一類單側(cè)有界不對稱Duffing方程的對稱周期解

成 誠, 成紅勝

(1. 江蘇師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 江蘇 徐州 221116; 2. 鹽城師范學(xué)院 信息工程學(xué)院, 江蘇 鹽城 224001)

考慮二階Duffing方程

x″+g(x)=p(t)

(1)

的2π-周期解的存在性和多解性問題,其中p:R→R是2π-周期的連續(xù)偶函數(shù),g:R→R是局部Lipschitz連續(xù)函數(shù),g(0)=0,滿足

(g1) ?d0>0使得對x≥d0都有

g(x)>2p0,

其中p0:=max{|p(t)|:t∈[0,2π]};

(g2) ?M0>0,?s∈R+,|g(s)|≤M0;

(g3) 存在正數(shù)0

由于二階Duffing方程(1)與許多實(shí)際問題相關(guān)聯(lián)[1-2],因而廣受關(guān)注.其中,關(guān)于方程周期解的存在性和多解性問題已有許多研究工作.例如,在超線性條件

(2)

下,丁偉岳[3]運(yùn)用自己證明的推廣Poincare-Birkhoff扭轉(zhuǎn)不動(dòng)點(diǎn)定理證明了方程(1)無窮多個(gè)調(diào)和解和次調(diào)和解的存在性.Ding等[4]在更一般性的超線性條件

(τ0)

下推廣了文獻(xiàn)[4]的結(jié)論,其中

為自治方程x″+g(x)=0的周期軌道

在文獻(xiàn)[10]中,在條件(2)和假設(shè)p(t)是偶周期函數(shù)的條件下,Nakajima證明了無窮多個(gè)偶的調(diào)和解和次調(diào)和解的存在性,并且在g(x)是C1函數(shù)的假設(shè)下證明了偶的次調(diào)和解的稠密性分布結(jié)果.對于對稱周期解的研究,針對非線性Hill方程也有一些結(jié)果,參見文獻(xiàn)[11-12].在上述有關(guān)二階方程的對稱周期解的研究中沒有關(guān)于不對稱方程的討論,一個(gè)有趣的問題是:文獻(xiàn)[10-12]的結(jié)論能否推廣到一些不對稱方程的情形.

本文討論一類不對稱Duffing方程的對稱周期解問題.所謂不對稱方程是指當(dāng)x<0和x>0時(shí),回復(fù)力g(x)滿足不同的非線性條件.在本文中,在一側(cè)回復(fù)力是有界函數(shù)且另一側(cè)回復(fù)力滿足半線性條件時(shí),證明方程(1)有無窮多個(gè)偶次調(diào)和解.同時(shí),偶次調(diào)和解是稠密性分布的.由于偶函數(shù)是對稱函數(shù),因此偶的周期解亦稱為對稱周期解.本文首先運(yùn)用相平面分析的方法對等價(jià)系統(tǒng)解的動(dòng)力行為進(jìn)行分析,得到在充分大的區(qū)域外系統(tǒng)解的動(dòng)力行為.之后利用解的性質(zhì)在相平面上構(gòu)造適當(dāng)大的圓環(huán),使得Poincaré映射在環(huán)的邊界具有扭轉(zhuǎn)性,再利用偶周期解存在的充分必要條件證明了方程(1)無窮多個(gè)偶的次調(diào)和解的存在性和稠密性分布結(jié)果.

1 預(yù)備引理

令x′=y,則可得與方程(1)等價(jià)的系統(tǒng)

(2)

類似于文獻(xiàn)[11]中的做法,構(gòu)造輔助系統(tǒng)

(3)

其中連續(xù)函數(shù)η:R2→R稱為截?cái)嗪瘮?shù),滿足

且|η(a,b)|≤1.易見,如果方程(3)的解(x(t),y(t))在區(qū)間I?R上滿足|(x(t),y(t))|≥1,則(x(t),y(t))也是系統(tǒng)(2)定義在區(qū)間I上的解.

下面,記(x(t;x0,y0),y(t;x0,y0))是方程(3)在t=0時(shí)刻以(x0,y0)為初值條件的解.易證

引理 1.1方程(3)的解(x(t;x0,y0),y(t;x0,y0))是唯一且全局存在的.

從而,由引理1.1有:

推論 1.1對任給的正實(shí)數(shù)T>0和H>0都存在一個(gè)正數(shù)R0:=R0(T,H)>0,對任意的(x0,y0)∈R2,只要|(x0,y0)|≥R0,則(2)式的解(x(t;x0,y0),y(t;x0,y0))一定滿足

|(x(t;x0,y0),y(t;x0,y0))|>H,

?t∈[-T,T].

注 1.1由推論1.1,易見,對任意的T>0,存在正數(shù)M:=M(T)>0使得對方程(3)的任意解(x(t),y(t)),只要|(x(t),y(t))|≥M,則

|(x(t),y(t))|≥1,t∈[-T,T].

從而,(x(t),y(t))也是系統(tǒng)(2)定義在[-T,T]上的解.

因?yàn)間(0)=0,故(0,0)是方程(3)的平衡點(diǎn),從而由解的存在唯一性定理,方程(3)的任意非零解在任何有限時(shí)間內(nèi)不會通過原點(diǎn).對方程(3)初值不為(0,0)的解,可以定義它的極坐標(biāo)形式

其中r(t)和θ(t)是關(guān)于t的C1函數(shù).顯然,?t∈R,r(t)、θ(t)滿足

記(r(t;t0,r0,θ0),θ(t;t0,r0,θ0))為方程(4)的滿足初始條件r(t0)=r0和θ(t0)=θ0的解.

引理 1.2?R1>1,對(2)式的任意解(x(t),y(t)),只要r(t)>R1就有

θ′(t)<0.

證明當(dāng)(x(t),y(t))∈Ⅰ時(shí),易見-sin2θ(t)≤-sin2δ.由(4)式知存在M1>0,當(dāng)r>M1時(shí)有

其中,p0:=max{|p(t)|:t∈[0,2π]}.從而有

θ′(t)≤-sin2δ<0.

類似可證:存在M2>0,使得當(dāng)(x(t),y(t))∈Ⅲ且r(t)>M2時(shí)有θ′(t)<0.

當(dāng)(x(t),y(t))∈Ⅱ時(shí),cos(取δ充分小).因此,在Ⅱ內(nèi),當(dāng)r→+∞時(shí)有x→+∞.從而,由(g1),對充分大的正數(shù)M3>0,當(dāng)r(t)>M3時(shí)(注意到有

從而由(4)式知θ′(t)<0.

當(dāng)(x(t),y(t))∈Ⅳ時(shí),首先,-sin2θ(t)≤-sin2δ.其次,由(g3)知,存在d1>0,當(dāng)x≤-d1時(shí)有g(shù)(x)<0.取M4>0充分大使得當(dāng)(x(t),y(t))∈Ⅳ且r(t)>M4時(shí),如果-d1

(x(t),y(t))∈Ⅳ

且r(t)>M4時(shí)有

類似可證:存在M5>0,使得當(dāng)(x(t),y(t))∈Ⅵ且r(t)>M5時(shí)有θ′(t)<0.

當(dāng)(x(t),y(t))∈Ⅴ時(shí),由(g3),取M6>0適當(dāng)大使得當(dāng)r(t)>M6時(shí)x(t)<-d1且g(x)<-2p0.從而,θ′(t)<0.

取R1>max{Mi:i=1,2,…,6},則(1)和(2)式成立.證畢.

引理1.2指出,在充分大的圓盤外,系統(tǒng)(3)的解在總是繞著原點(diǎn)作順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

引理 1.3設(shè)τ(R)為方程(3)的解在區(qū)域{(x,y):|(x,y)|≥R}內(nèi)轉(zhuǎn)一圈所用時(shí)間的下確界,則

證明對充分大的R>R1,只需計(jì)算解在

1.4.2 搭建成本分析。對2015年建造避雨棚時(shí)所用的搭建成本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，包括用工、肥料、避雨棚膜、架材、苗木等。

{(x,y):|(x,y)|≥R}

內(nèi)通過區(qū)域

Ω:={(x,y):-x0}

所需時(shí)間即可.

θ′(t)=-cos2θ(t)+

因此,軌線穿過Ω所需的時(shí)間τ滿足

θ(t1)-θ(t0)<-4π.

證明首先,在XOY右半平面上定義一些區(qū)域.記

Ⅰ={(x,y):0≤x

Ⅱ={(x,y):x≥d0,y≥d0},

Ⅲ={(x,y):x≥d0,-d0

Ⅳ={(x,y):x≥d0,y≤-d0},

Ⅴ={(x,y):0

其中d0在(g1)中給出.

設(shè)(x(t),y(t))是方程(3)的定義在[τ,τ+T]上的解,滿足

r(t)>2max

?t∈[τ,τ+T],

其中τ∈R是任意的一個(gè)實(shí)數(shù),T>0是一個(gè)正實(shí)數(shù),M1:=M0+p0,其中M0、p0在(g2)、(g1)中定義.下面將在各個(gè)區(qū)域討論r(t)的變化情況.

(i) 設(shè)?t∈I1?[τ,τ+T],有(x(t),y(t))∈Ⅰ.因?yàn)?/p>

所以?t,s∈I1,有

|y(t)-y(s)|≤2M1.

從而,

所以

易見F1(r),F-1(r):R→R都是單調(diào)遞增的函數(shù).在區(qū)域Ⅴ中有類似的討論,并且存在單調(diào)遞增的函數(shù)

(ii) 設(shè)?t∈I2?[τ,τ+T],有

(x(t),y(t))∈Ⅱ.

由(2)式得

ydy=(-g(x)+p(t))dx.

設(shè)t0,t1∈I2,t0

(5)

從而有

其中t=t(x)是x=x(t)的反函數(shù)且ξ∈[x0,x1],則有

或

因?yàn)閥0

從而

(9)

因此

(10)

同時(shí),注意到d0≤x0

(11)

從而

(12)

則易見,F-2和F2都是單調(diào)遞增函數(shù)且

F-2(r0)

(13)

在區(qū)域Ⅵ中有類似的討論,并且存在單調(diào)遞增的函數(shù)

F±6(r):=F±2(r).

(iii) 設(shè)?t∈I3?[τ,τ+T],有

(x(t),y(t))∈Ⅲ.

?t0,t1∈I3,因?yàn)?/p>

d0(t1-t0)

則

|r(t1)-r(t0)|≤

(14)

從而

(15)

易見,F-3和F3都是單調(diào)遞增函數(shù).在區(qū)域Ⅶ中有類似的討論,并且存在單調(diào)遞增的函數(shù)

F±7(r)=F±3(r).

(iv) 類似于(ii)中的討論,若

?t∈I4?[τ,τ+L],

有

(x(t),y(t))∈Ⅳ,

則可以找到2個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)F±4(r)使得對任意的t0,t1∈I4,t0

F-4(r(t0))≤r(t1)≤F4(r(t0)).

(16)

接下來,在XOY左半平面上定義一些區(qū)域.由(g3)知,存在d1>0,使得當(dāng)x≤-d1時(shí)有

g(x)<-(L0+1)p0.

記

Ⅵ={(x,y):-d1

Ⅶ={(x,y):x≤-d1,y≤-d1},

Ⅷ={(x,y):x≤-d1,-d1

Ⅸ={(x,y):x≤-d1,y≥d1},

Ⅹ={(x,y):-d1≤x<0,y≥d1}.

(v) 類似于(i)中的討論,若?t∈I6?[τ,τ+T],有(x(t),y(t))∈Ⅵ,則可以找到2個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)F±6(r)使得對任意的t0,t1∈I6,t0

F-6(r)

(17)

同樣地,若?t∈I10?[τ,τ+L],有(x(t),y(t))∈Ⅹ,則可以找到2個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)F±10(r)使得對任意的t0,t1∈I10,t0

F-10(r(t0))≤r(t1)≤F10(r(t0)).

(18)

(vi) 類似于(iii)中的討論,若?t∈I8?[τ,τ+L],有(x(t),y(t))∈Ⅷ,則可以找到2個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)F±8(r)使得對任意的t0,t1∈I8,t0

F-8(r(t0))≤r(t1)≤F8(r(t0)).

(19)

(vii) 設(shè)?t∈I7?[τ,τ+T],有

(x(t),y(t))∈Ⅶ.

由(g3)和(4)式知,只要取d1充分大,就有

|r′(t)|≤(L0+1)r,

從而對任意的t0,t1∈I7,t0

r(t0)e-(L0+1)T≤r(t1)≤r(t0)e(L0+1)T.

(20)

取F-7(r):=re-(L0+1)T及F7(r):=re(L0+1)T,則F±7(r)是2個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù).

類似地,可定義2個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)F±9(r)使得若?t∈I9?[τ,τ+L]有(x(t),y(t))∈Ⅷ,則對任意的t0,t1∈I9,t0

F-9(r(t0))≤r(t1)≤F9(r(t0)).

(21)

這樣,在區(qū)域Ⅰ,Ⅱ,…,Ⅹ上分別定義了20個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)F±1,F±2,…,F±10定義

γ1(r):=F1°F2°…°F10°

F1°F2°…°F10(r),

且

γ-1(r):=F-1°F-2°…°F-10°

F-1°F-2°…°F-10(r).

這樣,無論初始點(diǎn)在哪一個(gè)區(qū)域,對于充分大的C>0有?r>C,對?t1,t2∈[τ,τ+L]且t1

θ(t2)-θ(t1)<-2π.

類似地,只要r(t1)≥r且r(t2)≤γ-1(r),就有

θ(t2)-θ(t1)<-2π.

顯然,γ1(r)和γ-1(r)是單調(diào)遞增函數(shù).令

γ(r):=γ1°γ1(r),

γ(-1)(r):=γ-1°γ-1(r),

則γ、γ(-1)即為所求.

2 主要結(jié)論

若x(t)為(1)的偶周期解,則稱初值點(diǎn)(x(0),x′(0))為一個(gè)ε-點(diǎn).由于x(t)是偶函數(shù),所以必有x′(0)=0.若一個(gè)偶周期解x(t)的最小周期為2mπ(m∈Z+),則稱ε-點(diǎn)(x(0),x′(0))為m階的.

在下面,對任一個(gè)t0∈R和(r0,θ0)∈R+×R,r0>0,設(shè)(r(t;t0,r0,θ0),θ(t;t0,r0,θ0))是方程(4)的滿足初始條件

r(t0)=r0,θ′(t0)=θ0

的解.特別地,若t0=0,記

(r(t;r0,θ0),θ(t;r0,θ0))=

(r(t;0,r0,θ0),θ(t;0,r0,θ0)).

相應(yīng)地,記(x(t;x0,y0),y(t;x0,y0))為方程(2)的滿足(x(0),y(0))=(x0,y0)的解.

下述引理見文獻(xiàn)[13].

引理 2.1方程(1)的解x(t)是一個(gè)偶周期解當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正整數(shù)m,使得

x′(0)=x′(mπ)=0.

特別地,ε-點(diǎn)(x(0),x′(0))是m階的當(dāng)且僅當(dāng)x′(kπ)≠0,k=1,2,…,m-1.

定理 2.1假設(shè)(g1)～(g3),則存在m1∈Z+,對?m≥m1,系統(tǒng)(1)至少存在2個(gè)最小正周期為2mπ的偶周期解.

證明取r1>max易見r3>r2>r1.記閉圓環(huán)

B(r2):={(x,y):r1≤|(x,y)|≤r3}.

由引理1.2,在B(r2)內(nèi)有

θ′(t)<0, ?t∈R.

因此,由(4)式、θ′的連續(xù)性和系統(tǒng)的周期性,存在正數(shù)b>0,在閉圓環(huán){(x,y):r1≤|(x,y)|≤r3}內(nèi)有

θ′≤-b, ?t∈R.

可以證明,對上述的a,取

則對任給的θ0∈R及T≥T0,方程(4)的以(r2,θ0)為初值解

(r(t),θ(t)):=(r(t;0,r2,θ0),θ(t;0,r2,θ0))

滿足

θ(T)-θ0<-2π.

(22)

令m1為充分大的正整數(shù)且滿足

m1π≥T0,

則對任意固定的整數(shù)m≥m1以及方程(4)的滿足初始條件r(0)=r2的任一解(r(t),θ(t)),都有

θ(mπ)-θ(0)<-2π.

r(t)≥r4, 0≤t≤mπ,

則有

θ(mπ)-θ(0)>-2π.

特別地

θ(mπ;r2,?0)-θ(0;r2,?0)<-2π

和

θ(mπ;r5,?0)-θ(0;r5,?0)>-2π,

其中?0≡0(modπ).

從而

下面,任取方程(1)的2個(gè)ε點(diǎn)p1、p2,其中

p1=(c1,0),p2=(c2,0),c1

主要結(jié)果是:

類似于文獻(xiàn)[10]中定理3的證明,有