受非線性白噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)非自治不可壓縮非牛頓流體的弱拉回吸引子

晏 濤, 鄒愛紅, 張 露, 舒 級(jí)*

(1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 四川師范大學(xué) 可視化計(jì)算與虛擬現(xiàn)實(shí)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 四川 成都 610066)

假設(shè)O是R2上的光滑區(qū)域,考慮在具有非線性擴(kuò)散項(xiàng)的白噪聲驅(qū)動(dòng)下的隨機(jī)非自治不可壓縮非牛頓流體：

x=(x1,x2);

▽·u=0,u|?O=0,

(1)

其中未知向量函數(shù)u=u(x,t)=(u(1),u(2))表示流體的速度,

g(x,t)=g(t)=(g(1),g(2))

τ

eij=e

(2)

其中μ0、μ1、α、ε1依賴于溫度和壓力的參數(shù),本文μ0、μ1、α、ε1是正常數(shù)且0<α<1,在(2)式中如果τij(e(u))和eij(u)是線性關(guān)系,就稱相應(yīng)的流體是牛頓流體.一般來(lái)說,氣體、水、機(jī)油、醇和簡(jiǎn)單的碳?xì)浠衔锿桥ｎD流體,它們的運(yùn)動(dòng)可以用Navier-Stokes方程來(lái)描述.如果τij(e(u))和eij(u)是非線性關(guān)系,那么這個(gè)流體就叫做非牛頓流體.例如,熔融的塑料、聚合物溶液和涂料往往是非牛頓流體.由于速度的梯度|▽u|相對(duì)較大,方程(1)可以看成是“修正的”隨機(jī)Navier-Stokes方程.顯然,當(dāng)α=μ1=0,(1)式退化為隨機(jī)Navier-Stokes方程,而當(dāng)μ1=μ0=0時(shí)退化為隨機(jī)歐拉方程;它們都是牛頓流體.注意到,(1)式中的隨機(jī)項(xiàng)在It積分下是有意義的.

本文將在適當(dāng)?shù)腂ochner空間中研究方程(1)弱拉回均方隨機(jī)吸引子的存在唯一性,這種弱拉回均方隨機(jī)吸引子不同于逐點(diǎn)拉回隨機(jī)吸引子.隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的逐點(diǎn)拉回隨機(jī)吸引子的概念首先在文獻(xiàn)[1-3]中提出,隨后許多專家也進(jìn)行了廣泛的研究;自治的隨機(jī)方程可以參考文獻(xiàn)[4-24],非自治的隨機(jī)方程可以參考[25-29].特別地,隨機(jī)方程(1)的逐點(diǎn)拉回隨機(jī)吸引子的存在唯一性可以在文獻(xiàn)[2,6,14]中查閱,但是這些論文對(duì)擴(kuò)散項(xiàng)σ施加了非常嚴(yán)格的條件,要求σ(t,u)在u中是線性的,或者具有非常特殊的結(jié)構(gòu),比如反對(duì)稱.據(jù)作者所知,當(dāng)σ是一般的Lipschitz非線性函數(shù)時(shí),目前還沒有關(guān)于逐點(diǎn)拉回隨機(jī)吸引子存在的結(jié)果.

為了研究同時(shí)具有非線性漂移和非線性噪聲的隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的漸近行為,Wang[30]引入了弱拉回均方隨機(jī)吸引子,并在文獻(xiàn)[31]中進(jìn)一步研究.之后,Wang[32]討論了具有一般Lipschitz非線性擴(kuò)散項(xiàng)的隨機(jī)非自治Navier-Stokes方程的弱拉回均方隨機(jī)吸引子的存在性.本文在σ(t,u)是Lipschitz非線性函數(shù)的條件下,證明了隨機(jī)非自治不可壓縮非牛頓流體方程(1)的弱拉回均方隨機(jī)吸引子的存在唯一性(見定理2.2).這似乎是關(guān)于具有一般Lipschitz非線性擴(kuò)散項(xiàng)的隨機(jī)非自治不可壓縮非牛頓流體方程的弱拉回均方隨機(jī)吸引子存在性的第一個(gè)結(jié)果.

下文首先在適當(dāng)?shù)腂ochner空間中定義了帶Lipschitz非線性擴(kuò)散項(xiàng)的隨機(jī)非自治不可壓縮非牛頓流體方程(1)的均方隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng),然后構(gòu)造了(1)式的一個(gè)弱緊拉回吸收集,并證明了弱拉回均方隨機(jī)吸引子的存在唯一性.

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)在濾子概率空間中給出了非自治隨機(jī)不可壓縮非牛頓流體(1)的解的存在性,并定義了一個(gè)均方隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).為此,需要將問題(1)重新表述為抽象的隨機(jī)微分方程,本文使用了以下符號(hào)：

Lp(O)-2維勒貝格空間并定義了范數(shù)‖·‖Lp(O);特別地,‖·‖L2(O)=‖·‖;

Hm(O)-2維索伯列夫空間{φ=(φ1,φ2)∈L2(O),▽kφ∈L2(O),k≤m}并有范數(shù)‖·‖Hm(O),其中k、m是非負(fù)的整數(shù);

H=L2(O)中V的閉包并有范數(shù)‖·‖;H′=H的對(duì)偶空間;

V=H2(O)中V的閉包并有范數(shù)‖·‖V;V′=V的對(duì)偶空間,(·,·)為H中的內(nèi)積,〈·,·〉為V和V′的對(duì)偶內(nèi)積.

進(jìn)一步引入一些算子.令

(3)

由文獻(xiàn)[33],有以下引理.

引理 1.1存在2個(gè)正常數(shù)c1和c2它們僅依賴于O且有

從a(·,·)的定義和引理1.1可得a(·,·)在V上定義了一種正定對(duì)稱雙線性形式.作為L(zhǎng)ax-Milgram引理的推論,得到了一個(gè)等距算子A∈Γ(V,V′),并有

〈Au,v〉=a(u,v), ?u,v∈V.

b(u,v,w)=-b(u,w,v),

b(u,v,v)=0, ?u,v,w∈V.

(5)

對(duì)任意的u∈V有

〈B(u),w〉=b(u,u,w), ?w∈V,

(6)

Qej=qjej, ?j∈N,qj≥0.

W是一個(gè)定義在(Ω,F,{Ft}t∈R,P)上的Q維納過程并在H上取值,從文獻(xiàn)[34]中可得

W(t)=在L2(Ω,F,H),

W

其中S*是S的伴隨算子.

最后,由u∈V,設(shè)

定義N(u)

?v∈V.

那么函數(shù)N(u)從V到V′是連續(xù)的.當(dāng)u∈D(A)時(shí),N(u)能通過

?v∈H

(7)

延拓到H.從物理角度看,(1)和(2)式的初邊值問題可表示為:

(8)

▽·u=0,x∈O,

(9)

u=0,τijlnjnl=0,x∈?O,

(10)

u|t=τ=u0,

(11)

除去p,問題(8)～(10)在螺線向量場(chǎng)中的弱形式可以表示如下

(12)

且有初值

u(τ)=u0,

(13)

在本文中,假設(shè)σ:R×V→L2(H0,H)是滿足以下條件的連續(xù)映射：存在非負(fù)常數(shù)β1,β2,…,β5使得對(duì)所有的t∈R和u,v∈V,有

(14)

(15)

現(xiàn)在給出(12)～(13)式解的存在性.

依概率幾乎處處成立.

在(14)和(15)式的條件下,(12)和(13)式的解的存在唯一性可參考文獻(xiàn)[34].

命題 1.3假設(shè)(14)和(15)式成立，則存在ε0>0使得對(duì)每一個(gè)ε∈(0,ε0),τ∈R和u0∈L4(Ω,Fτ;H),問題(12)和(13)有唯一解u∈L4(Ω,C([τ,τ+T],H))∩L2(Ω,L2((τ,τ+T),V)),對(duì)每一個(gè)T>0,并有

E(

‖u(s)‖2)ds)≤M1(1+E(‖u0‖4)), (16)

其中M1>0是一個(gè)不依賴于u0的常數(shù).

因?yàn)閡∈C([τ,∞),H)依概率處處成立,由(16)式和勒貝格控制收斂定理可得u∈C([τ,∞),L4(Ω,F;H)),因此(12)和(13)式能定義一個(gè)均方隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).給定t∈R+和τ∈R,設(shè)Φ(t,τ)是從L4(Ω,Fτ;H)到L4(Ω,Fτ+T;H)的一個(gè)映射且有

Φ(t,τ)(u0)=u(t+τ,τ,u0),

其中u0∈L4(Ω,Fτ;H),u是(12)和(13)系統(tǒng)的具有初值u0的解.通過解的唯一性,可知對(duì)每一個(gè)t,s≥0和τ∈R,有

Φ(t+s,τ)=Φ(t,s+τ)°Φ(s,τ).

因此,Φ是文獻(xiàn)[32]中定義1.1下的在(Ω,F,{Ft}t∈R,P)上L4(Ω,F;H)中的均方隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).

回顧在O上的龐加萊不等式:存在一個(gè)正常數(shù)λ使得

(17)

令B={B(τ)?L4(Ω,Fτ;H):τ∈R}是一個(gè)非空有界集族使得

(18)

其中

‖B(τ)‖L4(Ω,Fτ;H)=

記D為具有性質(zhì)(18)的所有非空有界集族的集合:

D={B={B(τ)?L4(Ω,Fτ;H):

B(τ)≠0,τ∈R}},

(19)

其中B(τ)有界且B滿足(18)式.

為了證明Φ的弱D拉回均方隨機(jī)吸引子,假設(shè)確定的外力項(xiàng)g滿足

顯然(20)式不需要當(dāng)s→±∞時(shí)g(s)在V′中有界.作為(20)式的一個(gè)推論,有

2 非自治不可壓縮非牛頓流體的弱D拉回均方隨機(jī)吸引子

本節(jié)證明問題(12)和(13)在(Ω,F,{Ft}t∈R,P)上L4(Ω,F;H)中弱D拉回均方隨機(jī)吸引子的存在唯一性.先對(duì)解進(jìn)行一致估計(jì),然后為系統(tǒng)構(gòu)造了一個(gè)D拉回弱緊吸收集.

引理 2.1假設(shè)(14)和(15)式成立,則存在ε0>0使得對(duì)每一個(gè)0<ε≤ε0，每一個(gè)τ∈R和B={B(t)}t∈R∈D,并存在T=T(τ,B)>0使得對(duì)所有t≥T,問題(12)和(13)的解u滿足

E(‖u(τ,τ-t,u0)‖4)≤

M2+M2e

其中u0∈B(τ-t),M2是不依賴于τ和B的正常數(shù).

證明從形式上推導(dǎo)出期望的一致估計(jì),但是所有的計(jì)算都可以通過像Galerkin方法這樣的極限過程來(lái)驗(yàn)證.首先,根據(jù)It公式和(12)式得到

d(‖u(r)‖2)=2ε(u(r),σ(r,u(r)))dW+

(-4μ1a(u,u)-2〈u(r),N(u〉)+

2〈u(r),g(r)〉+

(21)

d(‖u(r)‖4)=4ε‖u(r)‖2×

(u(r),σ(r,u(r)))dW+

2‖u(r)‖2(-4μ1a(u,u)-

2〈u(r),N(u)〉+2〈u(r),g(r)〉+

(22)

其中σ*是σ的伴隨算子.對(duì)(22)式取期望,對(duì)r≥τ-t,有

8μ1E(‖u(r,τ-t,u0)‖2a(u,u))+

4E(‖u(r,τ-t,u0)‖2〈u(r,τ-t,u0),N(u)〉)=

4E(‖u(r,τ-t,u0)‖2〈u(r,τ-t,u0),g(r)〉)+

2ε2E(‖u(r,τ-t,u0)‖2

4ε2E(‖σ*(r,u(r,τ-t,u0))×

(23)

現(xiàn)在對(duì)(23)式右邊的每一項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).首先,有

4‖u(r,τ-t,u0)‖2|〈u(r,τ-t,u0),g(r)〉|≤

4‖g(r)‖V′‖u(r,τ-t,u0)‖2×

‖u(r,τ-t,u0)‖V≤

μ1c1λ‖u(r,τ-t,u0)‖4+

(24)

2ε2‖u(r,τ-t,u0)‖2×

2ε2(β1‖u(r,τ-t,u0)‖2+

β2‖u(r,τ-t,u0)‖4+

(25)

對(duì)(23)式右邊的最后一項(xiàng),有

‖u(r,τ-t,u0)‖2≤

‖u(r,τ-t,u0)‖2≤

‖u(r,τ-t,u0)‖2,

根據(jù)(25)式,對(duì)所有0<ε≤ε0,有

(26)

現(xiàn)在對(duì)(23)式左邊每一項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).

8μ1‖u(r,τ-t,u0)‖2a(u,u)≥

8μ1c1‖u(r,τ-t,u0)‖2×

(27)

由文獻(xiàn)[33],〈u(r,τ-t,u0),N(u)〉是非負(fù)的,所以有

4‖u(r,τ-t,u0)‖2×

〈u(r,τ-t,u0),N(u)〉≥0.

(28)

由(23)～(28)式,對(duì)0<ε≤ε0和r≥t-τ有

4μ1c1E(‖u(r,τ-t,u0)‖2

3μ1c1λE(‖u(r,τ-t,u0)‖4)+

(29)

因此,由(17)式對(duì)0<ε≤ε0和r≥t-τ,則

μ1c1λ‖u(r,τ-t,u0)‖4≤

(30)

利用Gronwall引理,由(30)式可以得到

E(‖u(r,τ-t,u0)‖4)≤e-μ1c1λtE(‖u0‖4)+

(31)

因?yàn)閡0∈B(τ-t)和B∈D,當(dāng)t→0時(shí),

e-μ1c1λtE(‖u0‖4)=

e-μ1c1λτe-μ1c1λ(τ-t)E(‖u0‖4)≤

e-μ1c1λτe-μ1c1λ(τ-t)‖B(τ-t)‖L4(Ω,Fτ-t;H)→0.

因此,存在T=T(τ,B)>0使得

e-μ1c1λtE(‖u0‖4)<0

對(duì)所有t≥T,結(jié)合(31)式從而完成證明.

現(xiàn)在準(zhǔn)備證明Φ的弱D拉回均方隨機(jī)吸引子的存在性.

定理 2.2假設(shè)(14)和(15)式成立,則存在ε0>0使得對(duì)每一個(gè)0<ε≤ε0,問題(12)和(13)式的均方隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)Φ在(Ω,F,{Ft}t∈R,P)上L4(Ω,F;H)中有唯一的弱D拉回均方隨機(jī)吸引子A={A(τ):τ∈R}∈D.

證明給定τ∈R,記

K(τ)={u∈L4(Ω,F;H):

E(‖u‖4)≤R(τ)},

其中

R(τ)=M2+M2e

M2是引理2.1中相同的正常數(shù).因?yàn)镵(τ)是自反Banach空間L4(Ω,F;H)中的有界閉凸子集,可得K(τ)在L4(Ω,F;H)中是弱緊的.因此,由(20)式可以得到

又因?yàn)镵={K(τ):τ∈R}∈D,結(jié)合引理2.1可知K是Φ的弱緊D拉回吸收集.于是Φ的弱D拉回均方隨機(jī)吸引子A∈D的存在唯一性可以由文獻(xiàn)[32]中命題2.5得到.作為特例,根據(jù)引理2.1的證明,如果(14)式中的常數(shù)β1是0,并對(duì)所有的x∈O和t∈R,外力項(xiàng)g(x,t)=0,那么隨機(jī)方程(1)對(duì)于ε來(lái)說是指數(shù)穩(wěn)定的,即所有解在L4(Ω,F;H)中以指數(shù)率都拉回收斂到零,具體地說,有以下結(jié)果.

定理 2.3假設(shè)(14)和(15)式成立且β1=0和g(x,t)≡0,那么存在ε0>0使得對(duì)每一個(gè)0<ε≤ε0,問題(12)和(13)的均方隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)Φ在(Ω,F,{Ft}t∈R,P)上L4(Ω,F;H)中有唯一的弱D拉回均方隨機(jī)吸引子A={A(τ):τ∈R}且對(duì)所有τ∈R有A(τ)=0.

證明因?yàn)棣?=0和g(x,t)≡0,由(31)式,對(duì)每一個(gè)D={D(τ):τ∈R}∈D,可得

t→∞,

這表示0是Φ的一個(gè)D拉回弱吸引完全解.因此,由文獻(xiàn)[32]中的定理2.6可得結(jié)論.