分驗(yàn)證算法的尋優(yōu)性能。

5.1 對(duì)比算法與參數(shù)設(shè)置

為了更好地驗(yàn)證HSMAAOA 算法性能，選取了7種算法進(jìn)行對(duì)比：SMA、AOA、HHO、WOA、SSA、GWO 和PSO。這些算法被證實(shí)具有良好的尋優(yōu)性能。為了更準(zhǔn)確地驗(yàn)證所提算法與對(duì)比算法的優(yōu)劣性，設(shè)定種群規(guī)模=30，空間維度=30，最大迭代次數(shù)500 次，各算法獨(dú)立運(yùn)行30 次，算法中相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表1 所示。選取平均值、標(biāo)準(zhǔn)差與Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。其中，平均值和標(biāo)準(zhǔn)差越小，則證明算法的性能越佳。

表1 各算法參數(shù)設(shè)置Table 1 Setting of each algorithm parameters

5.2 求解精度分析

HSMAAOA 及其對(duì)比算法的適應(yīng)度平均值與標(biāo)準(zhǔn)差見表2，Mean 代表平均適應(yīng)度值，Std 為標(biāo)準(zhǔn)差，加粗的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為最佳結(jié)果。在求解1～7 單峰測(cè)試函數(shù)中，HSMAAOA 能夠在1～4 測(cè)試中達(dá)到理論最優(yōu)值，方差最小。對(duì)于5，HSMAAOA 雖然沒有收斂到全局最優(yōu)值，但求解精度僅次于HHO 與SMA，位居第三。在6 中，尋優(yōu)能力僅次于HHO，且超過其他算法。對(duì)于7，HSMAAOA 能夠達(dá)到全局最優(yōu)值，且方差最小。由此可知，HSMAAOA 在局部開發(fā)階段引入乘除算子更新公式與隨機(jī)反向?qū)W習(xí)帶來優(yōu)越的開發(fā)能力，提高算法收斂精度，且具有一定的穩(wěn)定性。在多峰測(cè)試函數(shù)中，HSMAAOA 也能取得不錯(cuò)的效果。對(duì)于8、9、11，HSMAAOA達(dá)到理論最優(yōu)值，對(duì)于12、13，算法效果僅次于HHO，超過了原始SMA 算法與AOA 算法。在10中，HSMAAOA 與SMA、AOA 和HHO 均達(dá)到了全局最優(yōu)值。從中可知，HSMAAOA 的探索能力和避免局部最優(yōu)能力均強(qiáng)于原始SMA 和AOA 算法，僅有個(gè)別測(cè)試函數(shù)效果弱于HHO，但整體的效果仍是最優(yōu)。在固定維度多峰測(cè)試函數(shù)中，對(duì)于14、17、21 與22，HSMAAOA 平均適應(yīng)度極度靠近理論最優(yōu)值，方差最小。在15 中，效果不及HHO。針對(duì)16、18、23 測(cè)試函數(shù)，HSMAAOA 能夠達(dá)到理論最優(yōu)值。對(duì)于19，雖然達(dá)到了全局最優(yōu)值，但標(biāo)準(zhǔn)差不如SSA。對(duì)于20，HSMAAOA 平均值與PSO 相同，次于GWO，標(biāo)準(zhǔn)差不及SSA，但超越了其余算法。對(duì)于大多數(shù)固定維度多峰測(cè)試函數(shù)，HSMAAOA 的統(tǒng)計(jì)結(jié)果都是最優(yōu)，結(jié)合測(cè)試函數(shù)的復(fù)雜性，證實(shí)了HSMAAOA 在避免早熟收斂方面具有優(yōu)秀的性能，且平衡探索階段和局部階段的能力得到了增強(qiáng)。

表2 各算法標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試結(jié)果Table 2 Test results of benchmark functions of each algorithm

5.3 收斂曲線分析

為了更直觀地展示各算法的收斂速度及跳出局部最優(yōu)能力，圖4 為部分測(cè)試函數(shù)的收斂曲線。對(duì)于1 和3 函數(shù)，PSO、SSA、WOA、GWO 收斂精度較低，HHO、AOA 收斂效果稍強(qiáng)于上述算法，SMA 收斂精度高，但收斂速度過慢，迭代450 次后才能達(dá)到理論最優(yōu)值，而HSMAAOA 從迭代開始收斂曲線明顯下降且收斂速度快，僅需要80 次迭代即可達(dá)到理論最優(yōu)值，收斂速度快。對(duì)于5 函數(shù)，HSMAAOA 雖然沒有收斂到全局最優(yōu)值，但能快速跳出局部最優(yōu)值，并且收斂精度更接近全局最小值，證明了此算法引入AOA 位置更新公式與隨機(jī)反向?qū)W習(xí)策略所帶來卓越的跳出局部最優(yōu)能力。對(duì)于多峰測(cè)試函數(shù)8和10，HSMAAOA 收斂速度快于SMA 與AOA，在迭代初期達(dá)到全局最優(yōu)解，體現(xiàn)出優(yōu)秀的全局探索能力。對(duì)于固定維多峰測(cè)試函數(shù)（15、20 與23），HSMAAOA 出現(xiàn)多次分界點(diǎn)，停滯的次數(shù)少于其他算法，證明了算法的探索與開發(fā)能力得到較好的平衡。

圖4 各種算法收斂曲線Fig.4 Convergence curves of various algorithms

5.4 Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)

僅通過平均值與方差無法精確分析每次運(yùn)行的結(jié)果，因此本文采用Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)來驗(yàn)證整體結(jié)果的顯著性差別。秩和檢驗(yàn)在5%的顯著性水平下進(jìn)行，當(dāng)＜0.05 時(shí)，可以證明兩種算法性能存在顯著差異，否則說明兩種算法的尋優(yōu)性能相差不大。因此，本文將8 種算法作為樣本，各算法獨(dú)立求解30次，種群規(guī)模=30，空間維度=30 的環(huán)境下求解23 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)來判斷HSMAAOA 所得結(jié)果與7種對(duì)比算法所得結(jié)果的顯著性區(qū)別。Wilcoxon 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)值結(jié)果如表3 所示，因?yàn)樗惴o法與自身對(duì)比，故表中不再列出HSMAAOA 的值。表中N/A表示數(shù)據(jù)無效，即實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)相同，算法性能相當(dāng)，當(dāng)值小于0.05 時(shí)，說明兩種對(duì)比算法具有顯著性差異。

由表3 可知，大部分值均小于5%，表明算法HSMAAOA 與其余7 種對(duì)比算法之間存在顯著性差異。對(duì)于函數(shù)9 與11，HSMAAOA 與對(duì)比算法之間的顯著性差異不明顯，算法的性能相當(dāng)。

通過分析表2、表3 以及圖4，可以得出結(jié)論：融合隨機(jī)反向?qū)W習(xí)策略的黏菌與算術(shù)混合優(yōu)化算法(HSMAAOA)全局與局部能力均得到加強(qiáng)，優(yōu)于原始SMA、AOA 及其他5 種優(yōu)化算法，表現(xiàn)出更優(yōu)秀的收斂精度、收斂速度以及穩(wěn)定性。

表3 各算法Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)結(jié)果Table 3 Wilcoxon rank sum test results of each algorithm

6 工程設(shè)計(jì)問題

為了驗(yàn)證HSMAAOA 算法在解決工程問題上的性能與可行性，選用焊接梁設(shè)計(jì)問題與壓力容器問題進(jìn)行測(cè)試。在本次實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置種群規(guī)模=30，維度=30，最大迭代次數(shù)=500。

6.1 焊接梁設(shè)計(jì)問題

該問題的目標(biāo)是使焊接梁設(shè)計(jì)的總成本最小化。如圖5 所示，需要優(yōu)化的變量有4 個(gè)：焊縫寬度，連接梁厚度，連接梁長(zhǎng)度與梁高度。該問題的目標(biāo)函數(shù)、自變量范圍和約束條件如下所示：

圖5 焊接梁設(shè)計(jì)問題Fig.5 Welded beam design problem

表4 列出了HSMAAOA 與對(duì)比算法求解焊接梁設(shè)計(jì)問題實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其中加粗表示較好結(jié)果?？梢钥闯?，SMAAOA 在=0.202 6，=3.319 7,=9.034 5,=0.205 8 處得到的最小代價(jià)為1.699 9，不僅優(yōu)于原始SMA 與AOA 算法，且小于其余對(duì)比算法，說明本文算法對(duì)于求解這類工程問題具有良好的性能。

表4 各算法應(yīng)用焊接梁設(shè)計(jì)問題優(yōu)化結(jié)果Table 4 Optimization results of each algorithm applied to welded beam design problem

6.2 壓力容器設(shè)計(jì)問題

壓力容器設(shè)計(jì)問題是一個(gè)常用的工程設(shè)計(jì)問題。如圖6 所示，該問題試圖使圓柱形壓力容器的總成本最小化，以滿足壓力要求。需要優(yōu)化4 個(gè)變量：容器壁厚度T、頂蓋壁厚度T、內(nèi)徑、容器管身長(zhǎng)度。目標(biāo)函數(shù)、自變量范圍和約束條件如下所示：

圖6 壓力容器設(shè)計(jì)問題Fig.6 Pressure vessel design problem

表5 統(tǒng)計(jì)了8 種算法在求解壓力容器問題時(shí)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。可以看出8 種算法均能求出較好值，但HSMAAOA 算法求解出的最優(yōu)值仍是最小結(jié)果，表現(xiàn)出對(duì)壓力容器設(shè)計(jì)問題優(yōu)良可信的求解能力。

表5 各算法應(yīng)用壓力容器設(shè)計(jì)問題優(yōu)化結(jié)果Table 5 Optimization results of each algorithm applied to pressure vessel design problem

通過對(duì)上述兩種著名工程設(shè)計(jì)問題的測(cè)試，可以看出基本SMA 與AOA 算法因自身機(jī)制局限性導(dǎo)致容易陷入局部最優(yōu)值，而本文算法HSMAAOA 混合了SMA 與AOA 的優(yōu)勢(shì)特性，結(jié)合隨機(jī)反向?qū)W習(xí)策略提高了算法的尋優(yōu)性能。在求解工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題能夠找到更優(yōu)的解，充分說明了HSMAAOA 在處理不同復(fù)雜程度工程設(shè)計(jì)問題具有較好的應(yīng)用潛力，能夠提供優(yōu)秀的解決方案。

7 結(jié)束語(yǔ)

本文充分綜合考慮SMA 和AOA 兩種優(yōu)化算法的優(yōu)勢(shì)和不足，提出了一種新型黏菌與算術(shù)混合優(yōu)化算法。HSMAAOA 融合兩種算法的全局搜索策略，極大地提高了算法的隨機(jī)性和全局搜索能力，有效避免了局部最優(yōu)停滯。引入ROBL 策略有效增強(qiáng)種群多樣性，提高算法避免早熟收斂能力，保持較快的收斂速度。HSMAAOA 有效地增強(qiáng)并平衡了全局探索和局部開發(fā)過程，23 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試結(jié)果表明，不論對(duì)于單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)，均具有更佳的收斂速度和精度。最后選擇驗(yàn)證的兩個(gè)工程設(shè)計(jì)問題測(cè)試表明，HSMAAOA 可用于解決實(shí)際問題并具有良好的工程應(yīng)用前景。本文僅是對(duì)兩種新近提出的優(yōu)化算法混合改進(jìn)的嘗試，未來將進(jìn)一步融合不同的改進(jìn)策略，并結(jié)合實(shí)際工程的解決需求，以期改進(jìn)出更為有效的智能優(yōu)化算法。