超低頻波與帶電粒子的非線性相互作用

李 莉，周煦之，宗秋剛

北京大學(xué)地球與空間科學(xué)學(xué)院，北京 100871

0 引言

地球磁層中存在著豐富的等離子體波動(dòng)，包括頻率在mHz 范圍的超低頻波，頻率在Hz 范圍的電磁離子回旋波以及頻率范圍在kHz 量級(jí)的哨聲波，這些波動(dòng)在輻射帶能量粒子的加速、輸運(yùn)和損失過程中扮演著至關(guān)重要的角色.超低頻波的尺度與磁層大小相當(dāng)，很容易受到磁層結(jié)構(gòu)的影響，從而能夠反映磁層的動(dòng)態(tài)變化（Cummings et al.,1969;Chen and Hasegawa,1974;Kazue and McPherron,1984;Kivelson and Southwood,1985;Anderson et al.,1990）.超低頻波根據(jù)其擾動(dòng)方向的不同，可分為極向和環(huán)向兩種模式.極向模的磁場(chǎng)和電場(chǎng)擾動(dòng)分別在徑向和方位角方向上，環(huán)向模的磁場(chǎng)和電場(chǎng)擾動(dòng)則與之相反，分別在方位角和徑向方向上.內(nèi)磁層中的能量粒子具有典型的平行于磁場(chǎng)的彈跳運(yùn)動(dòng)和垂直于磁場(chǎng)的漂移運(yùn)動(dòng)，當(dāng)超低頻波的頻率與帶電粒子的彈跳或漂移運(yùn)動(dòng)的頻率一致時(shí)，波與粒子之間就能發(fā)生漂移共振或漂移彈跳共振，從而完成能量的傳遞，實(shí)現(xiàn)對(duì)帶電粒子的加速（Mann et al.,2013;Liu et al.,2016;Sarris et al.,2017;Zong et al.,2017）.

Southwood 和Kivelson（1981）首次提出了極向模超低頻波與帶電粒子的漂移共振理論，給出了漂移共振的發(fā)生條件：mωd=ω，其中m是方位角波數(shù)，ωd和 ω分別是粒子的漂移角頻率和波動(dòng)頻率.他們還根據(jù)理論預(yù)測(cè)出了探測(cè)器可觀測(cè)的相互作用圖像：當(dāng)漂移共振發(fā)生時(shí)，高于和低于共振能量的粒子通量之間存在180o相位差.隨著Van Allen Probes 等衛(wèi)星的高質(zhì)量觀測(cè)數(shù)據(jù)的出現(xiàn)，人們對(duì)超低頻波與粒子相互作用的認(rèn)識(shí)也得到提升.Southwood 和Kivelson（1981）理論預(yù)測(cè)出的180o相位差被清楚地觀測(cè)到，提供了在內(nèi)磁層中存在漂移共振相互作用的明確證據(jù)（Zong et al.,2007,2009;Claudepierre et al.,2013;Dai et al.,2013;Foster et al.,2015）.然而1999 年以前，環(huán)向模超低頻波一直被認(rèn)為不能與粒子發(fā)生漂移共振作用，因?yàn)樵诜轿唤欠较蛏掀频牧Ｗ优c環(huán)向模超低頻波的徑向電場(chǎng)垂直.Elkington 等（1999）提出，如果考慮日側(cè)磁層的壓縮，粒子的漂移運(yùn)動(dòng)在晨昏兩側(cè)會(huì)產(chǎn)生徑向分量，此時(shí)這個(gè)分量與環(huán)向模超低頻波的徑向電場(chǎng)在同一個(gè)方向，從而可以發(fā)生相互作用.該理論得出的環(huán)向模漂移共振條件為 (m±1)ωd=ω，其中 ±1源于日側(cè)磁層壓縮產(chǎn)生的日夜不對(duì)稱.自該理論提出后，環(huán)向模超低頻波與帶電粒子的漂移共振就被認(rèn)為只能在特定的背景場(chǎng)（如較強(qiáng)太陽動(dòng)壓條件）中才能發(fā)生.Ukhorskiy（2005）指出，即使背景場(chǎng)存在高度不對(duì)稱性，環(huán)向模超低頻波的加速效率也很低，是一種高階效應(yīng).因此早期研究基本上認(rèn)為，兩種模式的超低頻波粒相互作用中，只有極向模波是重要的.環(huán)向模超低頻波對(duì)磁層粒子的加速貢獻(xiàn)很小.

近些年，超低頻波與粒子的漂移共振作用有了新的突破.由于Southwood 和Kivelson（1981）的漂移共振理論中使用的超低頻波模型顯示其會(huì)一直增長(zhǎng)而不衰減，并不符合真實(shí)情況，真實(shí)情況下由行星際激波激發(fā)的超低頻波可以經(jīng)歷非常快速的增長(zhǎng)過程（Zong et al.,2009;Hao et al.,2014），并且最終會(huì)衰減（Gla?meier et al.,1984;Shen et al.,2015），同時(shí)越來越多的觀測(cè)發(fā)現(xiàn)漂移共振發(fā)生時(shí)高于和低于共振能量粒子通量之間的相位差并不總是180o，因此漂移理論存在進(jìn)一步改進(jìn)的空間.Zhou 等（2016）通過引入隨時(shí)間演化的波角頻率虛部來表征波的增長(zhǎng)與衰減過程，系統(tǒng)性地改進(jìn)了漂移共振理論，理論預(yù)測(cè)的漂移共振圖像也得到了相應(yīng)的調(diào)整：在超低頻波與粒子相互作用初期，從低能到高能粒子通量之間的相位差較?。ㄐ∮?80o），隨后逐漸增大直到波增長(zhǎng)到最大振幅時(shí)，該相位差可達(dá)到 180o；在超低頻波的衰減階段，該相位差會(huì)持續(xù)增大超過180o，具體表現(xiàn)為粒子通量譜中逐漸傾斜的條紋，直至相位混合效應(yīng)使其衰減（Degeling et al.,2008;Zhou et al.,2015）.該特點(diǎn)在最近的衛(wèi)星觀測(cè)中已被明確鑒別（Zhou et al.,2016;Li et al.,2017）.在考慮時(shí)間演化過程中的漂移共振后，Hao 等（2017）、Li 等（2017a,2017b）繼而考慮了空間分布的影響，通過在超低頻波中引入磁經(jīng)度上的局地分布特性，研究粒子在局地超低頻波中的響應(yīng)，理論預(yù)測(cè)與觀測(cè)的高度吻合證明局地超低頻波與粒子的漂移共振典型觀測(cè)特征是相互作用初期就出現(xiàn)的顯著傾斜（>180o）的粒子能譜條紋.Li 等（2017a）還利用地磁臺(tái)站識(shí)別出了超低頻波的局地分布特征.對(duì)于環(huán)向模超低頻波，Li 等（2021）通過理論證明了即使在偶極磁場(chǎng)下其也可以與帶電粒子發(fā)生漂移共振作用，共振發(fā)生條件與極向模相同，該結(jié)論從衛(wèi)星觀測(cè)上得到了證實(shí).以上工作基于線性方法對(duì)漂移共振理論進(jìn)行了比較詳盡地?cái)U(kuò)展，促進(jìn)了人們對(duì)超低頻波與粒子相互作用過程的理解.

以上工作使用的線性方法，假設(shè)無論粒子從超低頻波中得到還是損失能量，其軌道都是未擾的.此假設(shè)僅當(dāng)粒子能量變化遠(yuǎn)小于其初始能量時(shí)才適用，對(duì)于振幅較大或持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)的超低頻波，其與粒子的相互作用無疑會(huì)改變粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而 產(chǎn)生顯著的非線性效應(yīng)（Li et al.,2018,2020,2021）.國(guó)內(nèi)外有關(guān)超低頻波與帶電粒子的非線性相互作用的研究不多，Elkington（2003）簡(jiǎn)單討論過非對(duì)稱壓縮磁層中粒子與超低頻波作用后的非線性響應(yīng).Degeling 和Rankin（2008）認(rèn)為超低頻波可能會(huì)導(dǎo)致粒子大尺度的混沌運(yùn)動(dòng)，大尺度的徑向擴(kuò)散又可以改變空間梯度，從而能夠?yàn)椴环€(wěn)定性提供自由能.Degeling 和Rankin（2008）也認(rèn)為非線性漂移共振能在電子相空間密度分布中產(chǎn)生局地峰值，這種現(xiàn)象以前幾乎只歸因于高頻波與粒子的相互作用（Horne et al.,2005;Chen et al.,2007）.

本文總結(jié)了近年來關(guān)于內(nèi)磁層中超低頻波與帶電粒子的非線性相互作用的研究進(jìn)展，其中第1 節(jié)為極向模超低頻波與帶電粒子的非線性漂移共振理論；第2 節(jié)為環(huán)向模的非線性漂移共振理論；第3節(jié)為超低頻波與粒子非線性漂移共振的觀測(cè)結(jié)果；第4 節(jié)討論了非線性漂移共振的開放性問題，以供進(jìn)一步研究參考.

1 極向模超低頻波的非線性漂移共振理論

簡(jiǎn)單起見，我們考慮地球偶極磁場(chǎng)中90o赤道投擲角的非相對(duì)論帶電粒子，并假設(shè)波沿方位角方向傳播.極向模超低頻波的電場(chǎng)擾動(dòng)在方位角方向上，可以表示為：

其中Eφ為 超低頻波的振幅，m為 方位角波數(shù)，φ為磁經(jīng)度（向東為正），ω為波的角頻率.由于基波和奇次諧波在赤道附近的磁場(chǎng)擾動(dòng)極弱，該推導(dǎo)過程將忽略磁場(chǎng)擾動(dòng)對(duì)粒子行為的影響.因此沿方位角方向漂移的帶電粒子從超低頻波中獲得能量的平均變化率可表示為：

式中，W為粒子動(dòng)能，L為無量綱的L 殼參數(shù)，RE為地球半徑，ωd為粒子的漂移角頻率（Northrop,1963），可以表示為：

其中BE是地球表面磁赤道處的磁場(chǎng)強(qiáng)度.由方程（3）可以看出，ωd會(huì)隨能量W變化而變化，因此粒子的能量變化與初始能量相當(dāng)時(shí)，未擾軌道假設(shè)將不再適用.由于超低頻波的周期比粒子回旋周期大得多，第一絕熱不變量 μ可視為是守恒的，粒子在徑向上的運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致能量的變化.即粒子被加速時(shí)會(huì)在徑向上向內(nèi)運(yùn)動(dòng)，被減速時(shí)向外運(yùn)動(dòng)，該過程可以表示為：

將方程（4）帶入方程（3）中消去L，可以得到：

此時(shí)，ωd僅隨能量W變化，結(jié)合方程（2）和（4），可以得到方程（5）關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：

該系統(tǒng)可以通過引入兩個(gè)變量 ζ 和 θ進(jìn)一步簡(jiǎn)化：

ζ 和 θ分別表示粒子在波靜止參考系中的相位以及粒子與波的相對(duì)速度.當(dāng) θ=0時(shí)，粒子與波以相同的速度移動(dòng)，滿足漂移共振條件.基于方程（6）～8），可以得到：

可以看出方程（9）具有與單擺方程相同的形式，即粒子在超低頻波中的非線性響應(yīng)可以被一個(gè)簡(jiǎn)單的單擺方程所描述，因此粒子在波勢(shì)阱中的捕獲頻率為：

從該式可以看出粒子的捕獲頻率與超低頻波振幅的平方根成正比.注意這里我們假設(shè)局地區(qū)域的電場(chǎng)擾動(dòng)沿徑向有特定的分布使其旋度為零，從而暫時(shí)忽略磁場(chǎng)的壓縮分量，不一樣的電場(chǎng)分布會(huì)影響公式（9）中的系數(shù)，但不會(huì)影響單擺方程的形式，具體可見下一節(jié)有關(guān)環(huán)向模超低頻波的理論推導(dǎo).

通過從方程（8）和（9）消除t可以得到在ζ-θ相空間中粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡：

該式的積分形式可以寫為：

式中，不同C值代表不同的粒子軌跡，如圖1a、1e所示，區(qū)別是電場(chǎng)大小不同（分別為1 mV/m 和6 mV/m）.這些電子的初始相空間位置用彩色空心圓圈表示，都在ζ=?9 0°、不同的 θ值處被釋放，且第一絕熱不變量 μ相同.圖1b、1f 中分別表示電子能量隨ζ 的變化；圖1c、1g 分別表示相應(yīng)L值 隨ζ 的變化；圖1d、1h 給出了超低頻波電場(chǎng)（藍(lán)色）和相應(yīng)的靜電勢(shì)（橙色）.陰影和非陰影區(qū)域分別表示粒子被減速和加速的區(qū)域.對(duì)于非共振粒子（|θ|總是大于0），對(duì)應(yīng)于圖1a 中的洋紅色、紫色、綠色、橙色線，圖1e 中的紫色和綠色線，因?yàn)閙ωd>ωr或是mωd<ωr，這些粒子會(huì)在勢(shì)阱中穿行而過，不能被勢(shì)阱捕獲.對(duì)于共振粒子（藍(lán)色），由于最初位于非陰影區(qū)域，會(huì)被波場(chǎng)加速，對(duì)應(yīng)θ和 ζ的增大，即向上和向右移動(dòng)，直至到達(dá)陰影區(qū)域開始減速（向右向下移動(dòng)）；隨后在 ζ=90°附近處粒子能量降回到共振能量，開始向左向下移動(dòng)；最終回到初始位置形成相空間中的一條閉合軌跡，捕獲在勢(shì)阱當(dāng)中.

注意當(dāng)超低頻波電場(chǎng)增大時(shí)，勢(shì)阱會(huì)加深，如圖1h 所示，原先穿行的粒子可以被捕獲在勢(shì)阱中（例如圖1e 中的橙色和洋紅色）.也就是說，粒子在θ、能量和L上的捕獲寬度與超低頻波的振幅有關(guān)，該寬度可定義捕獲與非捕獲區(qū)域的分界線.由于分界線必須經(jīng)過 ζ=1 80°、θ=0這一鞍點(diǎn)（圖1a、1e 中的紅點(diǎn)），將該點(diǎn)代入方程（12），可以得到分界線方程：

圖1 超低頻波場(chǎng)中電子的相空間軌跡.左列和右列分別對(duì)應(yīng)不同的波幅.橫軸表示電子在波的靜止參考系中的位置ζ.前三欄縱軸分別表示θ、電子能量和 L值.最后一欄縱軸顯示了波電場(chǎng)和相應(yīng)的靜電勢(shì)Fig.1 Phase portrait of sample electron trajectories in the ultralow frequency wave field.The left and the right columns correspond to the cases with different wave amplitudes.The horizontal axis represents ζ,the phase of electron location in the rest frame of the waves.The vertical axes represent (a,e) θ,(b,f) electron energy,(c,g) L location,and (d,h) the profiles of the electric wave field and the corresponding electrostatic potential

由方程（13）可知捕獲電子 θ的最小和最大值分別為 ?2ωtr和 2ωtr，根據(jù)方程（4）和（5），還可以分別得到ζ ?W和ζ ?L的分界線，如圖1b、1c、1f、1g中的黑色虛線所示.

2 環(huán)向模超低頻波的非線性漂移共振理論

對(duì)于環(huán)向模超低頻波，其徑向方向的電場(chǎng)形式可以簡(jiǎn)化為：

其中Er表示波的振幅，根據(jù)法拉第定律，我們可以得到波在背景場(chǎng)方向上攜帶的磁場(chǎng)分量為：

其中RE表示地球半徑，B∥在方位角方向上的梯度會(huì)使粒子產(chǎn)生徑向的漂移速度，用 L殼的變化率可以表示為：

粒子在方位角方向上的漂移速度，包括E×B漂移和磁場(chǎng)梯度漂移，可以表示如下：

其中第一項(xiàng)是偶極磁場(chǎng)下粒子的梯度漂移速度，第二項(xiàng)是由B∥在徑向上的梯度產(chǎn)生的漂移速度，第三項(xiàng)是超低頻波電場(chǎng)產(chǎn)生的E×B漂移速度.由方程（7）和（8）可以得到θ 關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：

將方程（15）～（17）代入到方程（18）中，可以得到：

由方程（19）可以看出，當(dāng)h2和h3小到可忽略不計(jì)時(shí)，形式與方程（9）類似，共振的粒子以捕獲頻率被捕獲在波勢(shì)阱中.當(dāng)dθ/dt=d2ζ/dt2=0時(shí)，滿足二階共振條件.當(dāng)h2和h3不能被忽略時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)就會(huì)變得更加復(fù)雜.通過從方程（7）和（19）消除t可以得到在ζ-θ相空間中粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡：

其積分形式可以表示為：

為了理解粒子軌跡（27）式，將其等號(hào)左邊分解為分別由h1和h2控制的方程：

并分別將方程（27）～（29）對(duì)應(yīng)的粒子軌跡展示在圖2 中，三式選取了相同的波場(chǎng)參數(shù)Etoroidal=1 mV/m，T=220 s，m=55，大量共振電子在t=0時(shí)被釋放，第一行顯示了（θ,ζ,L）空間中的三維電子運(yùn)動(dòng)軌跡，第二行對(duì)應(yīng)于第一行軌跡在（θ,ζ）空間中的投影.紅色和黑色星號(hào)對(duì)應(yīng)三維和二維空間的相同位置，以便更好地展示電子軌跡形成的共振島的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).圖2I 欄中的電子軌跡與圖1 相似，是關(guān)于 θ=0 對(duì)稱的共振島.圖2II 中由于 cos2ζ的存在使得一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)產(chǎn)生了兩個(gè)共振島，每個(gè)共振島都表現(xiàn)出很強(qiáng)的不對(duì)稱性.圖2III 欄可以被視為圖2I和圖2II 軌跡的疊加.由于在 ζ=π/2附近圖2I 和圖2II 的疊加，圖2III 欄中的共振島關(guān)于 θ=0不對(duì)稱，延伸到了更廣的 θ值上.但由于圖2II 中位于勢(shì)阱兩邊的半個(gè)共振島與圖2I 中的鞍點(diǎn)（ζ=?π/2 和ζ=3π/2）重合，不會(huì)影響圖2I 中共振島的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).

圖2 電子在超低頻波場(chǎng)中的相空間軌跡，分別對(duì)應(yīng)于方程（28）、（29）和（27）Fig.2 Contour maps of the equations (28),(29) and (27) for toroidal ULF wave.Top panels and bottom panels show the three-and two-dimensional electron trajectories,respectively.Values of C1,C2 and C are indicated by different colors

3 超低頻波與粒子非線性漂移共振的觀測(cè)

接下來我們考慮非線性波粒相互作用的可觀測(cè)圖像，這可以通過計(jì)算與波發(fā)生相互作用的粒子從波中獲得的能量W來實(shí)現(xiàn).為此我們建立相關(guān)的超低頻波模型，如圖3a 所示.這里采用與圖1 一致的參數(shù)，設(shè)置相共振能量為54 keV.為了保證有限的波粒相互作用時(shí)間，此模型下假設(shè)超低頻波的振幅從0 s 時(shí)的0.2 mV/m 指數(shù)增長(zhǎng)到2 000 s 時(shí)的6 mV/m.通過沿粒子的未擾軌道將方程（2）積分到t=?∞可以得到線性理論的 δW，如圖3b，可以看出線性方法能夠得到從低能到高能粒子 δW上的180o的相位差.非線性理論計(jì)算結(jié)果如圖3d 所示，當(dāng)波場(chǎng)較弱（t<700 s）時(shí)，結(jié)果與線性計(jì)算的類似，存在180o相位差；然而隨著波振幅的持續(xù)增長(zhǎng)，共振能量附近出現(xiàn)了卷曲結(jié)構(gòu).對(duì)于電子在有增長(zhǎng)與衰減的超低頻波下的響應(yīng)我們也給出了類似的分析，超低頻波電場(chǎng)模型展示在圖3i 中，其中假設(shè)波增長(zhǎng)的時(shí)間尺度為90 s，衰減時(shí)間尺度為400 s.根據(jù)線性理論計(jì)算得到的電子能譜顯示出與Zhou 等（2016）理論框架中一致的逐漸傾斜的條紋，如圖3j 所示.考慮非線性效應(yīng)后，逐漸傾斜的條紋在t=400 s 開始演化為卷曲結(jié)構(gòu)，如圖3l 所示.為了與衛(wèi)星信號(hào)作對(duì)比，我們將 δW能譜圖轉(zhuǎn)換為相空間密度的變化 δf，兩者的關(guān)系可被表示如下：

圖3 理論預(yù)測(cè)的電子響應(yīng).（a）超低頻波持續(xù)增長(zhǎng)的電場(chǎng)；（b）線性理論計(jì)算的電子能量變化譜圖；（c）線性理論計(jì)算的電子剩余相空間密度譜圖；（d）非線性理論計(jì)算的電子能量變化譜圖；（e）非線性理論計(jì)算的電子剩余相空間密度譜圖；（f～h）對(duì)圖（e）欄中的31.5 keV、53.8 keV 和79.8 keV 能檔的小波譜圖.右圖與左圖形式相同.但圖（i）顯示了超低頻波攜帶有限時(shí)間尺度的電場(chǎng)Fig.3 Predicted electron signatures at a fixed,virtual spacecraft location.The left and right columns correspond to ULF waves with increasing amplitudes and with a finite lifespan,respectively.(a,i) The electric wave field;energy spectrum of the electron energy gain/loss from ULF waves,obtained from (b,j) the linear and (d,l) the nonlinear theories;energy spectrum of the electron residual PSD at each energy channel,obtained from (c,k) the linear and (e,m) the nonlinear theories;(f～h) and(n～p) wavelet power spectrum of the electron residual PSD obtained from the nonlinear theory,in the 31.5 keV,53.8 keV and 79.8 keV energy channels

遵循Zhou 等（2016）假設(shè)一個(gè)相空間密度分布，利用方程（30），采用與Van Allen Probes 衛(wèi)星上MagEIS 儀器相同的能檔結(jié)構(gòu)，可將圖3b、3j轉(zhuǎn)換成圖3c、3k，同時(shí)非線性結(jié)構(gòu)圖3d、3i 也可被轉(zhuǎn)換成圖3e、3m.注意圖3e、3m 與圖3c、3k 中的線性理論結(jié)果相似，這是因?yàn)榱Ｗ犹綔y(cè)器的能量分辨率有限，使得精細(xì)的卷曲結(jié)構(gòu)很難被識(shí)別，探測(cè)器對(duì)粒子某一能檔的測(cè)量實(shí)際上包含著多個(gè)能量的響應(yīng)，這些不同的響應(yīng)通常會(huì)因?yàn)橄辔换旌闲?yīng)相互抵消（Schulz and Lanzerotti,1974）.為了將非線性漂移共振更好地識(shí)別出來，我們對(duì)每個(gè)能檔做小波分析，功率譜見圖3f～3h 和圖3n～3p.這些小波譜都顯示了大約110 s 周期的主峰，與超低頻波周期一致，而在53.8 keV 共振能檔附近，逐漸出現(xiàn)了一個(gè)在 55 s 周期（超低頻波周期的一半）的次峰.實(shí)際上如果該非線性相互作用能夠持續(xù)更長(zhǎng)的時(shí)間，電子相空間密度振蕩的小波譜可以表現(xiàn)出更高頻率的次峰.因此探測(cè)器能量分辨率有限的情況下，線性和非線性漂移共振之間可分辨的區(qū)別出現(xiàn)在共振能量附近的能檔，雖然線性和非線性的結(jié)果都顯示出了超低頻波頻率上的振蕩（小波譜主峰），但只有在非線性結(jié)果中，除了主峰之外，還存在更高頻的周期性擾動(dòng)（小波譜次峰），該次峰的存在和位置對(duì)相空間密度的假設(shè)不敏感.該特征可以作為非線性漂移共振發(fā)生的診斷證據(jù).

基于Van Allen Probes 衛(wèi)星觀測(cè)，圖4 展示了2014 年6 月7 日發(fā)生的超低頻波與電子的非線性漂移共振事件.電場(chǎng)、磁場(chǎng)和電子數(shù)據(jù)是由EFW、EMFISIS 以及MagEIS 儀器提供的.圖4a 為該事件的電場(chǎng)Ey和Ez分量，清楚地顯示了大約發(fā)生在16:51:50 UT（垂直虛線標(biāo)注的時(shí)間）的超低頻波動(dòng)，周期為110 s.圖4b 中Ey的小波功率譜也可以看出周期為110 s 的超低頻波動(dòng).圖4c 為31.5～143.5 keV能檔的90°投擲角的電子通量，以與超低頻波相同的頻率振蕩.

圖4d 顯示了電子的剩余通量 (J?J0)/J0，其中J為原始通量，J0是J的滑動(dòng)平均.由于能量分辨率有限，不能單從能譜圖中識(shí)別出卷曲結(jié)構(gòu)，因此我們通過小波分析檢驗(yàn)小波譜中是否存在主峰之外的次峰.31.5 keV、53.8 keV 和79.8 keV 能檔的電子剩余通量小波譜結(jié)果展示在圖4e～4g 中，可以看出，這些能檔均顯示出了與超低頻波周期相同的110 s 的周期，同時(shí)圖4f 的53.8 keV 小波譜中有一個(gè)明顯的周期為50 s（約為主峰周期一半）的次峰，出現(xiàn)時(shí)間為16:53:30 UT（超低頻波激發(fā)2 min 后）.而該次峰不在其他能檔小波譜中出現(xiàn)，這些特征與圖3n～3p 中的理論預(yù)測(cè)非常相似，表明在該事件中發(fā)生了非線性漂移共振.注意到這里的次峰不能被解釋為粒子與高次諧波的相互作用，雖然圖4b 電場(chǎng)在16:56:30 UT 確實(shí)觀測(cè)到了微弱的二次諧波，但53.8 keV 能檔的次峰出現(xiàn)得更早，比16:53:30 UT 早了3 min.此外，如果是二次諧波調(diào)制了電子通量，那么次峰應(yīng)該出現(xiàn)在所有能檔中，而不是單一能檔，因此可以推斷該事件中確實(shí)發(fā)生了非線性漂移共振過程.Van Allen Probes 衛(wèi)星觀測(cè)到的這些特征，為非線性漂移共振提供了第一個(gè)觀測(cè)證據(jù)，突出了非線性效應(yīng)在理解內(nèi)磁層超低頻波粒相互作用中的重要性.

圖4 Van Allen Probes 衛(wèi)星2014 年6 月7 日的超低頻波事件的觀測(cè).（a）電場(chǎng) Ey和 Ez；（b）Ey小波功率譜；（c）多個(gè)能檔的90°投擲角的電子通量；（d）電子剩余通量；（e～g）31.5 keV、53.8 keV 和79.8 keV 能檔的電子剩余通量的小波功率譜Fig.4 Van Allen Probe A observations of an ULF wave event on 7 June 2014.(a) The electric field Eyand Ez;(b) Wavelet power spectrum of Ey;(c) 90° pitch angle electron fluxes at multiple energy channels;(d) Energy spectrum of the electron residual fluxes;(e～g) Wavelet power spectra of electron residual fluxes in the 31.5 keV,53.8 keV and 79.8 keV energy channels

4 未來展望

本文對(duì)超低頻波與帶電粒子的非線性漂移共振進(jìn)行了總結(jié)和回顧.帶電粒子的非線性捕獲運(yùn)動(dòng)可以用單擺方程來表示，據(jù)此可以確定捕獲軌跡的周期和寬度.如果粒子數(shù)據(jù)的能量分辨率足夠高，我們期待在粒子能譜中看到卷曲的結(jié)構(gòu)，這種卷曲結(jié)構(gòu)的形成時(shí)間與勢(shì)阱內(nèi)共振粒子的捕獲周期密切相關(guān).但由于觀測(cè)精度的限制，目前還不能直接通過粒子能譜上的卷曲結(jié)構(gòu)確定非線性漂移共振的發(fā)生.在缺乏高分辨率數(shù)據(jù)的情況下，非線性漂移共振最明顯的觀測(cè)特征是共振能量附近的多周期振蕩.Van Allen Probes 衛(wèi)星已經(jīng)觀測(cè)到了這些特征，為非線性漂移共振提供了第一個(gè)觀測(cè)證據(jù)，突出了非線性效應(yīng)在磁層粒子動(dòng)力學(xué)中的重要性.關(guān)于非線性漂移共振目前仍然存在著尚未解決的問題.下面列舉幾個(gè)方面，為希望開展此方面工作的讀者提供一些參考.

（1）本文討論的非線性相互作用仍處于單共振島下.可以想象，當(dāng)多個(gè)共振島同時(shí)存在時(shí)，特別是當(dāng)共振島的邊界相互重疊時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)將更加復(fù)雜.粒子通過穿越多個(gè)共振島，從而經(jīng)歷顯著的能量變化.研究這個(gè)問題將有助于我們理解輻射帶粒子動(dòng)力學(xué)，以及太陽系中其他行星、宇宙中的系外行星的粒子動(dòng)力學(xué).同時(shí)，觀測(cè)中經(jīng)常看到的局地超低頻波可以認(rèn)為是多個(gè)不同波數(shù)的波動(dòng)疊加的結(jié)果，這也可以導(dǎo)致多個(gè)共振島的存在，從而有效加速內(nèi)磁層帶電粒子.

（2）在目前的漂移—彈跳共振理論分析中，仍然假設(shè)粒子的軌跡不隨能量變化而改變，當(dāng)有大振幅或長(zhǎng)周期的超低頻波導(dǎo)致粒子能量發(fā)生劇烈變化時(shí)，該假設(shè)不再適用.因此可以嘗試量化漂移—彈跳共振過程中的非線性效應(yīng).非線性漂移—彈跳共振的可觀測(cè)特征是什么? 非線性漂移—彈跳共振會(huì)如何影響超低頻波的激發(fā)過程?

（3）對(duì)于環(huán)向模超低頻波與粒子的相互作用，未來的工作可將由太陽風(fēng)壓縮日側(cè)磁層的日夜不對(duì)稱性導(dǎo)致的兩個(gè)共振島與新發(fā)現(xiàn)的共振島共同考慮，來研究粒子的加速過程.也就是說，即使是單色的環(huán)向模超低頻波，也可以同時(shí)產(chǎn)生三個(gè)共振島，如果這些共振島的邊界能夠重疊，粒子將產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)，也能誘發(fā)有效的能量轉(zhuǎn)移.

（4）由以上總結(jié)可以看出，超低頻波的壓縮磁場(chǎng)分量在波粒相互作用中起著重要作用.近年來，超低頻波經(jīng)常與哨聲波和電磁離子回旋波一起被觀測(cè)到，哨聲波和電磁離子回旋波這些高頻波的重復(fù)性激發(fā)過程與同時(shí)觀測(cè)到的超低頻波周期相當(dāng)，被調(diào)制的高頻波會(huì)進(jìn)一步沉降粒子，引起極光.超低頻波通過徑向擴(kuò)散向外或向內(nèi)傳輸粒子，因此有可能通過調(diào)制粒子進(jìn)而影響高頻波的激發(fā)過程，同時(shí)，超低頻波的振幅有時(shí)可達(dá)幾十nT，很容易改變背景磁場(chǎng)環(huán)境，因此也可能通過改變磁場(chǎng)梯度等影響高頻波的激發(fā)過程，本文的相關(guān)理論對(duì)于研究超低頻波對(duì)高頻波動(dòng)的調(diào)制有一定的參考價(jià)值.

致謝

感謝NASA Van Allen Probes衛(wèi)星，尤其是EFW、EMFISIS、MagEIS 和HOPE 團(tuán)隊(duì)提供的數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)來源：http://em_sis.physics.uiowa.edu/Flight/和https://spdf.gsfc.nasa.gov/pub/data/rbsp/.