基于非線性混合充電策略的電動(dòng)車物流配送路徑規(guī)劃模型*

汪山穎 靳文舟

（華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院 廣州 510630）

0 引 言

近年來，電動(dòng)汽車（electric vehicles，EVs）由于不排放溫室氣體、噪聲污染小等環(huán)境優(yōu)勢，其市場份額迅速增長。2020年中國EVs保有量達(dá)492萬輛，較2019年增長29.13%。Cazzola等[1]提出物流公司也開始使用EVs提供服務(wù)。2018年聯(lián)邦快遞增加1 000輛EVs用于上門服務(wù)，2019年美國推出了1個(gè)擁有63輛EVs的新車隊(duì)，中國的京東物流于2018年已將北京的物流車隊(duì)替換為EVs，因此，電動(dòng)車路徑規(guī)劃研究對物流運(yùn)輸?shù)闹匾耘c日俱增。

電動(dòng)車路徑規(guī)劃問題（electric vehicle routing problem，EVRP）是經(jīng)典VRP的延伸，Qin等[2]歸納出目前針對EVRP問題的主要研究方向有時(shí)間窗、能耗方式、充電策略、多車場、異構(gòu)車隊(duì)和非線性充電等，許多學(xué)者從各個(gè)方向提出了不同模型和算法。

在時(shí)間窗方面，Schneider等[3]首次提出在經(jīng)典的EVRP模型基礎(chǔ)上計(jì)入時(shí)間窗約束，設(shè)計(jì)了1種可變鄰域搜索算法（variable neighborhood search，VNS）和禁忌搜索算法（tabu search，TS）的混合啟發(fā)式算法，并證明設(shè)計(jì)算法比CPLEX求解器求解速度更快，應(yīng)用范圍更廣。在能耗方式方面，蔡銀怡[4]提出考慮非線性能量消耗的EVRPTW問題，設(shè)計(jì)基于變鄰域下降搜索改進(jìn)的混合蛙跳算法進(jìn)行求解，通過靈敏度分析得出電池容量和載重對配送成本的影響。在充電策略方面，Verma等[5]提出了傳統(tǒng)充電和換電2種充電模式，并設(shè)計(jì)了2步啟發(fā)式法求解成本最小路徑。Keskin等[6]提出允許部分充電的路徑規(guī)劃模型，并設(shè)計(jì)1種自適應(yīng)大鄰域搜索（adaptive large neighborhood search，ALNS）算法和插入算法求解發(fā)現(xiàn)允許部分充電可以改善電動(dòng)車路由決策。李軍等[7]考慮了“間歇補(bǔ)電，淺充淺放”的充電策略，構(gòu)建了車輛數(shù)最小的電動(dòng)公交調(diào)度模型。在異構(gòu)車隊(duì)方面，Ugur等[8]利用VNS和可變鄰域下降（variable neighborhood descent，VND）的混合啟發(fā)式算法，解決了多車場、異構(gòu)車隊(duì)、多客戶訪問部分充電的車輛路徑問題，其提出的啟發(fā)式算法在充電、車輛數(shù)和配送時(shí)間等方面都具有較好的優(yōu)化效果；Penna等[9]在1組不同行駛里程、容量和固定成本的異構(gòu)汽車組基礎(chǔ)上，提出了1種集合劃分模型的迭代局部搜索算法解決帶時(shí)間窗和充電站的混合車輛路徑問題，并通過實(shí)例證明了方法的有效性。Macrina等[10]提出1組電動(dòng)車與燃油車的異構(gòu)車隊(duì)的帶時(shí)間窗的綠色車輛路徑問題（green electric vehicle routing problem，GEVRP），設(shè)計(jì)了1種局部搜索算法優(yōu)化允許部分充電情況下異構(gòu)車隊(duì)的路由，并對污染排放進(jìn)行了評估。在特殊問題設(shè)定方面，揭婉晨等[11]利用改進(jìn)的分支定價(jià)算法驗(yàn)證了大規(guī)模數(shù)據(jù)下需求可拆分車輛路徑優(yōu)化模型的可行性，并發(fā)現(xiàn)額定載重比行駛里程對總成本影響更大。Amin等[12]提出利用啟發(fā)式算法，解決VRP與揀貨問題以及時(shí)間窗、多車型等附加約束相結(jié)合的回收EVs的逆物流路徑規(guī)劃問題，并發(fā)現(xiàn)成本項(xiàng)、EVs車輛規(guī)模和回收車隊(duì)會對配送方案的影響。蔣珊珊[13]考慮了路段限行條件下的電動(dòng)車輛配送模型并設(shè)計(jì)改進(jìn)的混合啟發(fā)式算法對其進(jìn)行求解，使求解效率和質(zhì)量均得到提高。在非線性充電方面，早期研究多將電動(dòng)車充電過程簡化為線性過程，與實(shí)際誤差較大，Montoya等[14]將非線性充電函數(shù)引入EVRP，即EVRP-NL問題，構(gòu)建了1個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃（mixed integer programming，MIP）模型并使用1種基于迭代局部搜索和集中啟發(fā)式混合元啟發(fā)式算法來求解模型。Froger等[15]在Montoya等[14]的研究基礎(chǔ)上提出2種新的MIP模型，并提出虛擬CS標(biāo)記和啟發(fā)式算法來求解模型。Zuo等[16]在此基礎(chǔ)上提出1種新的線性化方法處理帶有線性約束的凸型非線性充電函數(shù)，列出了MIP模型，比以往的EVRP-NL模型更優(yōu)越，但并未設(shè)計(jì)可行的計(jì)算方法。王美芹[17]考慮了多種電池折舊方式和充電策略組合模型，利用黃金分割點(diǎn)法線性擬合非線性充電函數(shù)，并用CPLEX求解器進(jìn)行求解，得出各種情況下的路徑優(yōu)化結(jié)果。

從發(fā)表的論文數(shù)來看，EVRP的2個(gè)主要擴(kuò)展研究方向?yàn)榭紤]時(shí)間窗和考慮非線性充電函數(shù)。在現(xiàn)有的EVs路徑問題的研究中，大多數(shù)都假設(shè)充電時(shí)間是充電量的線性函數(shù)。而對于非線性充電函數(shù)的研究，只考慮了起終點(diǎn)的時(shí)間窗約束而不滿足每個(gè)節(jié)點(diǎn)的時(shí)間窗需求，非線性充電函數(shù)擬合方法復(fù)雜，允許充電站無限訪問等設(shè)定均不符合實(shí)際物流配送情況。目前對于多種充電策略的研究比較片面，多為換電和線性快充、完全和部分充電2種，考慮非線性充電特征的多種充電策略的研究還未有涉及，但在實(shí)際物流配送中，由于EVs快充滿電通常需要1~2 h，換電站的基礎(chǔ)設(shè)施不成熟且換電成本太高等因素，考慮成本低時(shí)間少的充電策略是物流路徑規(guī)劃的必要一步。本研究在已有研究的基礎(chǔ)上，根據(jù)物流配送的實(shí)際情況構(gòu)建了1種考慮非線性充電、多時(shí)間窗、多充電方式的EVRP-NL模型。利用部分估值驗(yàn)證法得出分段函數(shù)擬合實(shí)際快充過程，并將其線性約束加入EVRP-NL模型，利用Gurobi求解器求解實(shí)驗(yàn)算例和實(shí)際算例，計(jì)算結(jié)果表明：混合充電策略可極大縮短EVs在物流配送過程中的充電時(shí)長，靈活降低EVs的充電成本，對EVs物流運(yùn)輸?shù)膶?shí)際應(yīng)用有重要意義。

1 考慮非線性混合充電的物流配送路徑規(guī)劃模型構(gòu)建

1.1 問題描述及模型假設(shè)

假設(shè)配送中心擁有一批車型相同數(shù)量充足的電動(dòng)貨車，從配送中心出發(fā)，為已知位置和需求的客戶提供物流送貨服務(wù)。貨車有載重限制，必須滿足客戶點(diǎn)的所有需求，單位需求量服務(wù)速度恒定。電動(dòng)貨車有里程限制，途中有充電站可進(jìn)行充電。模型考慮的充電策略為非線性混合充電策略（下文稱FCS-NL），即進(jìn)入充電站后既可選擇換電池也可選擇充電速率g隨充電電量變化而變化的非線性快充方式補(bǔ)充電量。當(dāng)車輛選擇換電池時(shí)，單次換電時(shí)間和成本固定，換電后恒滿電。配送中心和客戶點(diǎn)擁有硬時(shí)間窗要求，若超過時(shí)間窗限制則無法進(jìn)出配送中心或無法配送。

為了方便模型建立，進(jìn)一步提出如下假設(shè)。

1）配送中心、客戶點(diǎn)和充電站位置已知且不變，客戶點(diǎn)貨物需求已知且不變。

2）客戶點(diǎn)和配送貨車只能是多對一，而不能是一對多的關(guān)系。

3）只考慮配送，不考慮取貨，所有貨車從配送中心出發(fā)并回到配送中心。

4）不考慮充電站貨車排隊(duì)等候，充電無損耗，從配送中心出發(fā)時(shí)為滿電狀態(tài)。

5）2種充電方式最多只能選擇其中1種。

6）貨車在節(jié)點(diǎn)停留過程中不消耗電能。

7）貨車單位行駛成本和行駛速度不變，不考慮電池折舊成本。

根據(jù)上述內(nèi)容，可知考慮非線性充電物流配送路徑規(guī)劃問題的最優(yōu)路徑示意圖見圖1。EVs從配送中心出發(fā)，每條路徑都滿足物流點(diǎn)的需求量和時(shí)間窗條件，若電動(dòng)車在途中需進(jìn)行充電操作，則就近選擇充電站進(jìn)行換電或非線性快充，直到訪問完所有物流點(diǎn)并返回配送中心。

圖1 電動(dòng)車物流配送路徑規(guī)劃示意圖Fig.1 Schematic diagram of electric vehicle logistics distribution path planning

1.2 符號說明

路徑規(guī)劃模型所需集合、參數(shù)及變量見表1。

表1 模型符號說明Tab.1 Model symbol description

1.3 非線性充電函數(shù)處理

目前我國電動(dòng)車電池充電過程一般分為2個(gè)階段，示意圖見圖2。

圖2 電動(dòng)車電池充電過程示意圖Fig.2 Charging process of electric vehicle battery

圖2中SoC為電池電量，t為充電時(shí)間，Te為充滿電的用時(shí)，Q為滿電電量。[0,t1]為第一階段充電時(shí)間，此階段內(nèi)充電電流一定，充電電壓增大，SoC增加速率一定且較快，t1所對應(yīng)的電量為電池最大電容的80%。[t1,t2]為第二階段充電時(shí)間，此階段內(nèi)充電電壓達(dá)到最大值不再變化，充電電流迅速減小，SoC的增加速率開始降低，此時(shí)充電函數(shù)變?yōu)榉蔷€性，t2所對應(yīng)的電量為電池最大電容。

通過圖2雖然可以知道充電函數(shù)的走向，但因?yàn)槌潆娺^程受電流、電壓、自恢復(fù)以及溫度等多因素的影響，用1個(gè)確定的表達(dá)式來完整擬合卻是很困難的[9]。目前經(jīng)常使用的有3種非線性充電函數(shù)擬合方法：①將g設(shè)為線性充電時(shí)的充電速率，且恒定不變；②將g設(shè)為滿充的坐標(biāo)點(diǎn)和零點(diǎn)連接線的斜率，且恒定不變；③使用割線擬合非線性充電函數(shù)，近似為多階段充電。

按照擬合方法①和②[18]得出的充電時(shí)間與實(shí)際充電時(shí)間相差較大；擬合方法③[16]無法直觀體現(xiàn)電池充電過程特性，且往往需要引入多個(gè)參數(shù)，后續(xù)計(jì)算復(fù)雜。

Montoya等[14]為避免處理二維函數(shù)，使用Zundorf提出的轉(zhuǎn)換函數(shù)法得出充電量與充電時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，其中e(t)的原始函數(shù)由逼近于Q的凹函數(shù)擬合得到。設(shè)充滿電的用時(shí)為Te，利用Python提取Montoya文中22 kW充電功率下各分段充電函數(shù)的端點(diǎn)坐標(biāo)可以得出，電量充至83.99%Q用時(shí)59.9%Te；電量充至94.41%Q用時(shí)73.06%Te；電量充至100%Q用時(shí)100%Te[14]。本研究為避免復(fù)雜的原始函數(shù)的近似處理，采用部分估值驗(yàn)證法，即預(yù)設(shè)第一階段線性充電速率g為1 kW·h/min，其余2段的充電速率由Montoya文中充電速率的比例計(jì)算得出，則可列出分段函數(shù)e(t)對非線性充電函數(shù)進(jìn)行擬合，見式（1）。

式中：e為電量，kW·h；t為充電時(shí)間，min。

根據(jù)式（1）可得出擬合后的充電函數(shù)圖像見圖3，可以看出充電速率逐段降低，符合圖2中實(shí)際充電過程特點(diǎn)。取Q=80 kW·h，g=1 kW·h/min可算出式（1）的Te=112 min且第一階段充電時(shí)間為67.2 min。根據(jù)實(shí)際可知60≤Te≤120 min，因此Te=112 min符合實(shí)際，且Montoya所得分段函數(shù)算出第一階段充電時(shí)間為67.09 min，與本方法結(jié)果僅相差0.2%，可知估值驗(yàn)證法所得的充電函數(shù)符合實(shí)際。

圖3 分段函數(shù)擬合充電函數(shù)Fig.3 Fitting charging function with piecewise function

在數(shù)學(xué)模型中，需要線性化目標(biāo)函數(shù)中與充電量有關(guān)的非線性成本項(xiàng)，本研究利用部分估值驗(yàn)證法，結(jié)合Montoya的3段充電速率構(gòu)造出1個(gè)由4個(gè)端點(diǎn)3條線段組成的分段函數(shù)e(t)來擬合復(fù)雜的充電過程。部分估值驗(yàn)證法誤差小，操作簡便，計(jì)算簡單，能直觀表現(xiàn)出實(shí)際過程中充電量與充電時(shí)間的變化關(guān)系，比Montoya的函數(shù)轉(zhuǎn)換法更加簡便，比割線法、黃金分割點(diǎn)法等擬合方法得到的分段數(shù)更少。

得到分段函數(shù)e(t)后需要對其進(jìn)行線性化處理后加入模型。為了區(qū)別充電時(shí)長和充電時(shí)刻，將式（1）根據(jù)車輛達(dá)到和離開的充電情況分為2個(gè)函數(shù)，即分別將taik和tlik帶入式（1），將分段函數(shù)e(t)線性化，其中i?F，這里只將到達(dá)時(shí)刻的分段函數(shù)做示例計(jì)算。

引入連續(xù)變量αin和0-1變量Zin，對式（2）進(jìn)行線性化轉(zhuǎn)換。線性化步驟如下。

1）通過分段點(diǎn)橫坐標(biāo)構(gòu)建新的自變量。

2）通過函數(shù)關(guān)系求解新的因變量。

其中，αi1≤Zi1，αi2≤Zi1+Zi2，αi3≤Zi2+Zi3，αi4≤Zi3，且αi1+αi2+αi3+αi4=Zi1+Zi2+Zi3=1。

3）推而廣之，若分段函數(shù)f(taik)有n個(gè)端點(diǎn)，各端點(diǎn)的橫坐標(biāo)為A1≤A2≤…≤An，各端點(diǎn)的縱坐標(biāo)為B1≤B2≤…≤Bn，引入變量αin和Zin可將taik和eaik線性表示為

同樣的，車輛離開時(shí)刻的分段函數(shù)可引入連續(xù)變量λin和0-1變量Win實(shí)現(xiàn)線性化轉(zhuǎn)換，線性表示為

4）線性化結(jié)束。

1.4 配送優(yōu)化模型構(gòu)建

本研究的考慮FCS-NL的EVRP模型。目標(biāo)函數(shù)的4項(xiàng)成本分別為車輛的固定成本、行駛成本、換電成本和快充成本。目標(biāo)函數(shù)見式（9）。

考慮載重、硬時(shí)間窗和電量約束的物流配送路徑規(guī)劃模型如下。

式（10）表示車輛駛出配送中心，式（11）表示流平衡，式（12）表示使用的車輛數(shù)不超過車輛總數(shù)，式（13）表示每個(gè)客戶點(diǎn)都被服務(wù)，且只服務(wù)1次，式（14）表示客戶需求都被滿足，式（15）表示保證不違反車輛的載重約束，式（16）表示在節(jié)點(diǎn)不消耗電量且保證相鄰節(jié)點(diǎn)的電量消耗的大小關(guān)系，式（17）表示車輛在充電站最多只能選擇1種充電方式，式（18）保證相鄰節(jié)點(diǎn)時(shí)間的大小關(guān)系，與式（18）共同去回路并限制充電站無限次充電，式（19）~（20）表示所有節(jié)點(diǎn)不違反硬時(shí)間窗，式（21）表示保證充電后不超過最大電量，且物流車可直接通過充電站。

為了在數(shù)學(xué)模型中用e(t)來近似表達(dá)eaik的函數(shù)值，需要引入線性約束條件，見式（3）~（8）。其中M={0,1,…,n}，n=4表示e(t)端點(diǎn)編號的集合。（An，Bn）表示e(t)第n個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，n?M。Zin和Win為0-1變量，當(dāng)Zin=1時(shí)，表示到達(dá)充電站時(shí)，eaik對應(yīng)在e(t)上的橫坐標(biāo)An-1和An之間，taik對應(yīng)在e(t)上的縱坐標(biāo)Bn-1和Bn之間，否則Zin=0；當(dāng)Win=1時(shí)，表示離開充電站時(shí)，elik對應(yīng)在e(t)上的橫坐標(biāo)An-1和An之間，tlik對應(yīng)在e(t)上的縱坐標(biāo)Bn-1和Bn之間，否則Win=0，其中i?F，n?M{0},k?K。αin,λin是2組[0，1]內(nèi)的隨機(jī)常數(shù)，分別表示（eaik,taik）和（elik,tlik）在e(t)的n+1個(gè)端點(diǎn)上時(shí)，每個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)前的系數(shù)，且系數(shù)之和恒為1。因此，擬合分段充電函數(shù)的線性化約束可表示如下。

式（22）~（27）表示車輛到達(dá)充電站時(shí)，電量和充電時(shí)間用分段充電函數(shù)e(t)表示的約束，式（28）~（34）表示車輛離開充電站時(shí)，電量和充電時(shí)間用分段充電函數(shù)e(t)表示的約束。

模型涉及的決策變量取值見式（34）~（38）。

上述模型可求得成本最小的物流配送路徑，其通過充電量計(jì)算充電成本比以往研究中簡單統(tǒng)計(jì)進(jìn)入充電站次數(shù)來計(jì)算充電成本更加符合實(shí)際。在帶硬時(shí)間窗的EVRP模型基礎(chǔ)上增加了非線性充電函數(shù)，這與以往的EVRP-NL模型只考慮車場時(shí)間窗約束和單一充電方式不同，此模型針對物流配送問題特性，對每個(gè)物流點(diǎn)賦予時(shí)間窗約束，限制了充電站無限次充電從而導(dǎo)致的無效路徑，并對每個(gè)充電站設(shè)定換電和非線性快充2種充電方式，增加了充電策略靈活性和結(jié)果多樣性，更加符合物流配送特征。

2 模擬算例分析

2.1 數(shù)據(jù)來源及參數(shù)取值

為了驗(yàn)證模型的可行性，采用了VRP問題常用的Solomon測試數(shù)據(jù)集作為模擬算例。Solomon數(shù)據(jù)集由6種不同類型的數(shù)據(jù)集組成（C1，C2，R1，R2，RC1和RC2），每個(gè)數(shù)據(jù)集包含800~1 200條客戶數(shù)據(jù)。RC，R，C這3類數(shù)據(jù)特征分別為：①RC：兼具散點(diǎn)和集群客戶的組合數(shù)據(jù)；②R：在一定范圍內(nèi)均勻隨機(jī)分布的客戶數(shù)據(jù)；③C：集群客戶數(shù)據(jù)，其時(shí)間窗口是基于已知解決方案生成的。

其中類型1表示時(shí)間窗和容量限制較嚴(yán)格，類型2表示時(shí)間窗和容量限制較松弛[19]。

本 研 究 選 取RC101，R101，C101，RC201，R201，C201這6組數(shù)據(jù)集，分別選取各數(shù)據(jù)集的任意25條數(shù)據(jù)，其信息包括各點(diǎn)的時(shí)間窗、坐標(biāo)、需求量、車輛的額定載重，其中C=200 kg。本文研究的物流運(yùn)輸屬于短距離末端物流運(yùn)輸?shù)男∫?guī)模算例，適合純電動(dòng)物流車作業(yè)。其余參數(shù)參考具備換電和快充2種充電裝置的純電動(dòng)物流車遠(yuǎn)程E200和宋稚雅[20]關(guān)于短距離小規(guī)模電動(dòng)物流車的研究中的部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行取值，各參數(shù)設(shè)置見表2。

表2 相關(guān)參數(shù)設(shè)置Tab.2 Related parameter settings

2.2 模型可行性驗(yàn)證

本研究設(shè)節(jié)點(diǎn)25為配送中心，節(jié)點(diǎn)20~24為充電站，節(jié)點(diǎn)0~19為客戶點(diǎn)。實(shí)際物流配送中心的時(shí)間窗設(shè)為[06：00，08：00]，即T1=840 min，由于Solomon數(shù)據(jù)集每組算例給定了各自的配送中心時(shí)間窗，如RC101的T2=230 min，定義時(shí)間比θ=T2/T1，式（39）~（43）為時(shí)間相關(guān)參數(shù)換算公式，換算結(jié)果見表3。

表3 每種算例的時(shí)間參數(shù)Tab.3 Time parameters of each example

對以上算例，使用64位Windows 10系統(tǒng)，處理器為英特爾i5-4590@3.3GHz，內(nèi)存為8G的聯(lián)想揚(yáng)天T4900c-00臺式電腦進(jìn)行計(jì)算。利用Python 3.8調(diào)用Gurobi 9.1.2，將約束轉(zhuǎn)化為代碼進(jìn)行反復(fù)求解，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)設(shè)置4輛純電動(dòng)貨車進(jìn)行配送計(jì)算結(jié)果更為合理，因此設(shè)K=4。8組算例求解用時(shí)均不超過8 h，其中Gap=(obj-lowerbound)/lowerbound。8組求解結(jié)果見表4，其中RC101算例具體的配送路徑見表5，路徑圖見圖4。

圖4 模擬算例配送路徑示意圖Fig.4 Schematic diagram of distribution path of simulation example

表4 模擬算例求解結(jié)果Tab.4 The solution results of simulation examples

表5 模擬算例配送路徑Tab.5 Distribution path of simulation examples

從表4可見：Gurobi求解器可以求解代入不同類型數(shù)據(jù)的模型，并得出對應(yīng)的車輛配送路徑以及充電相關(guān)結(jié)果，這說明本研究提出的模型和方法對于求解小規(guī)模算例的電動(dòng)車路徑規(guī)劃問題具有可行性和普適性。第3節(jié)使用的實(shí)際數(shù)據(jù)類型為C類集群客戶，從求解結(jié)果可知Gurobi對C類集群客戶的求解效率較慢，Gap值較大，因此在求解實(shí)際算例時(shí)，需要考慮增加求解時(shí)間，使求解更徹底。

3 實(shí)例分析

四川省簡陽市面積2 213.5 km2，毗鄰成都天府國際機(jī)場和雙流國際機(jī)場，是多家物流公司的中轉(zhuǎn)集中地，負(fù)責(zé)下設(shè)25個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的物流配送工作。本研究對某通快遞公司在簡陽市的末端物流配送路徑進(jìn)行優(yōu)化，客戶點(diǎn)為25個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)快遞點(diǎn)，編號0~24；充電站為簡陽水東充電站、特來電充電站和簡陽汽車充電站，編號25~27；配送中心為簡陽市某通快遞分揀中心，編號28。

代碼運(yùn)行時(shí)間以min計(jì)算，開始時(shí)刻記為0。例如，配送中心06：00開始營業(yè)，20：00結(jié)束營業(yè)，其配送中心時(shí)間窗為[0，840]min，且時(shí)間比θ=1，其他相關(guān)參數(shù)可直接使用表2數(shù)據(jù)。實(shí)際算例位置見圖5，各點(diǎn)需求量和時(shí)間窗約束見表6。

表6 實(shí)際算例基礎(chǔ)數(shù)據(jù)Tab.6 The basic data of actual examples

圖5 實(shí)際算例各點(diǎn)位置示意圖Fig.5 Location diagram of each point in the actual examples

實(shí)際算例中，配送車輛仍使用純電動(dòng)物流車遠(yuǎn)程E200，其C=1 000 kg，模型參數(shù)還需要進(jìn)行以下調(diào)整。

1）車輛以直線距離代入模型中計(jì)算會造成較大的誤差，通常在直線距離基礎(chǔ)上乘以道路迂回系數(shù)σ（σ=2），得到

2）車輛載重越大，耗電率越大，其實(shí)際的耗電率比0.4大，本研究設(shè)置耗電率r為0.67。

3）按照簡陽特來電充電站收費(fèi)情況，結(jié)合分時(shí)電價(jià)原則，ρτ取0.6元（/kW·h）。

4）由2.2可知，求解器在求解集群客戶數(shù)據(jù)集時(shí)求解速度較慢，因此將求解時(shí)間從8 h調(diào)整為12 h，以便得到更徹底的求解結(jié)果。其余參數(shù)與模擬算例相同。多次變換ρτ和cs的取值，對電價(jià)進(jìn)行靈敏度分析，具體電價(jià)取值表見表7，求解結(jié)果見圖6~7。

表7 電價(jià)組別Tab.7 electricity price group

據(jù)圖6和圖7可知：當(dāng)cs=35元/次，ρτ為0.2，0.3，0.4元/（kW·h）時(shí)，車輛選擇單一快充策略（single fast charging strategy-linear，SFCS-L）；ρτ為0.5，0.6，0.7，0.8元/（kW·h）時(shí)，車輛選擇FCS-NL；ρτ為0.9元/（kW·h）及更高時(shí)，車輛選擇單一換電策略（single change stratrgy，SCS）?？芍?dāng)ρτ較低時(shí)，車輛選擇ICS-L，隨著ρτ逐漸升高，車輛快充電量不斷減少，換電電量不斷增加，充電成本隨著ρτ升高而升高，當(dāng)ρτ升高至0.9元/（kW·h）及更高時(shí)，車輛充電策略由ICS-L變?yōu)镮CS-C，且充電成本和充電策略均不再變化。

圖6 電價(jià)變化對充電電量的影響Fig.6 Influence of electricity price change on charging power

圖7 電價(jià)變化對充電成本的影響Fig.7 Influence of electricity price change on charging cost

當(dāng)ρτ=0.6元/（kW·h），cs為10，15元/次時(shí)，車輛選擇ICS-C；cs為20，30，40元/次時(shí)，車輛選擇FCS-NL；cs為45，50元/次，車輛選擇ICS-L?？芍?dāng)cs較低時(shí)，車輛選擇ICS-C，隨著cs逐漸升高，車輛換電電量不斷減少，快充電量不斷增加，充電成本隨著cs升高而升高，但當(dāng)cs升高至45元/次及更高時(shí)，車輛充電策略從ICS-C變?yōu)镮CS-L，且充電成本和充電策略均不再變化。

選取表7中車輛選擇FCS-NL時(shí)的所有電價(jià)組合，即電價(jià)組別4、5、6、7、12、13、14、15、16，其中6組和15組電價(jià)組合相同，只取第6組進(jìn)行橫向比較。

為分別構(gòu)建可實(shí)現(xiàn)ICS-C、ICS-L和可選擇換電或線性快充的線性混合充電策略（hybrid charging strategy-linear，HCS-L）的EVRP模型，需將原模型進(jìn)行如下改變。

1）將原EVRP-NL模型中式（23）~（34）刪去，添加約束zik=0，?i?F,?k?K，可實(shí)現(xiàn)ICS-C。

2）將原EVRP-NL模型中的式（23）~（34）刪去，添加約束yik=0，?i?F,?k?K，可實(shí)現(xiàn)ICS-L。

3）將原EVRP-NL模型中的式（23）~（34）刪去，其余約束保持不變，設(shè)充電速率g為1（kW·h）/min，可實(shí)現(xiàn)FCS。

通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)4種策略的行駛距離相近，即4種策略的行駛時(shí)間和行駛成本相近。因此本研究只比較了不同充電策略的充電成本和充電時(shí)間的結(jié)果，見圖8~9。

圖8 不同充電策略的充電成本比較Fig.8 Comparison of charging costs of different chargingstrategies

根據(jù)圖8和圖9可知，8組電價(jià)中，混合充電策略對減少車輛充電成本和充電時(shí)間都具有明顯的優(yōu)越性。其中，F(xiàn)CS-NL的充電成本比ICS-C減少35%，比ICS-L減少24%；FCS的充電成本比ICS-C減少31%，比ICS-L減少13%；FCS-NL的充電成本比FCS減少12%。FCS-NL的充電時(shí)間比ICS-L減少69%，比ICS-C減少3%；FCS的充電時(shí)間比ICS-L減少55%，比ICS-C增多29%，F(xiàn)CS-NL的充電時(shí)間比FCS減少31%?？芍狙芯吭O(shè)計(jì)的FCS-NL能夠有效減少選擇ICS-C和ICS-L時(shí)電動(dòng)車物流配送的充電成本和充電時(shí)間，且比FCS更優(yōu)越。

圖9 不同充電策略的充電時(shí)間比較Fig.9 Comparison of charging time of different charging strategies

從以往不同充電策略的電動(dòng)車路徑規(guī)劃結(jié)果來看，在使用同一數(shù)據(jù)集的情況下，Verma等[5]得出ICS-C在總成本、運(yùn)送時(shí)間方面均優(yōu)于FCS，這是由于軟時(shí)間窗及懲罰成本的設(shè)定，使ICS-L和FCS都因?yàn)楫a(chǎn)生延遲成本從而導(dǎo)致總成本更高；Keskin等[6]、郭放等[21]均得出部分線性充電策略（partial charging strateegy-linear，PCS-L）在配送時(shí)間、車輛數(shù)量、總成本方面均優(yōu)于完全線性充電策略（complete charging strategy-linear，CCS-L），且在部分充電量越多、時(shí)間窗限制越嚴(yán)，其優(yōu)越性越明顯；而Montoya等[14]則發(fā)現(xiàn)EVRP-NL模型可同時(shí)實(shí)現(xiàn)PICS-L，且FCS-NL能有效減少總成本和車輛數(shù)。本文在上述研究結(jié)果基礎(chǔ)上，控制車輛數(shù)恒定，從ICS-C、ICS-L、FCS、FCS-NL（包含PICS-L）這4種充電策略在實(shí)際算例中的成本、時(shí)間2個(gè)維度上進(jìn)行比較，首次提出了FCS和FCS-NL的對比，發(fā)現(xiàn)FCS-NL是4種策略中最優(yōu)越的。在以往ICS-L與ICS-C的對比基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出FCS與ICS-C的對比，發(fā)現(xiàn)在沒有延遲成本，時(shí)間窗約束相對松弛的模型中，在成本方面ICS-C不如FCS優(yōu)越，但仍可以節(jié)約充電時(shí)間。

4 結(jié)束語

本文在以往研究基礎(chǔ)上，根據(jù)實(shí)際充電過程采用部分估值驗(yàn)證法，用3段分段函數(shù)擬合非線性充電函數(shù)，構(gòu)建了以最小化成本為目標(biāo)函數(shù)，考慮硬時(shí)間窗、載重、電量及充電函數(shù)線性化約束的電動(dòng)車物流配送路徑規(guī)劃模型。利用Gurobi求解器驗(yàn)證了模型在6組Solomon數(shù)據(jù)中的可行性和普適性。通過改變快充電價(jià)或換電電價(jià)將實(shí)際算例求解結(jié)果進(jìn)行縱向?qū)Ρ?，證明總成本隨電價(jià)升高而升高，充電策略則向電價(jià)更低的充電方式變化，且電價(jià)升高至一定程度，充電策略和總成本將不再變化。最后在以往只研究2種充電方式的充電策略對比基礎(chǔ)上，將ICS-C、ICS-L、FCS、FCS-NL（包含PICS-L）這4種充電策略在8組電價(jià)組合下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行橫向?qū)Ρ?，充電成本?yōu)越性排序?yàn)椋篎CS-NL>FCS>ICS-L>ICS-C，充電時(shí)間優(yōu)越性排序?yàn)椋篎CS-NL>ICS-C>FCS>ICS-L?？勺C明本研究設(shè)計(jì)的FCS-NL在減少配送成本和時(shí)間方面都具有顯著優(yōu)越性。下一步研究可設(shè)計(jì)混合啟發(fā)式算法，如ALNS等改進(jìn)計(jì)算速率和精度，并對比各種算法和求解器求解的優(yōu)劣。