基于擴展貝塞爾擬合模型的連續(xù)波穿墻雷達目標定位算法

丁一鵬 高山流水 郭學斌 厙彥龍

（中南大學物理與電子學院，湖南長沙 410083）

1 引言

近年來，利用多普勒穿墻雷達對人體目標進行定位跟蹤在軍事和民用領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用背景［1-2］。研究成果表明，為了實時高效得對目標進行定位，準確估計目標的瞬時頻率（Instantaneous Frequencies，IFs）具有重要作用。為了實現(xiàn)這一目標，目前最常用的方式是采用時頻分析技術(shù)，通過提取時頻平面上的最大值作為目標時頻軌跡［3］。

然而在實際應(yīng)用中，連續(xù)波穿墻雷達的目標探測主要存在的難題是：當檢測多個目標，且不同目標間具有足夠接近甚至重疊的瞬時頻率時，目標的瞬時頻率可能出現(xiàn)無法被準確的估計，從而導致定位結(jié)果誤差較大，甚至無法定位［4］。針對上述問題，本文提出一種基于擴展貝塞爾模型的Hough 變換目標定位算法。該算法基于擴展貝塞爾擬合模型，通過動態(tài)調(diào)整兩個參數(shù)擬合實際的目標頻率曲線，特別是解決非線性、非對稱曲線的擬合問題，并結(jié)合多普勒定位算法完成對目標的實時定位。實驗結(jié)果表明，該算法有效地抑制頻率模糊問題，提高了多普勒穿墻雷達對運動的人體目標的定位精度。

2 多普勒穿墻雷達傳統(tǒng)定位方法及存在的問題

2.1 穿墻雷達目標定位算法

探測人體目標的過程中，主要利用的是最緊湊的雙頻多普勒穿墻雷達系統(tǒng)［5］。該系統(tǒng)由一個發(fā)射機（Tx）和兩個接收機（Rx1 和Rx2）組成，其天線陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示。

雷達的載波頻率分別為f1和f2，接收機的距離為d，當目標處于當前位置時，h為兩個天線入射波散射離開目標到達路徑長度差，θ是目標的方向角。根據(jù)傳播路程差可以計算出兩個接收機輸出信號相位差如下：

式中，λ1是載頻f1分量對應(yīng)的波長；

由此可得出目標的方位角：

式中，f1Rx1和f1Rx2分別為接收機Rx1 和Rx2 在載波頻率為f1的載波下接收回波信號的瞬時頻率，φθ為上述兩信號的初始相位差。

光速為c，當目標距離接收機距離為R時，回波信號在兩個載波頻率下的相位變化為：

因此，可求得目標距離為：

其中f2Rx1為接收機Rx1 在載波頻率為f2的載波下接收的回波信號的瞬時頻率；φR為接收機Rx1 在不同頻率下接收回波信號的初始相位差。

根據(jù)得出的方位角θ和距離R，可轉(zhuǎn)化為笛卡爾空間坐標系：

軌跡合成算法用于根據(jù)目標距離和角度信息，在二維平面對目標進行定位?？梢詫⒛繕说目臻g坐標確定為(X，Y)，然后合成目標運動軌跡。

2.2 目標瞬時頻率傳統(tǒng)估計算法

（1）基于STFT的目標瞬時頻率估計算法

在利用多普勒雷達系統(tǒng)實時探測人體目標的應(yīng)用中，由于人體目標的回波信號為非平穩(wěn)信號，人體目標的運動狀態(tài)具有隨機多變的特點，并且探測有實時性的需求，所以通常采用短時傅里葉變換技術(shù)（STFT）。

STFT的本質(zhì)就是加窗的傅里葉變換，通過窗函數(shù)對信號進行處理，然后通過傅里葉變換對每一時段的信號進行分析處理［6］。短時傅里葉變換可以通過以下公式表示

式中，η(t)表示窗函數(shù)，τ表示時延，由于窗函數(shù)的移動，對時域信號R1(t)進行分割，這使得傅里葉變換有了局部的特性。通過分析可知，提高時間分辨率的代價是要求窗長盡量的短，但同時也降低了頻率分辨率。這一矛盾使得短時傅里葉變換不能獲取良好的時頻分辨率。此外，通過短時傅里葉變換算法聯(lián)合多普勒定位算法進行對人體目標的定位時，由于短時傅里葉變換的低時頻分辨率的問題，導致連續(xù)波穿墻雷達對目標定位的精度較低。尤其是定位多個人體目標時，多個回波信號的瞬時頻率有時會出現(xiàn)距離相近甚至交叉重疊的情況，由短時傅里葉變換分析得出的瞬時頻率會有模糊現(xiàn)象，導致頻率特征提取不準確，從而影響雷達系統(tǒng)在目標定位領(lǐng)域的應(yīng)用。

（2）基于傳統(tǒng)模型的Hough 變換目標瞬時頻率估計算法

Hough變換一種能夠?qū)⒄w特征的檢測轉(zhuǎn)化為局部特征檢測的有效方法，通過其沿目標回波信號的瞬時頻率（IF）軌跡累積信號能量的能力，可以有效地識別和提取目標回波信號中的所需分量［7］。

所述發(fā)射機接收回波調(diào)解后的信號表示為：

其中，ak為第k個信號的幅度，fdi，k(t)是對應(yīng)于載波頻率fi的第k個目標分量的多普勒頻率，φk=4πfiRk0/C是第k個信號回波初始相位，c是光速。

當利用雷達系統(tǒng)對人體目標檢測時，對于包含k個分量的回波信號s(t)，它可以表示為

式中si(t)是第i個回波分量，振幅為ai，fdi為第i個目標的IF。為了利用Hough 變換估計第i個目標的IF，首先要建立合適的頻率擬合模型F(Z，t)，Z為一組模型參數(shù)。該模型用于表示回波分量的IF 變化［8-9］。利用擬合模型解調(diào)回波信號s(t)，然后利用傅里葉變換可得

如果將式（9）代入式（10）中，可以看出，在理想情況下，當fdi(t)=F(Z，t)時，所構(gòu)造的模型完全擬合目標回波分量的IF，第i個回波分量經(jīng)解調(diào)后將成為一個恒定信號，其能量將在頻域內(nèi)積累為一個脈沖［10］。然而，對于那些IF與模型不匹配的其他回波分量，它們的能量就不會在頻域內(nèi)收斂［11-12］。通過調(diào)整模型參數(shù)集，直到第i個回波分量能量最大收斂，如果將最合適的參數(shù)集表示為Zm，則目標IF 可以估計為f(T，Zm)［13］。

傳統(tǒng)的Hough變換通常采用簡單的線性模型來擬合目標IF。線性擬合模型可以表示為

式中m和n分別是線性模型的斜率和初始頻率參數(shù)。

但是實際回波分量的IF 曲線通常具有非線性的特性，這導致線性模型的擬合精度不高，尤其是在曲線兩端及中點部分線性擬合的結(jié)果與目標的多普勒頻率之間存在很大的誤差。

3 改進的穿墻雷達目標定位算法

3.1 基于經(jīng)典貝塞爾擬合模型的目標定位算法

基于傳統(tǒng)線性模型Hough變換的頻率擬合算法所存在的非線性頻率曲線擬合難題，一些學者提出了用非線性模型來代替?zhèn)鹘y(tǒng)線性模型，比如圓弧模型、橢圓模型［14］。非線性模型的使用能夠補償線性模型的非線性誤差，提高多普勒頻率曲線的擬合精度。但由于圓弧、橢圓的形狀是相對固定的，曲率無法任意調(diào)整，很難適應(yīng)復雜多變的多普勒瞬時頻率曲線的擬合從而影響定位精度。因此本文提出了一種改進的目標瞬時頻率擬合模型，采用能夠自適應(yīng)得改變曲率的自由曲線代替?zhèn)鹘y(tǒng)擬合模型，從而大大提高了目標定位精度。

用Qi(i=0，1，…n)來表示n次貝塞爾曲線的n+1 個控制頂點，用Bi，n(u)表示n個Bernstein 基函數(shù)中的第i個［15-16］。n次經(jīng)典貝塞爾曲線可以表示為

我們提出可以用一個二次經(jīng)典貝塞爾擬合模型來估計大慣量低速目標的IF，對傳統(tǒng)的線性模型進行改進。二次經(jīng)典貝塞爾擬合模型可以表示為

式中Q0和Q2分別是曲線的起點與終點，Q1是控制點，通過改變這三個控制頂點可以改變曲線的形狀。當雷達系統(tǒng)接收到回波信號時，利用STFT 對回波信號進行時頻分析，并從時頻圖中提取出時頻點上的峰值，得到對應(yīng)的時頻位置，從而可以初步得到目標回波的IF 曲線。將得到的IF 曲線的端點作為貝塞爾曲線的兩端的端點。然后利用基于傳統(tǒng)的線性模型的Hough 變換在IF 曲線端點附近擬合。將擬合出的直線模型進行連接得到一個交點，最后，再連接兩個端點得到一條連接線，過上述兩條擬合線的交點平行于連接線作直線，在直線上搜索控制點。因此，所提出算法的計算復雜度仍為O(n)。采用二次經(jīng)典貝塞爾擬合模型來代替?zhèn)鹘y(tǒng)頻率擬合模型，能夠提升擬合精度。

但是二階貝塞爾曲線只有一個控制點，當信號能量最大化時，確定控制點，在用于擬合的過程中對目標曲線的對稱性要求較高。此外，控制點確定時，二次經(jīng)典貝塞爾曲線的形狀將唯一確定。當需要進一步調(diào)整曲線形狀時，只能重新調(diào)整控制點，這將使計算十分復雜［17］。

3.2 基于擴展貝塞爾擬合模型的目標定位算法

為了解決非對稱性問題，并且在不改變控制點的情況下，根據(jù)目標的實際頻率進一步調(diào)整曲線形狀，使得擬合曲線能夠進一步在控制點左右不同程度地逼近實際曲線，我們又提出了改進的基于擴展貝塞爾模型的目標瞬時頻率估計方法。

首先，為了在不改變控制頂點的情況下構(gòu)造擴展貝塞爾曲線，提高了n次貝塞爾曲線的階數(shù)，得到如下公式

擴展貝塞爾曲線是通過改變上述公式中控制點的線性組合系數(shù)來定義的。當n為偶數(shù)時，引入n個參數(shù)，可表示為

擴展貝塞爾曲線可以用控制頂點和含參函數(shù)的線性組合表示。當n是偶數(shù)時，擴展貝塞爾曲線Pn(u)表示為

當n=2時，二次擴展貝塞爾擬合模型表示如下

式中Q0、Q2和Q1分別是由經(jīng)典貝塞爾模型確定的端點和控制點。N2，i(u) (i=0，1，2)是二次擴展貝塞爾模型含參數(shù)的調(diào)配函數(shù)，可以表示為

式中，u∈[0，1]，參數(shù)λ1，λ2∈[-2，1]。為了簡化擬合，可將二次擴展貝塞爾曲線表示為

式（18）中的Xi，Yi(i=0，1，2)分別表示經(jīng)典貝塞爾模型端點Q0、Q2和控制點Q1所對應(yīng)的橫縱坐標。由于二次擴展貝塞爾曲線中有兩個參數(shù)λ1和λ2，其值范圍為-2到1。如果使用傳統(tǒng)枚舉算法同時搜索兩個參數(shù)，計算復雜度將為O(n2)，這將影響檢測的運算速度和實時性。通過式（17）可以發(fā)現(xiàn)，兩個參數(shù)λ1和λ2分別調(diào)控擬合曲線與控制邊Q0Q1和Q1Q2的逼近程度，兩個參數(shù)在模型的調(diào)整中具有部分獨立性。因此，為了避免高維參數(shù)自由搜索的過程，本文提出了一種改進的線性參數(shù)搜索算法，用線性搜索代替多維搜索。首先，假設(shè)λ1為零，然后在-2 到1 的范圍內(nèi)調(diào)整λ2。當信號能量集中到最大程度時，確定λ2的值。接下來，在-2 到1 的范圍內(nèi)搜索參數(shù)λ1。基于擴展貝塞爾的頻率擬合模型能夠有效解決目標多普勒瞬時頻率曲線的非線性和不對稱性帶來的問題。

為了更加直觀清晰地反映基于擴展貝塞爾模型的霍夫變換的多普勒穿墻雷達定位方法，提出算法的流程圖如圖2所示。

為了直觀地反映線性模型、二次經(jīng)典貝塞爾擬合模型和二次擴展貝塞爾擬合模型的創(chuàng)建，截取一段目標瞬時頻率曲線。實驗中，目標運動路徑如圖3（a）所示，接收機Rx1 為定位坐標原點，發(fā)射機Tx和接收機Rx1、Rx2在同一水平線上，并設(shè)置為X軸，以垂直接收機Rx1的方向設(shè)為Y軸。雙頻連續(xù)波的載波頻率為2.4 GHz 和2.39 GHz，發(fā)射機與接收機距離為6.25 cm。目標瞬時頻率曲線從0 s到5.12 s生成。三種模型最終擬合結(jié)果如圖4（a）、（b）所示。實線代表實際的目標瞬時頻率曲線，不同形狀標記的線分別表示不同的頻率擬合模型。

對比圖4（c）、（d），我們發(fā)現(xiàn)這兩個參數(shù)在模型的調(diào)整中具有相對獨立性。當λ2=0 固定時，將λ1的值分別調(diào)整為-0.7、-0.3和0.5，得到三條不同的擴展貝塞爾擬合曲線，如圖4（c）所示?？梢钥闯觯瑪U展貝塞爾曲線正在逼近擴展貝塞爾控制多邊形的控制邊Q0Q1。當λ1=0 固定時，將λ2的值分別調(diào)整為-0.7、-0.3和0.5，得到三條不同的擴展貝塞爾擬合曲線，如圖4（d）所示?？梢钥闯?，此時擬合曲線正逐漸接近控制邊Q1Q2。因此，兩個參數(shù)在模型的調(diào)整中有相對獨立性，確定兩個參數(shù)的過程中用線性搜索代替多維搜索是十分有效的改進。

兩種參數(shù)搜索方法對比實驗結(jié)果見表1，結(jié)果表明依據(jù)兩個參數(shù)之間相對獨立的特性，采用線性搜索來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的多維搜索，在目標定位精度相差不大的情況下，大大降低了運算復雜度，縮短運算時間，優(yōu)化目標探測的實時性。

表1 目標瞬時頻率估計結(jié)果和定位結(jié)果的均方根誤差Tab.1 Root mean square error of target instantaneous frequency estimation result and location result

4 實驗結(jié)果及分析

4.1 實驗場景設(shè)置

為了驗證所提出的算法的性能，進行了一系列實驗。連續(xù)波穿墻雷達結(jié)構(gòu)和探測場景的原型如圖5。由于在實際的探測應(yīng)用中，對目標的空間位置所需的要求較小，且高度波達角和方位波達角的估計原理具有相似性。因此，目標探測中，在不失一般性地情況下，本實驗只估計人體目標的水平波達角和距離。對于目標在二維坐標上定位，設(shè)置接收機Rx1為定位坐標原點，發(fā)射機Tx和接收機Rx1、Rx2 在同一水平線上，并設(shè)置該水平線為X軸，以垂直接收機Rx1 的方向設(shè)為Y軸。本文的實驗中，雙頻連續(xù)波的載波頻率為2.4 GHz 和2.39 GHz，發(fā)射機與接收機距離為6.25 cm。目標1以1 m/s的橫向初始速度和0.25 m/s2的徑向加速度從其初始位置（2，2）移動。同時，目標2的初始位置為（2，1），初始速度為2 m/s，沿Y軸方向徑向加速度為0.2 m/s2，橫向加速度為0.1 m/s2，沿遠離雷達陣列方向移動。兩個目標的運動路徑如圖3（b）所示，整個實驗持續(xù)約5 s。

4.2 目標定位實驗結(jié)果及分析

使用基于擴展貝塞爾模型的霍夫變換的多普勒穿墻雷達定位算法的結(jié)果與傳統(tǒng)STFT 算法、線性模型、二次經(jīng)典貝塞爾擬合模型的對比見圖6。圖6（a）、（c）、（e）和（g）分別表示頻率擬合的結(jié)果，圖6（b）、（d）、（f）和（h）分別表示目標定位算法合成的運動軌跡結(jié)果。與傳統(tǒng)STFT 定位算法相比，三種擬合模型均能有效抑制頻率模糊。但線性模型無法擬合非線性明顯的曲線，具有很大的局限性。二次貝塞爾模型解決了非線性這一問題，但對擬合曲線的對稱性要求很高，無法滿足人體目標復雜多變的運動情景。因此，擴展貝塞爾擬合模型改進算法具有很大的優(yōu)越性。

實驗結(jié)果表明，本文提出的擴展貝塞爾擬合模型改進算法通過引入兩個形狀參數(shù)，并線性搜索、動態(tài)調(diào)整兩個參數(shù)，使得擴展貝塞爾擬合模型能夠根據(jù)實際目標瞬時頻率進行自適應(yīng)調(diào)整，在經(jīng)典貝塞爾模型的基礎(chǔ)上在控制點左右不同程度地逼近實際目標瞬時頻率曲線。不僅有效避免了不同目標間具有足夠接近甚至重疊的瞬時頻率時出現(xiàn)的“頻率模糊”效應(yīng)，還解決了目標瞬時頻率曲線非線性、非對稱性的擬合難題，相對于傳統(tǒng)擬合模型大大提高了目標瞬時頻率的估計精度，從而對目標的位置信息進行更精確的實時估測。

四種定位算法的結(jié)果誤差對比見表2，與STFT算法相比，頻率估計精度平均提高0.33 Hz，多目標定位精度平均提高0.4 m；與傳統(tǒng)線性模型相比，頻率估計精度平均提高0.10 Hz，多目標定位精度平均提高0.39 m；與無參數(shù)的經(jīng)典貝塞爾模型的霍夫變換相比，頻率估計精度平均提高0.03 Hz，多目標定位精度平均提高0.22 m。可以看出，基于改進Hough變換頻率擬合技術(shù)的目標定位算法具有很高效的定位性能。

表2 STFT、線性模型、二次經(jīng)典貝塞爾模型、二次擴展貝塞爾模型算法誤差對比Tab.2 Algorithm error comparison of STFT，linear model，quadratic classical Bezier model and quadratic extended Bezier model

5 結(jié)論

本文提出了一種基于改進Hough變換頻率擬合技術(shù)的目標定位算法，采用基于擴展貝塞爾模型的Hough變換頻率擬合模型對多目標定位時的頻率模糊區(qū)域進行瞬時頻率估計。通過引入形狀參數(shù)來構(gòu)造擴展貝塞爾曲線，并且依據(jù)兩個參數(shù)之間相對獨立的特性，用線性搜索代替?zhèn)鹘y(tǒng)多維搜索、動態(tài)調(diào)整兩個參數(shù)，利用擬合的曲線解調(diào)回波信號完成對多個目標分量的分離，并結(jié)合多普勒處理方法合成目標運動軌跡，實現(xiàn)對目標的實時定位。仿真結(jié)果表明，該算法不僅有效地解決了雙人體目標多普勒穿墻雷達定位中的頻率模糊問題，在頻率估計精度上優(yōu)于傳統(tǒng)的線性模型和經(jīng)典的貝塞爾模型，有效地解決了目標頻率曲線的非線性和不對稱性帶來的問題，進一步提高了目標運動軌跡復雜多變時的適用性，具有很高的實用價值。