四旋翼飛行器的固定時間軌跡跟蹤控制

王 宏，劉宜成，涂海燕，熊宇航，陳 杰

(四川大學(xué)電氣工程學(xué)院，成都 610000)

0 引言

近年來，四旋翼飛行器憑借其小巧靈活、機(jī)動性強(qiáng)、造價低廉等諸多優(yōu)點(diǎn)，備受青睞而廣泛用于軍用、民用領(lǐng)域，受到國內(nèi)外各界的密切關(guān)注[1]。四旋翼飛行器系統(tǒng)是一種多輸入多輸出的復(fù)雜非線性欠驅(qū)動系統(tǒng)，具有強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，在飛行控制方面較為困難。因此，對四旋翼飛行器控制方法進(jìn)行研究具有理論意義和應(yīng)用價值。

為了提高四旋翼飛行器的軌跡跟蹤性能，國內(nèi)外眾多研究人員針對位置和姿態(tài)控制問題，提出了許多控制方法，較典型的有PID控制、反演控制[2]、滑?？刂芠3]等。文獻(xiàn)[4]提出一種基于有限時間收斂干擾觀測器的分層控制器，利用該觀測器在線估計未知的不確定性和擾動。然而，有限時間控制的收斂時間通常與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)，初始狀態(tài)偏離平衡點(diǎn)較遠(yuǎn)會導(dǎo)致收斂時間過長，為了解決該問題，文獻(xiàn)[5]首次提出了固定時間穩(wěn)定理論，并給出了固定時間穩(wěn)定的定義，保證收斂時間具有明確上界，擺脫了對初始狀態(tài)的依賴。之后，固定時間理論迅速成為研究熱點(diǎn)，文獻(xiàn)[6]針對柔性吸氣式高超聲速飛行器，提出一種基于固定時間擾動觀測器的固定時間反演控制算法，采用一種與初始狀態(tài)無關(guān)的固定時間擾動觀測器來估計和補(bǔ)償跟蹤過程中的不確定性。

本文針對四旋翼飛行器系統(tǒng)，基于反演法提出一種保證系統(tǒng)全局固定時間穩(wěn)定收斂的新型控制方法。使用固定時間干擾觀測器對四旋翼飛行器所受外界擾動與自身建模不確定性組成的混合擾動進(jìn)行估計，通過固定時間命令濾波器對虛擬信號進(jìn)行處理來避免因多次求導(dǎo)而引起的“微分爆炸”問題，相比于傳統(tǒng)命令濾波器[7]，可使濾波器的輸出更加接近于虛擬控制信號的導(dǎo)數(shù)。建立一種新的誤差補(bǔ)償系統(tǒng)來減小微分器帶來的影響，保證四旋翼系統(tǒng)的跟蹤誤差可以在固定時間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)附近的一個小鄰域內(nèi)，且收斂時間上界與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)，同時使得閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號都是有界的。最后，通過仿真驗(yàn)證了本文方法的有效性和優(yōu)越性。

1 四旋翼飛行器模型描述和預(yù)備知識

1.1 四旋翼飛行器模型

四旋翼飛行器是具有六自由度的單剛體結(jié)構(gòu)，如圖1所示，要準(zhǔn)確地描述四旋翼飛行器的空間運(yùn)動狀態(tài)，需按不同坐標(biāo)原點(diǎn)位置建立慣性坐標(biāo)系E(xe,ye,ze)和機(jī)體坐標(biāo)系B(xb,yb,zb)，f1～f4表示4個旋翼產(chǎn)生的升力。

圖1 四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of quadrotor aircraft

根據(jù)四旋翼飛行器飛行原理可知，其所有運(yùn)動方式都直接由4個旋翼的轉(zhuǎn)速決定，而轉(zhuǎn)速的快慢則由控制輸入的大小決定。因此，為了便于理解與設(shè)計控制器，結(jié)合旋翼動力學(xué)，四旋翼飛行器線速度的控制輸入定義為U1，橫滾角、俯仰角和偏航角的控制輸入定義為τ=[τ1τ2τ3]，各控制輸入量與各槳葉轉(zhuǎn)速的關(guān)系為

(1)

(2)

其中：Ωi(i=1,2,3,4)為旋翼的轉(zhuǎn)速；kf和kN分別為旋翼升力系數(shù)和扭力系數(shù)的簡化值；l為各電機(jī)中心與質(zhì)心的距離。

四旋翼飛行器位置子系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述可寫為

(3)

其中：[xyz]T，[vxvyvz]T，分別為四旋翼飛行器在慣性系下的位置向量和線速度向量，分別記為ξ和v;U1表示線速度的控制輸入；[d1xd1yd1z]T為由風(fēng)力、空氣阻力等外部干擾和系統(tǒng)自身建模不確定性組成的混合擾動，記為d1；m為機(jī)體質(zhì)量；g為重力加速度。

四旋翼飛行器姿態(tài)角子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可寫為

(4)

式中：η=[φθψ]T，為歐拉角向量，φ,θ,ψ分別表示橫滾角、俯仰角和偏航角;w=[pqr]T，為角速率向量，且四旋翼飛行器角速率子系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述可寫為

(5)

式中：d2=[d2φd2θd2ψ]T,表示風(fēng)力、空氣阻力等外部干擾和系統(tǒng)自身建模不確定性組成的混合擾動；M=[qr(Jy-Jz)/Jxpr(Jz-Jx)/Jypq(Jx-Jy)/Jz],Jx，Jy，Jz分別為繞機(jī)體xb，yb，zb軸的轉(zhuǎn)動慣量;N=diag(1/Jx,1/Jy,1/Jz)。

做如下一般性假設(shè)。

假設(shè)1 期望軌跡[xdydzd]T和ψd連續(xù)有界，其一階導(dǎo)數(shù)存在且有界。

假設(shè)2 風(fēng)力、空氣阻力等外部干擾和系統(tǒng)自身建模不確定性組成的混合擾動di有界且受限于已知充分光滑非線性函數(shù)Γi，即||

di||

≤Γi,i=1,2。

1.2 預(yù)備知識

考慮如下自治非線性系統(tǒng)

(6)

式中：x(t)∈Rn，是系統(tǒng)的狀態(tài)變量；f(x(t))∈R+×Rn,表示光滑的非線性函數(shù)。

(7)

(8)

式中，常數(shù)ρ∈(0,1)。收斂到殘差集內(nèi)的時間滿足

(9)

引理3[8]對于xi∈R,i=1,2,3,…,n,λ∈(0,1]，如下關(guān)系成立

(10)

引理4[9]楊不等式方程

(11)

式中,a,b大于0，ε為任意正整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)ab=ε時等號成立。

2 控制器設(shè)計

2.1 固定時間干擾觀測器

根據(jù)所建數(shù)學(xué)模型，四旋翼飛行器在平移運(yùn)動過程中受到的混合擾動可以記為d1，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動過程中所受的混合擾動可以記為d2。

針對擾動d1設(shè)計固定時間干擾觀測器如下

(12)

(13)

針對擾動d2設(shè)計固定時間干擾觀測器如下

(14)

(15)

2.2 固定時間命令濾波器

本文使用固定時間濾波器[11-12]，可以使濾波跟蹤誤差在固定時間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)附近一個極小的閉球區(qū)間內(nèi)，濾波器形式如下

(16)

2.3 位置子系統(tǒng)控制器設(shè)計

為了簡化控制器的設(shè)計，根據(jù)位置子系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述式(3)，可以定義虛擬控制輸入為

(17)

式中，ux，uy，uz分別是x，y，z方向上的虛擬控制輸入，記為u。則平移運(yùn)動學(xué)方程可以寫為

(18)

(19)

(20)

對位置誤差設(shè)計虛擬控制律ve，對線速度誤差設(shè)計控制輸入u，分別為

(21)

式中：ki=diag(kix,kiy,kiz),si=diag(six,siy,siz)，i=1,2，均為大于0的常參數(shù)；e1,e2為補(bǔ)償后的跟蹤誤差；γ為常參數(shù)且滿足0<γ<1。因?yàn)槭褂妹顬V波器會產(chǎn)生濾波誤差，影響系統(tǒng)性能，本文引入誤差補(bǔ)償機(jī)制，e1,e2分別定義為

(22)

(23)

式中，參數(shù)li=diag(lix,liy,liz)>0,i=1,2。

在進(jìn)行姿態(tài)控制器之前，需獲取機(jī)體的期望姿態(tài)信息ηd，由虛擬控制輸入ux，uy，uz可以反解得到位置子系統(tǒng)的速度控制輸入U1為

(24)

期望偏航角ψd為給定條件，由U1可解得期望橫滾角φd和期望俯仰角θd分別為

(25)

2.4 姿態(tài)子系統(tǒng)控制器設(shè)計

歐拉角和角速率的誤差定義為

(26)

(27)

式中：ki=diag(kiφ,kiθ,kiψ)，si=diag(siφ,siθ,siψ)，為大于0的設(shè)計參數(shù),i=3,4；e3,e4是命令濾波誤差信號補(bǔ)償后的跟蹤誤差，分別定義為

(28)

(29)

式中，li=diag(liφ,liθ,liψ),為大于0的待設(shè)計常參數(shù)，i=3,4。

3 穩(wěn)定性分析

總結(jié)以上設(shè)計，建立補(bǔ)償后的整個跟蹤誤差子系統(tǒng)為

(30)

考慮誤差e1設(shè)計候補(bǔ)李雅普諾夫函數(shù)V1為

(31)

對式(31)求導(dǎo)得

(32)

考慮誤差e2設(shè)計修正后的候補(bǔ)李雅普諾夫函數(shù)V2為

(33)

對式(33)求導(dǎo)得

(34)

(35)

對式(35)求導(dǎo)得

(36)

考慮誤差e4設(shè)計候補(bǔ)李雅普諾夫函數(shù)V4為

(37)

對式(37)求導(dǎo)得

(38)

根據(jù)引理4可得

(39)

(40)

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，在Matlab中針對四旋翼飛行器模型進(jìn)行了仿真，四旋翼的主要參數(shù)見表1。

表1 四旋翼飛行器模型參數(shù)Table 1 Parameters of quadrotor aircraft model

固定時間濾波器的參數(shù)選擇為λ1=19,λ2=2，控制器參數(shù)選擇:ki=diag(12,12,12),i=1,2，k3=diag(7.5,7.5,7.5),k4=diag(18,18,18),si1=diag(10,10,10),i=1,2，si2=diag(20,20,20),i=1,2，si1=diag(5,5,5),i=3,4,si2=diag(8,8,8),i=3,4，li=diag(2,2,2),i=1,2,3,4。

在上述初始條件和模型參數(shù)等條件下，將本文方法與文獻(xiàn)[13]所提出的有限時間干擾觀測器方法進(jìn)行對比仿真。仿真結(jié)果如圖2～5所示。

圖2 位置響應(yīng)曲線對比Fig.2 Comparison of position response curves

從圖2來看，本文所設(shè)計的控制器在x,y,z方向上分別于1.8 s,2 s,3.8 s左右實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤且跟蹤誤差收斂到零的附近，而文獻(xiàn)[13]所提方法則分別于3.2 s,3 s,4.5 s左右實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定收斂。從圖3來看，本文方法的收斂精度高于有限時間干擾觀測器方法的精度。從圖4和圖5來看，本文方法在姿態(tài)控制上比文獻(xiàn)[13]所提方法的收斂速度更快。以上仿真結(jié)果表明本文設(shè)計方法在系統(tǒng)跟蹤控制上的有效性和優(yōu)越性。

圖3 位置誤差曲線對比Fig.3 Comparison of position error curves

圖4 姿態(tài)響應(yīng)曲線對比Fig.4 Comparison of attitude response curves

圖5 姿態(tài)誤差曲線對比Fig.5 Comparison of attitude error curves

5 結(jié)論

針對四旋翼飛行器軌跡跟蹤穩(wěn)定問題，本文提出一種基于固定時間干擾觀測器的固定時間反演控制算法。將四旋翼飛行器分為位置和姿態(tài)兩個子系統(tǒng)分別進(jìn)行控制，降低了耦合性與設(shè)計難度。使用固定時間干擾觀測器對四旋翼飛行器受到的內(nèi)外部混合擾動進(jìn)行估計，以此來抑制干擾。采用固定時間命令濾波器對虛擬控制信號進(jìn)行處理，有效地解決了傳統(tǒng)反演法中的“微分爆炸”問題，并建立誤差補(bǔ)償系統(tǒng)對濾波誤差進(jìn)行補(bǔ)償，提高系統(tǒng)的動態(tài)性能。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明系統(tǒng)可以在固定時間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)附近的一個非常小的閉球區(qū)間內(nèi)。最后，通過仿真驗(yàn)證了本文設(shè)計方法的有效性和優(yōu)越性。