干擾觀測器補(bǔ)償?shù)乃男韷K對角控制器

何云風(fēng)，趙國榮，王元鑫，韓 旭

(1. 海軍航空大學(xué)岸防兵學(xué)院，山東 煙臺 264001；2. 海軍航空大學(xué)青島校區(qū)，山東 青島 266041；3. 91001部隊，北京 100089)

1 引言

四旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)簡單、靈活機(jī)動、成本低，實用性強(qiáng)，因此在軍、民用領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用[1，2]。四旋翼完成任務(wù)需要良好的飛行性能，而飛行性能取決于飛行控制系統(tǒng)的設(shè)計?，F(xiàn)代的四旋翼無人機(jī)在飛行過程中具有大機(jī)動、強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合的特點[3]，過去基于“小擾動線性化”、“忽略通道間耦合”假設(shè)的傳統(tǒng)控制方法難以滿足設(shè)計要求。

反饋線性化是現(xiàn)代控制理論中的一支，可以將非線性系統(tǒng)代數(shù)地變換為一個解耦的線性系統(tǒng)；可以較好地解決上述四旋翼的3個特點給飛控設(shè)計帶來的困難。反饋線性化已經(jīng)在旋翼[4，5]、固定翼[6]、直升機(jī)[7]、導(dǎo)彈[8]等飛行器的控制系統(tǒng)設(shè)計上取得良好的應(yīng)用。而對于狀態(tài)量較多、模型維數(shù)較高的對象，直接采用反饋線性化會使得最終控制量的表達(dá)式繁雜且依賴精確的模型。文獻(xiàn)[9]針對具有特殊塊對角結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)，基于反饋線性化，提出了一種塊對角理論，可以將高維的非線性系統(tǒng)變換分解為多個低階線性子系統(tǒng)再進(jìn)行設(shè)計。該理論已經(jīng)在導(dǎo)彈[9]和飛機(jī)著陸系統(tǒng)[10]上得到了很好的驗證。在深入剖析了四旋翼無人機(jī)的模型之后，本文發(fā)現(xiàn)四旋翼模型符合四層塊對角結(jié)構(gòu)。結(jié)合現(xiàn)代四旋翼飛行中的特點以及其模型的結(jié)構(gòu)特征，本文將采用塊對角理論對四旋翼的飛行控制器進(jìn)行設(shè)計。

基于塊對角理論所設(shè)計的控制器(以下簡稱塊對角控制器，block diagonal controller， BDC)的整體性能很大程度上由每一層中線性設(shè)計部分所采用的方法所決定。在直接使用反饋線性化的控制器中，文獻(xiàn)[11]采用了極點配置的線性設(shè)計方法；文獻(xiàn)[12]采用了滑?？刂评碚撨M(jìn)行設(shè)計；文獻(xiàn)[13]采用了線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator， LQR)；文獻(xiàn)[14]采用了LQR中的輸出跟蹤器。在使用塊對角理論的控制器中，文獻(xiàn)[9，10]采用的是P增益法進(jìn)行設(shè)計，文獻(xiàn)[15]采用的是Lyapunov函數(shù)法。

文獻(xiàn)[11-15]中所采用線性設(shè)計方法各有優(yōu)劣，但均以某一種方法為主；而四旋翼模型符合4層塊對角結(jié)構(gòu)，在使用塊對角理論進(jìn)行控制器設(shè)計時，會存在4個線性設(shè)計部分，具有很大的設(shè)計空間。為了使得塊對角控制器的綜合性能較為優(yōu)良，本文提出混合線性設(shè)計策略，即針對塊對角模型中每一層的特點采用不同的線性設(shè)計方法，并將該策略應(yīng)用到控制器設(shè)計中，對控制器進(jìn)行優(yōu)化。

在實際的飛行環(huán)境中，四旋翼本身的不確定性和外界的干擾是必然存在的，其存在會對控制系統(tǒng)產(chǎn)生不利影響?？垢蓴_性與動態(tài)性能、跟蹤性能這些標(biāo)稱性能往往是相互沖突的，許多控制器為了兼顧抗干擾性會犧牲一部分標(biāo)稱性能，而文獻(xiàn)[16，17]提出了一種新的解決途徑——非線性干擾觀測器(nonlinear disturbance observer， NDOB)。非線性干擾觀測器與原來的控制器是分離設(shè)計的，可以在不考慮干擾的情況下先設(shè)計好原來的控制器，然后再搭載一個干擾觀測器專門補(bǔ)償干擾。只有在有干擾時，才激活干擾觀測器進(jìn)行對干擾進(jìn)行估計從而對系統(tǒng)控制量進(jìn)行補(bǔ)償，解決了設(shè)計控制器時性能的沖突。為提高控制器在實際環(huán)境中的抗干擾性，本文將設(shè)計一個非線性觀測器，并與塊對角控制器相結(jié)合。

綜上，本文針對四旋翼的特點以及其模型結(jié)構(gòu)的特殊性，提出采用塊對角理論進(jìn)行控制器設(shè)計；且考慮到控制器設(shè)計中線性設(shè)計方法單一，將混合線性策略應(yīng)用于控制器設(shè)計以提高其綜合性能；然后設(shè)計一個干擾觀測器用于干擾的估計和補(bǔ)償，最終得到采用干擾觀測器補(bǔ)償?shù)膲K對角控制器。

2 預(yù)備知識

2.1 塊對角系統(tǒng)

形如

(1)

2.2 四旋翼模型的建立

四旋翼模型分為位置運動學(xué)、位置動力學(xué)、姿態(tài)運動學(xué)和姿態(tài)動力學(xué)模型，依次為

(2)

(3)

(4)

(5)

式(2)～式(5)中，[x，y，z]T表示四旋翼的位置，[vx，vy，vz]T表示速度，[φ，θ，ψ]T表示姿態(tài)角，m為質(zhì)量，g為重力加速度，(kDx，kDy，kDz)為阻力系數(shù)，[ωx，ωy，ωz]T表示機(jī)體角速度(Jx，Jy，Jz)為繞機(jī)體軸的轉(zhuǎn)動慣量，[τx，τy，τz]T分為滾轉(zhuǎn)力矩、俯仰力矩、偏航力矩，[MGx，MGy，0]T為機(jī)體所受陀螺力矩。

2.3 四旋翼模型的處理

將四旋翼模型進(jìn)行狀態(tài)量重新組合，令

四旋翼模型則可寫為

(6)

模型與式(1)定義相符，滿足其特征，是一個四層的塊對角系統(tǒng)。

3 塊對角控制器的設(shè)計

3.1 控制器整體設(shè)計框架

四旋翼模型是四層的塊對角系統(tǒng)，對照式(6)可以分為位置層、速度層、姿態(tài)角層和角速度層。塊對角控制器的設(shè)計思路如圖1所示，

圖1 塊對角控制器整體設(shè)計框架

圖1中，下標(biāo)帶d的量均為對應(yīng)狀態(tài)量的期望值，(Ω1，Ω2，Ω3，Ω4)為控制轉(zhuǎn)速。而每一層的設(shè)計思路如圖2所示。

圖2 每一層的設(shè)計思路

塊對角控制器的整體性能很大程度上由線性設(shè)計方式?jīng)Q定。本文提出采用混合線性設(shè)計的塊對角控制器：根據(jù)每層的需求與特點選擇該層的線性設(shè)計方法，以獲得整體性能的最優(yōu)搭配。姿態(tài)控制器是比較獨立完整的部分，要考慮其控制速度比位置控制器快，把快速性最好的Lyapunov函數(shù)法放在姿態(tài)角層，將PID控制放在角速度層，以強(qiáng)收斂性最大限度發(fā)揮Lyapunov函數(shù)的快速性。位置控制器主要考慮整體的魯棒性，故將滑?？刂品旁谖恢脤?，然后將P增益法放在速度層確保位置控制器收斂即可。這樣塊對角控制器的動態(tài)性能、跟蹤性能和魯棒性都會比較優(yōu)良。

3.2 姿態(tài)角層

根據(jù)圖1中的設(shè)計思路以及混合線性設(shè)計的想法，塊對角控制器中的姿態(tài)角層的具體設(shè)計步驟如下：

Step1：先來考慮姿態(tài)角層的3個子系統(tǒng)

(7)

將下一層狀態(tài)機(jī)體角速度[ωx，ωy，ωz]T看作虛擬控制量，則3個子系統(tǒng)的相對階均為1，運用MIMO(multiple input multiple output)系統(tǒng)的反饋線性化方法[12，14]，取期望機(jī)體角速度

(8)

當(dāng)[ωx，ωy，ωz]T趨于[ωxd，ωyd，ωzd]T時，姿態(tài)角層變?yōu)锽runovsky標(biāo)準(zhǔn)形

(9)

Step2：基于線性解耦系統(tǒng)式(9)，采用Lyapunov函數(shù)法對姿態(tài)層進(jìn)行線性設(shè)計，原則是[φ，θ，ψ]T趨于[φd，θd，ψd]T。將姿態(tài)角層設(shè)計為

(10)

其中系數(shù)(L7，L8，L9)均為正常實數(shù)。

Step3：將式(10)帶回式(8)，即可得[ωxd，ωyd，ωzd]T的完整表達(dá)式。

3.3 角速度層

可仿照姿態(tài)角層設(shè)計過程的三個步驟。在step1中，考慮角速度層的3個子系統(tǒng)式(5)，控制量為U=[u1，u2，u3]T=[τx，τy，τy]T，3個子系統(tǒng)的相對階均為1，取期望控制輸入

(11)

在step2中采用PID控制理論進(jìn)行線性設(shè)計，原則是使[ωx，ωy，ωz]T趨于[ωxd，ωyd，ωzd]T，保證式(9)成立，角速度層可設(shè)計為

(12)

其中e10=(ωxd-ωx)，e11=(ωyd-ωy)，e10=(ωzd-ωz)，系數(shù)(KPi，KIi，KDi)(i=10，11，12)均為正常實數(shù)。Step3則將式(12)帶回式(11)，即可得[u1d，u2d，u3d]T的完整表達(dá)式。

3.4 位置層

同樣地，考慮位置層的3個子系統(tǒng)式(2)，將下一層狀態(tài)速度[vx，vy，vz]T看作虛擬控制量，取期望速度為

(13)

(14)

其中S1=(xd-x)，S2=(yd-y)，S3=(zd-z)，系數(shù)(ε1，ε2，ε3)、(λ1，λ2，λ3)均為正常實數(shù)。將式(14)帶回式(13)，可得[vxd，vyd，vzd]T的完整表達(dá)式。

3.5 速度層

考慮速度層的3個子系統(tǒng)式(3)，結(jié)合圖1，將總升力f和下一層狀態(tài)姿態(tài)角[φ，θ，ψ]T看作虛擬控制量，但由于[φ，θ，ψ]T在三角函數(shù)中，速度層并不是一個仿射非線性系統(tǒng)，不能直接使用MIMO系統(tǒng)的反饋線性化，這里做一下處理，令

(15)

則式(3)變?yōu)?/p>

(16)

接著仿照姿態(tài)角層的step1，取[ux，uy，uz]T的期望值

(17)

然后采用P增益法對速度層進(jìn)行線性設(shè)計，原則是使[vx，vy，vz]T趨于[vxd，vyd，vzd]T，速度層設(shè)計為

(18)

其中(a4，a5，a6)均為正常實數(shù)。將(18)帶回(17)可以得到[uxd，uyd，uzd]T的完整表達(dá)式。

速度層的虛擬控制量原本應(yīng)為f和[φ，θ，ψ]T，從外部輸入一個期望的航向角ψd，再結(jié)合式(15)，可得[uxd，uyd，uzd]T到f和[φ，θ，ψ]T的轉(zhuǎn)換式

(19)

將位置層的式(13)(14)、速度層的式(17)(18)(19)、姿態(tài)角層的式(8)(10)和姿態(tài)角層的式(11)(12)按圖1的框架組織起來即是完整的采用混合線性設(shè)計的塊對角控制器。

4 干擾觀測器的設(shè)計

本文考慮的干擾為四旋翼最常遭遇的干擾力矩，將姿態(tài)動力學(xué)模型重寫為

(20)

其中d=[d1，d2，d3]T為干擾力矩所對應(yīng)的干擾角加速度，也涵蓋了姿態(tài)動力學(xué)模型本身的模型不確定性。為方便設(shè)計和推導(dǎo)，將其式改寫為一般仿射形

x=f(x)+g(x)u+d

(21)

由于姿態(tài)控制器與狀態(tài)觀測器是分離設(shè)計，在式(21)中暫取狀態(tài)量x=[ωx，ωy，ωz]T， 控制輸入為u=[τx，τy，τz]T，那么

接下來對d進(jìn)行觀測。根據(jù)式(21)，可得

d=x-f(x)-g(x)u

(22)

若假設(shè)d為一個慢變干擾，即

(23)

將干擾觀測器初步設(shè)計為

(24)

(25)

η=-p(x)

(26)

其中p(x)滿足

(27)

修正后的干擾觀測器的動態(tài)方程為

=-l(x)+l(x)(-f(x)-g(x)u)

=-l(x)(η+p(x))-l(x)(f(x)+g(x)u)

=-l(x)η-l(x)(p(x)+f(x)+g(x)u)

(28)

其中η為輔助變量，f(x)、g(x)、u已知，l(x)、p(x)待設(shè)計且二者滿足式(27)。修正后的非線性干擾觀測器為

(29)

根據(jù)加入干擾之后的姿態(tài)動力學(xué)模型式(20)，塊對角控制器的期望輸入式(11)變?yōu)?/p>

(30)

(31)

結(jié)合式(29)與式(31)，干擾觀測器補(bǔ)償?shù)膲K對角控制器如圖3所示。

圖3 干擾觀測器補(bǔ)償?shù)膲K對角控制器

5 仿真

采用Matlab/Simulink仿真驗證所設(shè)計的干擾觀測器補(bǔ)償?shù)膲K對角控制器的有效性。選用DJI-F450四旋翼作為參考對象，其參數(shù)為：質(zhì)量m=1.5 kg，旋翼中心到對稱面的距離d=0.159 m，升力系數(shù)kT=1.105×10-5N/(rad/s)2，反扭力矩系數(shù)km=1.489×10-7N·m/(rad/s)2，Jx=Jy=0.017 07 kg·m2，Jz=0.031 75 kg·m2。

所設(shè)計控制器參數(shù)經(jīng)調(diào)試后為：

位置層：(ε1，ε2，ε3)=(0.5，0.5，0.5)，(λ1，λ2，λ3)=(0.8，0.8，0.8)；速度層：(a4，a5，a6)=(2.5，2.5，2.5)；姿態(tài)角層：(L7，L8，L9)=(2.8，2.8，2.8)；角速度層：(KPi，KIi，KDi)=(15，0，0.8)(i=10，11，12)。

為驗證所設(shè)計控制器的有效性，選擇串級PID控制器和每一層全采用P增益法進(jìn)行線性設(shè)計的塊對角控制器與采用混合線性設(shè)計的塊對角控制器進(jìn)行比較。為便于圖表的制作，在仿真結(jié)果中分別使用PID、P-BDC和M-BDC來表示三個控制器。

5.1 動態(tài)性能

控制器的動態(tài)性能往往是首要考慮的。測試動態(tài)性能一般采用典型的階躍函數(shù)來作為參考輸入?？刂破鞯膭討B(tài)性能如圖5所示(x、y、z通道的階躍響應(yīng)曲線大致相同，以x通道為例)。

圖4 動態(tài)性能比較

其性能指標(biāo)如表1所示。

表1 動態(tài)性能指標(biāo)

根據(jù)圖4與表1可知，三個控制器的上升時間tr基本相同；P-BDC與M-BDC的調(diào)節(jié)時間ts與超調(diào)量σ%也是幾乎相同，且均比PID的要小。因此可以得出：P-BDC與M-BDC的動態(tài)性能基本相同且優(yōu)于PID。

5.2 跟蹤性能

四旋翼無人機(jī)最常見的飛行任務(wù)就是按照預(yù)定航跡飛行，故控制器的跟蹤性能也是核心性能。測試控制器的跟蹤性能可采用典型的雙螺線航跡作為參考輸入，

(32)

四旋翼起點坐標(biāo)為(0，0，0)，期望航向角ψd=0。控制器的跟蹤性能如圖5所示。

圖5 跟蹤性能比較

根據(jù)圖5中的(a)～(c)可以看出，PID與P-BDC跟蹤期望軌跡時會存在時延td，PID時延td=1.37s，P-BDC時延td=1.43s，而M-BDC則具不存在時延。根據(jù)圖5中的(a)(d)，PID與P-BDC具有±2.3m的跟蹤誤差，但其跟蹤軌跡與參考軌跡相近， 誤差應(yīng)該是由時延引起；將期望軌跡按時延平移后得到圖(e)，PID、P-BDC和M-BDC的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差相差不大且均在±0.1m以內(nèi)，精度較高。綜上所述，三種控制器跟蹤精度相近且均較高，但是PID與P-BDC存在時延，故M-BDC的跟蹤性能更優(yōu)。

5.3 抗干擾性

測試完塊對角控制器核心的兩個標(biāo)稱性能后，接來下測試搭載干擾觀測器的塊對角控制器的抗干擾性。為更好地測試控制器的抗干擾性，計劃在懸停狀態(tài)下加入干擾。干擾函數(shù)為

(33)

干擾觀測器中取l(x)=diag(10，10，10)，p(x)=(10ωx，10ωy，10ωz)。控制器的抗干擾性比較如圖6所示(以x通道為例)。

圖6 抗干擾性比較

根據(jù)圖6(a)可知，當(dāng)未加入干擾觀測器(NDOB)時，PID、P-BDC、M-BDC受干擾所產(chǎn)生的誤差幅值分別為0.34m，0.24m，0.07m，可以看出三個控制器均受一定程度影響，其中M-BDC抗干擾性最好。給P-BDC和M-BDC加入干擾觀測器，根據(jù)圖6(b) (c)可知，干擾觀測器本身的觀測效果很好，4s之后基本可以完全觀測干擾(4s左右到達(dá)懸停狀態(tài))；搭載干擾觀測器的P-BDC和M-BDC受干擾后的誤差幅值變?yōu)?.024m和0.007m，為原控制器的10%，控制器的抗干擾性得到顯著提升，其中搭載干擾觀測器的M-BDC抗干擾性更好。

5.4 魯棒性

在實際環(huán)境中，要保證無人機(jī)的安全，還應(yīng)該考慮控制器的魯棒性。選擇最為常見的重心偏移作為參數(shù)攝動的代表，控制器的魯棒性如圖7所示。

圖7 魯棒性比較

根據(jù)圖7(a)(b)可知，當(dāng)重心前后偏移時，控制器x通道的階躍響應(yīng)曲線變化為：P-BDC的上升時間tr上下浮動0.88s，并產(chǎn)生±0.75m的穩(wěn)態(tài)誤差；M-BDC的上升時間tr上下浮動0.43s，并產(chǎn)生±0.25m的穩(wěn)態(tài)誤差。二者都受影響，但后者魯棒性更強(qiáng)。根據(jù)圖7(c)(d)可以看出，在加入干擾觀測器之后，P-BDC受攝動影響程度明顯下降， M-BDC甚至幾乎不受攝動影響。綜上，M-BDC比P-BDC魯棒性更好；干擾觀測器對參數(shù)攝動也有很好的抵抗作用；加入了干擾觀測器的M-BDC魯棒性很好。

6 結(jié)論

本文主要工作：①針對四旋翼的特點，將模型處理為標(biāo)準(zhǔn)的塊對角結(jié)構(gòu)，并采用塊對角理論對四旋翼飛行控制器進(jìn)行了設(shè)計。②為提升控制器綜合性能，將滑?？刂啤增益法、Lyapunov函數(shù)法和PID控制分別應(yīng)用到了位置層、速度層、姿態(tài)層和角速度層的線性設(shè)計部分，得到了采用混合線性設(shè)計的塊對角控制器(M-BDC)。③考慮到四旋翼在實際環(huán)境中易受干擾影響，設(shè)計了干擾觀測器進(jìn)行干擾的估計和補(bǔ)償。仿真表明，所設(shè)計的M-BDC本身具有很好的動態(tài)性能和跟蹤性能以及較好的抗干擾性和魯棒性；所設(shè)計干擾觀測器對外部干擾和內(nèi)部參數(shù)攝動有很好地抑制和抵消作用；搭載了干擾觀測器的M-BDC兼具了很好的抗干擾性和魯棒性。