基于lp范數(shù)的離格稀疏空時(shí)自適應(yīng)處理算法

李志軍 向建軍 彭 芳 劉 丹

（1.空軍工程大學(xué)航空工程學(xué)院，陜西西安 710038；2.中國(guó)人民解放軍95247部隊(duì)，廣東惠州 516000；3.中國(guó)人民解放軍93046部隊(duì)，遼寧沈陽(yáng) 110000）

1 引言

空時(shí)自適應(yīng)信號(hào)處理技術(shù)通過(guò)聯(lián)合空域和時(shí)域的自適應(yīng)處理抑制地雜波，實(shí)現(xiàn)對(duì)地面動(dòng)目標(biāo)的檢測(cè)，STAP 的實(shí)現(xiàn)依賴于對(duì)雜波協(xié)方差矩陣（Clutter Covariance Matrix，CCM）的精確估計(jì)［1］。為了達(dá)到較好的雜波抑制效果，要使輸出端的信雜比損失小于3 dB，此時(shí)所需的獨(dú)立同分布（Independent Identically Distributed，IID）樣本至少為兩倍的系統(tǒng)自由度［2］，然而當(dāng)天線處于非均勻的雜波環(huán)境以及載機(jī)運(yùn)動(dòng)與天線陣列存在偏航角時(shí)，獲得足夠的訓(xùn)練樣本是很難的［3］，因此研究人員提出很多方法減少樣本數(shù)量［4-5］。

稀疏恢復(fù)的基本思想是少量觀測(cè)信號(hào)包含了重構(gòu)或處理完整信號(hào)的足夠信息，然后利用這些信息對(duì)信號(hào)進(jìn)行精確重建［6］。目前將稀疏恢復(fù)的方法應(yīng)用到空時(shí)自適應(yīng)信號(hào)處理中已經(jīng)成為研究熱點(diǎn)。例如，文獻(xiàn)［7］提出基于欠定系統(tǒng)局部解（Focal Underdetermined System Solution，F(xiàn)OCUSS）、文獻(xiàn)［8］提出基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（Sparse Bayesian Learning，SBL）、文獻(xiàn)［9］提出基于降維矩陣的方法，上述方法僅需要遠(yuǎn)小于兩倍自由度的雜波樣本數(shù)量進(jìn)行有效的恢復(fù)。稀疏恢復(fù)的基礎(chǔ)是雜波信號(hào)在某個(gè)變換域下是稀疏的，該變換域又被稱做空時(shí)導(dǎo)向字典，字典把連續(xù)的空域和多普勒域劃分為均勻的網(wǎng)格，并用格點(diǎn)表示信號(hào)參數(shù)［10］。在載機(jī)實(shí)際飛行中，由于偏航等原因，出現(xiàn)非正側(cè)視的情況。導(dǎo)致實(shí)際的參數(shù)并不是總能落到空時(shí)導(dǎo)向字典的格點(diǎn)上，從稀疏恢復(fù)的角度而言這種誤差將嚴(yán)重影響到雜波抑制效果，該問(wèn)題就叫做空時(shí)自適應(yīng)信號(hào)處理中的離格（Off-Grid）問(wèn)題［11］。一個(gè)較為簡(jiǎn)單的思路是通過(guò)更精細(xì)的劃分網(wǎng)格來(lái)減小誤差，但是這樣不僅會(huì)大大增加計(jì)算量，而且精細(xì)的劃分網(wǎng)格會(huì)造成空時(shí)字典原子之間的相關(guān)度變大，進(jìn)而影響到稀疏恢復(fù)的性能?；诳諘r(shí)字典的離格問(wèn)題，李志匯提出一種基于局部搜索的正交匹配追蹤算法［12］，通過(guò)構(gòu)建局部精細(xì)字典來(lái)選擇與雜波相匹配的原子，但是該方法不能克服精細(xì)字典相關(guān)性高的問(wèn)題，并且正交匹配追蹤算法對(duì)參數(shù)設(shè)置的依賴性較高。文獻(xiàn)［13］提出基于廣義近似消息傳遞的離格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法，將廣義近似消息傳遞框架嵌入期望最大化過(guò)程，不僅能夠找到與信號(hào)相關(guān)度最大的原子而且能夠降低計(jì)算量，但是該方法對(duì)字典原子間的獨(dú)立同分布性要求十分苛刻［14］，因此該方法不適用于存在較大相關(guān)度的空時(shí)字典。文獻(xiàn)［15］提出一種基于知識(shí)輔助的離格字典修正方法，通過(guò)載機(jī)運(yùn)動(dòng)的先驗(yàn)知識(shí)對(duì)構(gòu)建的空時(shí)字典進(jìn)行修正，該方法對(duì)載機(jī)平臺(tái)的參數(shù)的要求較高。章濤把基于變分貝葉斯推斷的字典更新方法［16］拓展到二維，提出動(dòng)態(tài)字典修正算法［17］，利用變分推斷（Sparse Bayesian Inference，SBI）得到的字典失配誤差修正字典，然后利用修正后的字典估計(jì)恢復(fù)雜波，但是變分貝葉斯算法的計(jì)算復(fù)雜度很高，另外該方法利用l1范數(shù)近似l0范數(shù)，恢復(fù)的準(zhǔn)確性也存在一定程度的下降，因此該算法的性能還有很高的提高空間。文獻(xiàn)［18］提出一種基于lp(0 ＜p＜1)范數(shù)的算法解決一維波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）估計(jì)中的離格問(wèn)題，但該方法僅能解決空域字典失配的問(wèn)題。

針對(duì)已有的離格稀疏恢復(fù)空時(shí)自適應(yīng)算法依賴先驗(yàn)信息、對(duì)參數(shù)選擇要求較高以及恢復(fù)精度較低等問(wèn)題，本文將基于lp(0 ＜p＜1)范數(shù)的修正字典方法擴(kuò)展到二維，提出基于lp(0 ＜p＜1)范數(shù)的離格稀疏恢復(fù)空時(shí)自適應(yīng)算法。首先將空時(shí)字典誤差轉(zhuǎn)化成基于lp(0 ＜p＜1)范數(shù)的非凸優(yōu)化問(wèn)題，然后利用泰勒展開(kāi)將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)加權(quán)的l1范數(shù)問(wèn)題，然后分別求空域和多普勒域的誤差，得到修正字典，最后利用修正字典估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣。仿真實(shí)驗(yàn)表明，文章提出的算法能夠有效提高雜波抑制性能，優(yōu)于已有的一些稀疏恢復(fù)算法。

2 稀疏恢復(fù)空時(shí)自適應(yīng)信號(hào)處理與離格問(wèn)題

2.1 稀疏恢復(fù)空時(shí)自適應(yīng)信號(hào)處理信號(hào)模型

如圖1所示的機(jī)載預(yù)警雷達(dá)工作時(shí)所處的地雜波環(huán)境，假設(shè)由面陣合成的等效線陣的陣元數(shù)為N，天線陣列沿x軸正向放置，雷達(dá)平臺(tái)的高度為H并且以速度v勻速飛行，飛行方向與x軸正向夾角為θa，一個(gè)相干處理間隔（Coherent Processing Interval，CPI）內(nèi)發(fā)射的脈沖數(shù)目為M，ψ表示波束指向的空間角，θ表示波束指向的方位角，φ表示波束指向的俯仰角。天線陣元間距為d，并且，λ表示工作波長(zhǎng)，脈沖重復(fù)頻率為fr。

雷達(dá)接收的雜波信號(hào)模型可以表示為

其中xc又稱作觀測(cè)快拍，xc∈CMN×1，Nc代表一個(gè)距離環(huán)被平均劃分成雜波塊的數(shù)目，ρi代表第i個(gè)雜波塊的幅度和相位。n代表接收通道中的高斯白噪聲，v(fdi，fsi)代表空時(shí)導(dǎo)向矢量，sd，i和ss，i分別代表第i個(gè)雜波塊的時(shí)域?qū)蚴噶亢涂沼驅(qū)蚴噶?。fd，i和fs，i表示第i個(gè)雜波塊的多普勒頻率和空域頻率。

由（1）可知，雜波信號(hào)可以看成由不同多普勒頻率和空域頻率構(gòu)成的，所以根據(jù)稀疏恢復(fù)的概念，可以將空域和多普勒域分別離散化處理，然后得到完備的空時(shí)導(dǎo)向矢量字典，空域和時(shí)域的離散后的數(shù)量可分別表示為Ns=ρsN，Md=ρdM，其中ρs和ρd分別代表空域和時(shí)域離散倍數(shù)。接收的信號(hào)可表示為：

Φ表示空時(shí)導(dǎo)向矢量字典Φ=［v（fd，1，fs，1），v（fd，2，fs，2），…，v(fd，NsMd，fs，NsMd)]，v（fd，1，fs，1）表示空時(shí)字典的一個(gè)原子，γ∈CNsMd×1表示信號(hào)在字典上的復(fù)幅度。雜波協(xié)方差矩陣可以表示為：

σ2為噪聲功率，并有

得到協(xié)方差矩陣后，可以計(jì)算空時(shí)濾波器的權(quán)值為

其中v0代表目標(biāo)的空時(shí)導(dǎo)向矢量，此時(shí)可以利用空時(shí)濾波器得到STAP處理后的輸出。

對(duì)于（5），由于NsMd?MN，該方程為欠定方程，根據(jù)空時(shí)雜波譜的稀疏性，可以通過(guò)以下約束優(yōu)化問(wèn)題求解。

其中‖?‖0和‖?‖2分別表示向量的l0范數(shù)和l2范數(shù)。

上面僅考慮了單觀測(cè)樣本（Single Measurement Vector，SMV）的情況，但是由于噪聲的影響稀疏恢復(fù)的效果并不好，為提高稀疏恢復(fù)的性能，多觀測(cè)樣本（Multiple Measurement Vector，MMV）的稀疏恢復(fù)恢復(fù)性能較好，本文僅分析多測(cè)量矢量的情況，單測(cè)量樣本問(wèn)題實(shí)質(zhì)就是令多測(cè)量樣本問(wèn)題中觀測(cè)樣本數(shù)為1。假設(shè)采樣的樣本數(shù)量為L(zhǎng)，（5）可改寫(xiě)為

其 中，Γ=[γ1，γ2，…，γL] 表示系數(shù)矩陣，Xc=[xc1，xc2，…，xcL]表示雜波采樣矩陣，（9）可改寫(xiě)為：

‖?‖2，0表示l2，0混合范數(shù)，‖?‖F(xiàn)表示Frobenius 范數(shù)。得到Γ后，就可以利用（6）～（8）計(jì)算雜波協(xié)方差矩陣和空時(shí)濾波器的權(quán)值，進(jìn)行雜波恢復(fù)和抑制。

2.2 離格問(wèn)題

稀疏恢復(fù)空時(shí)自適應(yīng)中空時(shí)字典的基本原理是找到與雜波空時(shí)導(dǎo)向矢量對(duì)應(yīng)的格點(diǎn)，也叫做支撐集，當(dāng)折疊系數(shù)β=1，不存在載機(jī)偏航時(shí)，如圖2（a），雜波脊能夠落到字典的格點(diǎn)上，此時(shí)雜波抑制性能較好。然而，當(dāng)折疊系數(shù)不等于1 或者載機(jī)運(yùn)動(dòng)方向與天線陣列的放置方向存在偏航角時(shí)，如圖2（b）和（c）分別表示折疊系數(shù)為0.7 和偏航角為45°，雜波脊在網(wǎng)格上的分布圖，此時(shí)雜波脊不能落在格點(diǎn)上，也即空時(shí)字典不能完全表示雜波，此時(shí)雜波抑制效果下降十分明顯，發(fā)生離格問(wèn)題。

3 離格稀疏恢復(fù)模型以及字典更新

3.1 離格稀疏恢復(fù)模型

文獻(xiàn)［16］、［17］，分別提出一維和二維動(dòng)態(tài)字典的模型，即通過(guò)估計(jì)字典中每個(gè)原子與真實(shí)雜波表示所需的原子的偏差以更新字典，利用新字典實(shí)現(xiàn)對(duì)雜波的精確估計(jì)，空時(shí)字典的原子更新可以表示為

其中δs，i和δd，i分別代表空域失配誤差δs和時(shí)域失配誤差δd的第i個(gè)元素分別表示距離真實(shí)雜波脊最近的格點(diǎn)坐標(biāo)。并有

定義Δs=diag(δs，1，δs，2，…，δs，NsMd)，Δd=diag(δd，1，δd，2，…，δd，NsMd），分別表示空域和多普勒域誤差矩陣。

考慮到誤差的影響，（11）可重寫(xiě)為：

求解l2，0混合范數(shù)的最小化的過(guò)程是非凸的，該問(wèn)題是一個(gè)非確定性多項(xiàng)式問(wèn)題（Non-deterministic Polynomial-hard，NP-hard）問(wèn)題，通常的方法將l2，0松弛為l2，1混合范數(shù)對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解，然后利用凸優(yōu)化工具箱可以求解該問(wèn)題，進(jìn)一步估計(jì)得到在離格情況下的雜波譜，能夠在一定程度上減少離格的影響。

3.2 基于lp 范數(shù)的離格稀疏恢復(fù)空時(shí)自適應(yīng)信號(hào)處理

但是這種松弛方法在有噪聲存在或空時(shí)字典原子間的相關(guān)性較強(qiáng)時(shí)近似效果會(huì)變差，文獻(xiàn)［18］提出lp(0 ＜p＜1)范數(shù)的近似效果比l1范數(shù)更好，能夠得到更精確的稀疏解，本文提出基于lp范數(shù)的離格空時(shí)自適應(yīng)信號(hào)處理算法，并用兩次迭代的方法求解空時(shí)字典誤差，最后使用更新的字典估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣，以提高雜波抑制的性能。

首先將（15）松弛為基于l2，p混合范數(shù)的最小化問(wèn)題：

通過(guò)拉格朗日乘子法，（16）可轉(zhuǎn)換為如下優(yōu)化問(wèn)題，

τ表示正則化參數(shù)，用于平衡Γ的稀疏度和恢復(fù)精度。但是（17）是非凸的，并且存在Γ、Δs、Δd三個(gè)變量，所以不能用凸優(yōu)化算法進(jìn)行求解，并且變量之間關(guān)聯(lián)性不強(qiáng)，所以考慮應(yīng)當(dāng)分離變量分別求解，參考文獻(xiàn)［18］，利用循環(huán)迭代的方法對(duì)該問(wèn)題求解。

首先固定Δs和Δd，則第t次迭代過(guò)程中的支撐集為：

根據(jù)混合范數(shù)的定義

第二步，更新的得到支撐集后，固定Γ，計(jì)算空域與多普勒域的誤差為

可以看到第一步中需要解lp范數(shù)，但是該問(wèn)題是非凸的，本文引入目標(biāo)函數(shù)最大化［19］（Majorization-Maximization，MM）算法，得到該問(wèn)題的近似解，目標(biāo)函數(shù)最大化算法通過(guò)在每次迭代過(guò)程中找到目標(biāo)函數(shù)的下界函數(shù)，并求該下解函數(shù)的最大值，在迭代過(guò)程中不斷近似目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。一般都通過(guò)一階泰勒展開(kāi)對(duì)目標(biāo)函數(shù)近似，目標(biāo)函數(shù)最大化的基本思想為：

給定函數(shù)f(x)，有

根據(jù)這個(gè)思想，可將（18）、（19）近似為：

根據(jù)l1范數(shù)的定義，利用MM 算法將（18）中l(wèi)2，p(0 ＜p＜1)混合范數(shù)最小化的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化的問(wèn)題，可以使用凸優(yōu)化工具對(duì)其求解。

下面求解空域與多普勒域誤差，（20）、（21）的損失函數(shù)可寫(xiě)為

C表示常數(shù)。?(·)表示取實(shí)部。并有

在（24）中，分別對(duì)δs和δd求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，可以得到空域和多普勒域的失配誤差為：

失配誤差受到網(wǎng)格大小的限制，因此可得到下面的誤差約束：

利用字典失配誤差帶入（16）更新字典后，再求解支撐集，并設(shè)計(jì)迭代終止條件，達(dá)到需要的精度后，利用（6）、（7）再估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣，計(jì)算空時(shí)濾波器的權(quán)值，并計(jì)算STAP過(guò)程的輸出。表1展示了該算法的具體步驟：

表1 算法步驟Tab.1 Procedure of the proposed algorithm

4 仿真實(shí)驗(yàn)與算法復(fù)雜度比較

本文選取文獻(xiàn)［20］中典型的預(yù)警雷達(dá)工作參數(shù)以及所處的環(huán)境進(jìn)行仿真分析，檢驗(yàn)當(dāng)稀疏恢復(fù)空時(shí)自適應(yīng)信號(hào)處理中存在離格問(wèn)題時(shí)的雜波譜恢復(fù)性能以及雜波抑制性能。并檢驗(yàn)將算法應(yīng)用到實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中的性能。系統(tǒng)仿真的參數(shù)如表2所示。

表2 系統(tǒng)仿真參數(shù)Tab.2 System simulation parameters

從距離50 km 選擇6 個(gè)雜波樣本，雜波環(huán)的寬度為30 m，假設(shè)每個(gè)雜波環(huán)上有360 個(gè)雜波塊，并選擇ρs=ρd=4。選取正則化參數(shù)為0.635，根據(jù)文獻(xiàn)［21］，當(dāng)p=0.5 時(shí)，具有最好的稀疏恢復(fù)效果。本文所有的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果經(jīng)過(guò)100次蒙特卡洛循環(huán)取平均得到。

4.1 存在離格問(wèn)題時(shí)雜波譜稀疏恢復(fù)性能

雜波譜稀疏恢復(fù)的性能比較通過(guò)空時(shí)譜實(shí)現(xiàn)，其定義為

根據(jù)圖2，離格問(wèn)題存在兩種情況，首先，本文仿真了正側(cè)視情況下折疊系數(shù)β=0.7 時(shí)，文獻(xiàn)［17］算法與文章提出的算法和真實(shí)雜波譜的對(duì)比。

此時(shí)出現(xiàn)圖2（b）的離格情況，對(duì)比圖3 中的三個(gè)子圖，可以看到，雖然文獻(xiàn)［17］提出的算法能夠在一定程度上抑制離格情況，但是觀察雜波譜中顏色較深的點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，該算法恢復(fù)的幅度值相差較大，并且與真實(shí)的雜波譜相比，空時(shí)雜波譜的邊緣也沒(méi)有完全恢復(fù)，而文章所提的算法能夠有效抑制雜波譜的展寬，形成的空時(shí)雜波譜更加清晰，并且更接近真實(shí)的雜波譜。

其次，當(dāng)折疊系數(shù)β=1，但是存在偏航角θa=45°時(shí)文獻(xiàn)［17］算法與文章提出的算法和真實(shí)雜波譜的對(duì)比。

從圖4可以看出，當(dāng)天線處在正側(cè)視情況，雜波脊不再是直線，這種不規(guī)則的幾何形狀會(huì)導(dǎo)致離格問(wèn)題更加嚴(yán)重，對(duì)稀疏恢復(fù)的算法就提出了更高的要求，文獻(xiàn)［17］提出的算法恢復(fù)的雜波譜在兩端有較為嚴(yán)重的擴(kuò)散，從而導(dǎo)致了雜波抑制性能的下降，本文提出的算法所恢復(fù)的雜波譜與真實(shí)的雜波譜相比，展寬并不明顯，能夠更好的表示存在載機(jī)偏航時(shí)的雜波特性。

4.2 存在離格問(wèn)題時(shí)雜波抑制性能比較

改善因子（Improvement Factor，IF）是衡量雷達(dá)系統(tǒng)在地雜波環(huán)境中檢測(cè)動(dòng)目標(biāo)和雜波抑制性能，其定義為［21］：

圖5 和圖6 分別表示當(dāng)折疊系數(shù)為0.7 和非正側(cè)視情況下偏航角θa=45°的改善因子與平均改善因子對(duì)比圖。首先通過(guò)對(duì)比平均改善因子發(fā)現(xiàn)，非正側(cè)視時(shí)平均改善因子要比折疊系數(shù)不為1時(shí)平均改善因子低3 dB，這說(shuō)明非正側(cè)視時(shí)對(duì)離格的影響對(duì)雜波抑制性能的影響要更大，在此種情況下才能更真實(shí)得檢驗(yàn)抑制離格算法的有效性。通過(guò)比較雜波改善因子，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)折疊系數(shù)不為1 時(shí)，本文提出的算法相對(duì)文獻(xiàn)［17］提出的算法的平均雜波改善因子要高2 dB，并且在零多普勒處具有更深而窄的零陷，表明其雜波抑制性能更好。當(dāng)載機(jī)存在偏航時(shí)，即在更嚴(yán)重的離格情況下，文章提出的算法平均改善因子仍然比文獻(xiàn)［17］提出的算法高2 dB 左右，并且無(wú)論是在零多普勒處還是在其他多普勒頻率處，都具有更好的雜波抑制性能。

4.3 計(jì)算復(fù)雜度比較

下面分析算法的計(jì)算復(fù)雜度，在進(jìn)行計(jì)算復(fù)雜度比較時(shí)，重點(diǎn)關(guān)注乘法運(yùn)算部分。另外，由于估計(jì)得到雜波協(xié)方差矩陣后計(jì)算空時(shí)濾波器權(quán)值的過(guò)程是相同的，所以無(wú)需比較該部分的濾波器權(quán)值計(jì)算量。經(jīng)過(guò)分析，可以得到文獻(xiàn)［17］提出的基于變分貝葉斯推斷的空時(shí)自適應(yīng)信號(hào)處理的計(jì)算復(fù)雜度主要集中在利用變分過(guò)程進(jìn)行參數(shù)判斷的過(guò)程，其計(jì)算復(fù)雜度為O(2L2NsMd+L3)。本文提出的基于lp范數(shù)的空時(shí)自適應(yīng)信號(hào)處理的計(jì)算復(fù)雜度主要集中在使用凸優(yōu)化工具箱求解的過(guò)程，可以得到其計(jì)算復(fù)雜度為O(L(NsMd)3)?？梢钥闯?，本文提出的算法雖然能夠提高精度，但是文章算法的計(jì)算復(fù)雜度更高，因此結(jié)合優(yōu)化算法，開(kāi)發(fā)相關(guān)快速算法對(duì)該算法的實(shí)際應(yīng)用具有重要意義。

5 結(jié)論

稀疏恢復(fù)空時(shí)自適應(yīng)信號(hào)處理中離格問(wèn)題會(huì)造成雜波抑制性能下降，針對(duì)基于l1范數(shù)的離格空時(shí)自適應(yīng)處理方法不能充分利用雜波系數(shù)性，造成雜波抑制性能下降的問(wèn)題。本文提出一種基于lp(0 ＜p＜1)范數(shù)的離格抑制算法，實(shí)現(xiàn)存在離格時(shí)雜波的有效恢復(fù)和抑制。仿真實(shí)驗(yàn)表明本文的方法能較好的恢復(fù)并抑制雜波。