三角形的概念與性質(zhì)的“問(wèn)題鏈”設(shè)計(jì)探究

薛靖宇　薛穎

摘 要：三角形是平面幾何中的基本圖形，是之前所學(xué)的線段、角等幾何基礎(chǔ)知識(shí)的延續(xù)，也是研究多邊形的重要基礎(chǔ)，多邊形的許多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)研究解決，在知識(shí)體系上具有承上啟下的作用。本文以三角形的概念與性質(zhì)為例，構(gòu)建符合學(xué)生認(rèn)知的“問(wèn)題鏈”，把握“問(wèn)題鏈”中問(wèn)題的教學(xué)功能，驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，在師生互動(dòng)中提高學(xué)生的思維能力。

關(guān)鍵詞：三角形的概念與性質(zhì);問(wèn)題鏈;教學(xué)功能

中圖分類(lèi)號(hào)：G40-01? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2022）04-0094-03

1 引言

問(wèn)題在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中占據(jù)舉足輕重的地位。數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾言：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，這個(gè)觀點(diǎn)得到了數(shù)學(xué)界和教育界的廣泛認(rèn)同。中國(guó)偉大教育家孔子的“不憤不啟，不悱不發(fā)”，就是指不要輕易地把答案告訴學(xué)生，也不要過(guò)多地替學(xué)生思考，更不要灌輸標(biāo)準(zhǔn)答案，要達(dá)到有悱而發(fā)。采用“問(wèn)題鏈”是導(dǎo)學(xué)理念下的一種有效地教學(xué)方式，受到很多中學(xué)教師的重視?！皢?wèn)題鏈”的有機(jī)串聯(lián)，有效地克服了課堂教學(xué)中某些問(wèn)題的細(xì)碎、離散、隨意等不足，不僅能更簡(jiǎn)潔有效地驅(qū)動(dòng)教學(xué)，還能讓學(xué)生在解決系列問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)習(xí)和提煉知識(shí)并獲得解決問(wèn)題的技巧策略[1，2]。

數(shù)學(xué)“問(wèn)題鏈”是指教師在課外預(yù)設(shè)并在課堂上以多種方式呈現(xiàn)給學(xué)生有序的主干數(shù)學(xué)問(wèn)題序列[3]，既為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的框架，又為學(xué)生發(fā)展高水平的思維提供了可能性[4]。教師通過(guò)一系列的“問(wèn)題鏈”設(shè)置，與學(xué)生實(shí)現(xiàn)“對(duì)話”，在師生交流互動(dòng)中，以問(wèn)題為抓手，以知識(shí)為基礎(chǔ)，以思維為導(dǎo)向，將晦澀難懂的數(shù)學(xué)邏輯轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的課堂建構(gòu)過(guò)程，從而提高學(xué)生的理解能力和創(chuàng)新意識(shí)。本文以人教版八年級(jí)上冊(cè)三角形的概念與性質(zhì)教學(xué)為例，設(shè)置“問(wèn)題鏈”，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，從而更好地接受課堂教學(xué)，提高教學(xué)效率，同時(shí)可以為教育領(lǐng)域其他學(xué)者研究“問(wèn)題鏈”教學(xué)提供一些參考。

2 “問(wèn)題鏈”中問(wèn)題的教學(xué)功能

“問(wèn)題鏈”的應(yīng)用方式在教學(xué)中是應(yīng)目標(biāo)而變化的，不同的教學(xué)目標(biāo)，所體現(xiàn)出來(lái)的教學(xué)功能也不同。唐恒鈞教授按照教學(xué)功能，將“問(wèn)題鏈”中的問(wèn)題分為起點(diǎn)問(wèn)題、延伸問(wèn)題和提煉問(wèn)題等三種基本類(lèi)型，為“問(wèn)題鏈”的設(shè)計(jì)應(yīng)用提供了理論支持。

起點(diǎn)問(wèn)題的首要任務(wù)是觸發(fā)學(xué)習(xí)的產(chǎn)生，設(shè)置該問(wèn)題的目的是希望能由此引發(fā)學(xué)生更多的思考;延伸問(wèn)題是在起點(diǎn)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，在數(shù)學(xué)思維方法的引導(dǎo)下生成的問(wèn)題，其功能是將學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)引向深入;提煉問(wèn)題是在起點(diǎn)問(wèn)題和延伸問(wèn)題的基礎(chǔ)上提出更具有普遍性、周延性的問(wèn)題，使學(xué)習(xí)者對(duì)某一主題的理解更為全面而深刻。而在“問(wèn)題鏈”的實(shí)施過(guò)程中，教師需要根據(jù)問(wèn)題的教學(xué)功能選擇恰當(dāng)?shù)某尸F(xiàn)方式。在問(wèn)題情境中，以教師為主提出起點(diǎn)問(wèn)題;在思考脈絡(luò)中，以學(xué)生為主提出具有多重可能性的延伸問(wèn)題;在概括反思中，以教師為主提出提煉問(wèn)題。

3 三角形的概念與性質(zhì)的“問(wèn)題鏈”設(shè)計(jì)與應(yīng)用

以“三角形的有關(guān)線段”課程內(nèi)容為例，記錄課堂教學(xué)案例，分析“問(wèn)題鏈”教學(xué)在課堂情境中的應(yīng)用，把握“問(wèn)題鏈”教學(xué)中問(wèn)題的教學(xué)功能及應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生思維的轉(zhuǎn)變，回歸數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)。

3.1 情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

問(wèn)題1 在小學(xué)我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了三角形，三角形看起來(lái)簡(jiǎn)單，但在實(shí)際生活中起著很大的作用。有哪位同學(xué)能起來(lái)說(shuō)一下，生活中你見(jiàn)到什么物體上有三角形呢？

設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際生活入手，學(xué)生有熟悉感，趣引“三角形”話題。

3.2 合作交流，探索新知

問(wèn)題2 觀察由房屋屋頂抽象出來(lái)的具體圖形回答以下問(wèn)題：（1）你能從圖1中找出3個(gè)不同的三角形嗎？并把它們畫(huà)下來(lái)。（2）這些三角形的共同特征是什么？

讓學(xué)生根據(jù)上面所找出的特點(diǎn)，描述什么樣的圖形是三角形。在學(xué)生充分交流后得出三角形定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫作三角形。

設(shè)計(jì)意圖：教師提出起點(diǎn)問(wèn)題（低起點(diǎn)）來(lái)探究新知，觸發(fā)學(xué)習(xí)欲望，降低思考難度學(xué)生容易上手，讓學(xué)生從感性到理性的認(rèn)識(shí)，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律。

問(wèn)題3 你所畫(huà)的三角形是圖中哪一個(gè)三角形？

引導(dǎo)學(xué)生在回憶角與平行線的表示方法的基礎(chǔ)上思考、交流，通過(guò)類(lèi)比得到：“三角形”的表示符號(hào)為“△”，可以把三角形頂點(diǎn)標(biāo)上字母，用三個(gè)頂點(diǎn)字母來(lái)表示。得到圖2中的三角形可表示為△ABC，讀作“三角形ABC”;線段AB、BC、AC都是三角形的邊，點(diǎn)A、B、C是三角形的頂點(diǎn)，∠A、∠B、∠C都是三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角，△ABC的三邊有時(shí)也用小寫(xiě)字母a、b、c來(lái)表示，如頂點(diǎn)A所對(duì)的邊BC用a來(lái)表示。

設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生不能明確指出所畫(huà)三角形是屋頂框架圖中的哪個(gè)三角形來(lái)引入三角形的表示方法。

問(wèn)題4 你能表示出剛才所找出的三角形嗎？圖中以AD為邊的三角形有哪些？圖中以B為頂點(diǎn)的三角形有哪些？

設(shè)計(jì)意圖：規(guī)范學(xué)生對(duì)三角形邊和角的書(shū)寫(xiě)，在學(xué)生回答后讓學(xué)生思考有無(wú)更好的表示方法，培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)思維。

3.3 動(dòng)手實(shí)踐，體會(huì)三邊關(guān)系

問(wèn)題5 在如圖3所示的△ABC中，假設(shè)有一個(gè)小螞蟻從點(diǎn)B沿三角形的邊爬到點(diǎn)C，圖中有幾條線路可以選擇？每條線路的長(zhǎng)度是一樣的嗎？

學(xué)生回答后，教師追問(wèn)：你能從中得到什么結(jié)論？初步引入三角形的三邊關(guān)系，為接下來(lái)探究做鋪墊。

設(shè)計(jì)意圖：教師通過(guò)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，希望引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)問(wèn)題思考的一般框架，并引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生后續(xù)的思考，產(chǎn)生延伸問(wèn)題。

問(wèn)題6 選擇5cm，6cm，8cm，13cm的小木條擺一擺，三根一組，共有幾種組合？其中哪些可以組成三角形？哪些不能構(gòu)成三角形？

學(xué)生七嘴八舌，發(fā)現(xiàn)5cm，6cm，13cm不能擺成三角形，教師順勢(shì)追問(wèn)：為什么這三個(gè)小木條不能構(gòu)成三角形呢？有的學(xué)生說(shuō)5cm太短了，還有說(shuō)是因?yàn)?3cm太長(zhǎng)，此時(shí)教師引導(dǎo)：你能看出三邊有什么關(guān)系嗎？得出結(jié)論5+6<13。

設(shè)計(jì)意圖：該問(wèn)題由起點(diǎn)問(wèn)題延伸而來(lái)，在思維上具有關(guān)聯(lián)性，屬于正向推廣思維，通過(guò)提前課外預(yù)設(shè)，經(jīng)過(guò)數(shù)次動(dòng)手操作，探索其可能存在的規(guī)律。

問(wèn)題7 兩邊長(zhǎng)度的和與第三邊比較還能怎么比呢？

發(fā)現(xiàn)5+13>6，6+13>5。有了這些鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生將視角放到兩邊的長(zhǎng)度和與第三邊的比較上。

問(wèn)題8 是否任意長(zhǎng)度的三條線段都能首尾相連構(gòu)成三角形呢？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)有一組兩邊長(zhǎng)度大于第三邊不能構(gòu)成三角形，兩組的也不能構(gòu)成三角形，只有三組兩邊長(zhǎng)度和大于第三邊的才能構(gòu)成三角形。這樣學(xué)生能夠深刻理解“任意”一詞的含義。

設(shè)計(jì)意圖：提出“怎樣的三條線段一定能?chē)扇切巍焙诵膯?wèn)題，貫穿了整節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)，使學(xué)生思維空間更為廣闊。

問(wèn)題9 兩邊長(zhǎng)度的差與第三邊之間有沒(méi)有聯(lián)系呢？

學(xué)生胸有成竹，類(lèi)比剛才的方法得出結(jié)論，此時(shí)教師順勢(shì)追問(wèn)：能否用我們之前學(xué)過(guò)的數(shù)與代數(shù)的知識(shí)來(lái)推導(dǎo)兩邊長(zhǎng)度的差與第三邊的關(guān)系呢？學(xué)生茅塞頓開(kāi)，可以通過(guò)不等式移項(xiàng)來(lái)解決。

設(shè)計(jì)意圖：留下懸念，讓學(xué)生通過(guò)類(lèi)比兩邊之和大于第三邊得出結(jié)論的方法去尋找兩邊之差與第三邊的關(guān)系，使問(wèn)題變得自然，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是有脈絡(luò)的、自然的，教師的提醒提供了另一種解決思路，使學(xué)生聯(lián)系舊知，學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，改善知識(shí)結(jié)構(gòu)。

問(wèn)題10 猜一猜三角形的三邊之間有什么數(shù)量關(guān)系呢？你能用什么方法證明自己的猜想是否正確？剛才的習(xí)題你都做對(duì)了嗎？

教師出示答案，四條小木條里可以組成三角形的以及不能組成三角形的是哪幾個(gè)組合，由學(xué)生驗(yàn)證結(jié)果，最后引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)前面一系列推導(dǎo)得出此問(wèn)題，使其更具有一般化，且過(guò)渡自然，學(xué)生自然而然能得到答案，符合問(wèn)題鏈階梯式遞進(jìn)的結(jié)構(gòu)。此時(shí)再讓學(xué)生驗(yàn)證之前所做習(xí)題結(jié)果，屬于數(shù)學(xué)思維的逆向反推。

3.4 例題講解，鞏固新知

問(wèn)題11 已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別是25cm，10cm，第三邊與其中一邊長(zhǎng)相等，則第三邊長(zhǎng)為多少？

問(wèn)題12 已知三角形的三邊長(zhǎng)為整數(shù)：2，x-3，4，則共可以組成多少個(gè)不同長(zhǎng)度的三角形？當(dāng)x為多少時(shí)，所組成的三角形的周長(zhǎng)最大？

設(shè)計(jì)意圖：此題為鞏固“三角形兩邊之和大于第三邊”而設(shè)。利用方程來(lái)解，注意利用定理判斷得是否合理，同時(shí)初步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

4 問(wèn)題評(píng)估及教學(xué)反思

教師設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”應(yīng)用到課堂教學(xué)中，根據(jù)當(dāng)堂的教學(xué)效果剖析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和問(wèn)題的水平，判斷“問(wèn)題鏈”設(shè)計(jì)是否對(duì)課堂教學(xué)有驅(qū)動(dòng)性。教師根據(jù)中學(xué)生給出的反饋可以判斷學(xué)生的認(rèn)知能力和思維水平以及難易程度的接受情況，從而根據(jù)其進(jìn)行不斷改進(jìn)和優(yōu)化，設(shè)計(jì)更為符合學(xué)生特點(diǎn)的“問(wèn)題鏈”。

在“問(wèn)題鏈”教學(xué)中，盡管教師在課前做了大量的準(zhǔn)備工作，準(zhǔn)備了盡可能詳細(xì)的問(wèn)題，而在實(shí)施過(guò)程中并不是完全由教師一一呈現(xiàn)在課堂上，需要根據(jù)不同的問(wèn)題功能選擇呈現(xiàn)方式，即教師提出問(wèn)題，學(xué)生根據(jù)自己的思維脈絡(luò)提出問(wèn)題，由此可以看出，“問(wèn)題鏈”教學(xué)并不是單一的模板，是需要與時(shí)俱進(jìn)的，是處于一個(gè)動(dòng)態(tài)的變化之中的，這樣才能為數(shù)學(xué)的教學(xué)注入不斷的生機(jī)與活力。

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參考文獻(xiàn)：

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〔2〕黎棟材，王尚志.于無(wú)聲處聽(tīng)驚雷——以一道高考試題例談問(wèn)題鏈教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通訊，2015，83（12）：21-23.

〔3〕唐恒鈞，黃輝.數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的三個(gè)關(guān)鍵[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020，42（05）：78-80.

〔4〕吳丹紅，唐恒鈞.基于問(wèn)題鏈的“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)探索[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2016，39（05）：7-9.

收稿日期：2022-01-24

通訊作者：薛穎，教授，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向：教育技術(shù)學(xué)中的遠(yuǎn)程教育和教學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)。