基于非均勻采樣系統(tǒng)的無(wú)模型自適應(yīng)控制

葉金鑫，謝麗蓉，王宏偉

(1.新疆大學(xué)，烏魯木齊 830000;2.大連理工大學(xué),遼寧 大連 116000)

0 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)的飛速發(fā)展，非線性系統(tǒng)也變得越來(lái)越復(fù)雜，然而由于不同條件的限制，系統(tǒng)采用不同的頻率進(jìn)行工作，因而形成了多率采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱多率系統(tǒng))，因此想要建立系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其模型進(jìn)行控制相當(dāng)困難[1]。

在輸入非均勻刷新和輸出周期采樣系統(tǒng)中，許多學(xué)者進(jìn)行了系統(tǒng)辨識(shí)[1-3]和控制[4-9]方面的研究，雖然在非均勻系統(tǒng)控制方面取得了很多成果，但大多數(shù)仍集中在線性系統(tǒng)上。近年來(lái)，對(duì)于非均勻采樣的非線性系統(tǒng)辨識(shí)[10-13]已經(jīng)獲得許多研究成果，但是對(duì)于非線性系統(tǒng)的控制方法卻并不多。在現(xiàn)實(shí)生活中，大多數(shù)系統(tǒng)具備非線性、大時(shí)滯強(qiáng)耦合特性，且存在建模困難、難以設(shè)計(jì)高精度的控制器等問(wèn)題。侯忠生等[14-15]針對(duì)這類系統(tǒng)問(wèn)題，提出了一類無(wú)模型自適應(yīng)控制，該方法的特點(diǎn)是：一種通過(guò)線性化設(shè)計(jì)的控制器，在離散非線性系統(tǒng)的等效數(shù)據(jù)點(diǎn)上使用了一種新的動(dòng)態(tài)方法，該方法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，不需知道系統(tǒng)的確切模型，只需知道系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)即可。對(duì)于非線性系統(tǒng)的無(wú)模型自適應(yīng)控制有很多研究成果，包括無(wú)模型自適應(yīng)魯棒控制[16-17]、無(wú)模型自適應(yīng)積分終端滑?？刂芠18]、自適應(yīng)積分滑?？刂芠19-20]、無(wú)模型自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制[21-22]、無(wú)模型自適應(yīng)滑模矢量控制[23-24]、無(wú)模型自適應(yīng)迭代控制[25]及無(wú)模型參數(shù)迭代尋優(yōu)控制[26-27]。但對(duì)于非均勻采樣非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[28]提出了一種利用支持向量回歸建模，設(shè)計(jì)了預(yù)測(cè)控制算法；文獻(xiàn)[29]利用在當(dāng)前輸入輸出數(shù)據(jù)平衡點(diǎn)處建立線性化數(shù)據(jù)模型，在投影算法計(jì)算下，對(duì)偽雅可比矩陣(Pseudo Jacobian Matrix，PJM)在線實(shí)時(shí)估計(jì)，設(shè)計(jì)出了無(wú)模型自適應(yīng)控制器，并取得了很好的控制效果；文獻(xiàn)[30]對(duì)非均勻采樣系統(tǒng)利用余弦項(xiàng)展開(kāi)，提出了一種采用非線性模型預(yù)測(cè)控制，取得了較好的效果。綜上所述，常規(guī)的非均勻采樣非線性離散系統(tǒng)的無(wú)模型自適應(yīng)控制中存在著兩個(gè)問(wèn)題：其一，未考慮輸出采集數(shù)據(jù)受擾動(dòng)誤差帶來(lái)的影響，所設(shè)計(jì)的控制器控制精度會(huì)受到影響；其二，懲罰因子主要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)選擇，并且不能自動(dòng)將其調(diào)整為最佳值，懲罰因子會(huì)影響系統(tǒng)的收斂速度、超調(diào)量等整體系統(tǒng)的性能。

本文主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)為：采用跟蹤-微分器[31-32]對(duì)輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，利用輸入數(shù)據(jù)和輸出濾波數(shù)據(jù)在等價(jià)動(dòng)態(tài)平衡點(diǎn)處建立動(dòng)態(tài)化模型，并設(shè)計(jì)一種新的無(wú)模型自適應(yīng)控制器；利用最速下降法對(duì)控制律和PJM估計(jì)公式中的懲罰系數(shù)迭代優(yōu)化，并對(duì)該控制方法穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

1 非均勻采樣系統(tǒng)問(wèn)題的描述

1.1 非均勻采樣非線性模型

考慮如下連續(xù)非線性系統(tǒng)[29]

(1)

式中，y(t)∈R1,u*(t)∈R1,x(t)∈Rn,Γ(·)分別為系統(tǒng)輸出、輸入、狀態(tài)向量和非線性函數(shù)，R表示實(shí)數(shù)集。式(1)中的系統(tǒng)輸入信號(hào)u*(t)滿足

(2)

(3)

采用提升技術(shù)，提升變量構(gòu)造如下

(4)

此時(shí)，可將系統(tǒng)式(3)轉(zhuǎn)換成如下離散系統(tǒng)，即

(5)

1.2 線性模型與非線性模型的關(guān)系

設(shè)連續(xù)過(guò)程的線性狀態(tài)空間模型為

(6)

式中，Ac,Bc,C為適當(dāng)維數(shù)的矩陣,Ac∈Rn×n,Bc∈Rn×p。

由1.1節(jié)可知，非均勻采樣輸入數(shù)據(jù)和均勻采樣輸出數(shù)據(jù)分別為u*(kT+ti)，y(kT)，并且i=1,2,…,p-1。所以對(duì)一個(gè)幀周期T內(nèi)離散化系統(tǒng)式(6)，即

(7)

將式(6)～(7)整理得到如下離散狀態(tài)空間模型

(8)

(9)

令I(lǐng)n是n階單位矩陣，系統(tǒng)式(8)可等價(jià)為

(10)

也可表示為一般形式

(11)

式中，

{

a(z-1)=z-ndet[zIn-Α]=1+a1z-1+a2z-2+…+anz-n

b0(z-1)=b00z0+b01z-1+b02z-2+…+b0nz-n

?

bi(z-1)=bi1z-1+bi2z-2+…+binz-n,

i=1,2,…,n。

在文獻(xiàn)[29]中，非線性系統(tǒng)式(5)與線性系統(tǒng)式(8)的關(guān)系是：非線性系統(tǒng)Sp可以看作是在多個(gè)工作點(diǎn)的局部線性模型式(11)經(jīng)過(guò)非線性加權(quán)組合得到，即

(12)

式中，φ(kT)=[y(kT-T),…,y(kT-nT),u*(kT-T),…,u*(kT-nT),u*(kT+t1-T),…，u*(kT+t1-nT),u*(kT+tp-1-T),…,u*(kT+tp-1-nT)]T。

模型式(12)是fl[φ(kT)]在第l個(gè)非線性加權(quán)函數(shù)和gl[φ(kT)]在第l個(gè)工作點(diǎn)處的局部線性函數(shù)。因此模型式(12)進(jìn)一步表示為

y(kT)=f(φ(kT))。

(13)

2 改進(jìn)的無(wú)模型自適應(yīng)控制

可將系統(tǒng)式(13)看作是多輸入單輸出(MISO)系統(tǒng)，表示為

y(kT+T)=f(y(kT),…,y(kT-nyT),u(kT),…,u(kT-nuT))

(14)

式中:

(15)

假設(shè) 1[14-15]函數(shù)f(·)是關(guān)于系統(tǒng)控制輸入信號(hào)u(kT)的偏導(dǎo)數(shù),是連續(xù)的。

假設(shè) 2[14-15]非線性函數(shù)式(14)滿足廣義Lipschitz條件，即對(duì)于任意時(shí)刻k1≠k2，k1≥0,k2≥0和u(k1T)≠u(k2T)，均有

||
y(k1T+T)-y(k2T+T)||
≤a||
u(k1T)-u(k2T)||

(16)

式中:y(kiT+T)=f(y(kiT),…,y(kiT-nyT);u(kiT),…,u(kiT-nuT)),i=1,2;常數(shù)a>0。

定理1[14-15]若非線性系統(tǒng)泛模型式(14)滿足假設(shè)1和假設(shè)2，且對(duì)所有時(shí)刻kT，有||

Δu(kT)||

=||

u(kT)-

u(kT-T)||≠0，一定存在一個(gè)被稱為PJM的時(shí)變參數(shù)Φ(kT)∈Rp×1，使得泛模型系統(tǒng)式(14)等價(jià)于如下緊格式動(dòng)態(tài)線性化(CDFL)的一類泛模型

Δy(kT+T)=ΦT(kT)Δu(kT)

(17)

Φ(kT)||

≤b，常數(shù)b>0。

2.1 跟蹤-微分器

本文算法中加入跟蹤-微分器[31-32]，目的是對(duì)非均勻采樣非線性系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)y(kT)進(jìn)行濾波，提高算法對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)或噪聲的抗干擾能力。跟蹤-微分器原理是：對(duì)于一個(gè)跟蹤微分系統(tǒng)，給定一個(gè)非均勻采樣系統(tǒng)的輸出信號(hào)v(t)，它將會(huì)輸出產(chǎn)生兩個(gè)信號(hào)x1和x2，其中，x1是v(t)所要的輸出跟蹤信號(hào)，x2是v(t)的近似輸出微分信號(hào)。

二階離散的跟蹤-微分器公式為

(18)

式中：p為離散化采樣步長(zhǎng)；h和r分別為濾波因子和速度因子。定義非線性函數(shù)f(·)為

{f(x1(kT),x2(kT),v(kT),r,h)=-rsat(g(kT),δ)y(kT)=x1(kT)-v(kT)+hx2(kT)δ=hr,δ1=hδ

(19)

(20)

(21)

2.2 無(wú)模型自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

考慮如下控制準(zhǔn)則函數(shù)

(22)

式中，懲罰因子λ>0，用于調(diào)節(jié)輸入量過(guò)大的變化。將式(17)代入準(zhǔn)則函數(shù)，并對(duì)其極小化，即

(u(kT)-u(kT-T)))+2λ(u(kT)-u(kT-T))=0

(23)

求得控制器

u(kT)=u(kT-T)+(λI+Φ(kT)ΦT(kT))-1·

Φ(kT)(y*(kT+T)-y(kT))

(24)

式中，I為單位矩陣。

由于每次實(shí)施控制算法計(jì)算時(shí)，矩陣都要求逆運(yùn)算，當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)的維數(shù)很大時(shí)，求逆非常耗時(shí)間，不利于現(xiàn)實(shí)中的運(yùn)用,因此對(duì)控制算法進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到不含求逆的改進(jìn)控制算法

(25)

式中，步長(zhǎng)因子ρ∈(0,1]，它的加入使算法更具靈活性，且將在穩(wěn)定性和收斂性分析中用到。

對(duì)于一般系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，即使是簡(jiǎn)單的線性系統(tǒng)，偽偏導(dǎo)數(shù)Φ(kT)一般也是未知的、時(shí)變的。因此，為實(shí)施控制算法式(25)，采用如下性能指標(biāo)在線估計(jì)偽偏導(dǎo)數(shù)Φ(kT)的值

(26)

式中，懲罰因子μ>0，它的加入是為了限制PJM的估計(jì)值產(chǎn)生過(guò)大的變化。

對(duì)準(zhǔn)則函數(shù)進(jìn)行求偏導(dǎo)，令其導(dǎo)數(shù)等于零，得

(27)

由于PJM辨識(shí)算法需要求逆運(yùn)算，當(dāng)系統(tǒng)輸入維數(shù)很大時(shí)，求逆是非常麻煩的，不利于實(shí)際運(yùn)用，因此對(duì)辨識(shí)算法進(jìn)行簡(jiǎn)化得

。

(28)

2.3 對(duì)懲罰因子進(jìn)行改進(jìn)

懲罰因子λ和μ具有兩個(gè)主要功能：1)限制控制量和PJM輸入變化，這些變化會(huì)影響系統(tǒng)響應(yīng)速度和超調(diào)量，同時(shí)減少系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差并確?？刂戚斎胄盘?hào)的平滑性；2)防止式(25)和式(28)出現(xiàn)分母為零的特殊情況，選擇合適的λ和μ值可確保系統(tǒng)穩(wěn)定性，并在閉環(huán)系統(tǒng)中優(yōu)化響應(yīng)速度和超調(diào)量之間的平衡?，F(xiàn)有方法主要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)選擇λ和μ，并且不能自動(dòng)將其調(diào)整為最佳值。本文采用最速下降法進(jìn)行優(yōu)化，提出了懲罰因子在線迭代自適應(yīng)的改進(jìn)方法，迭代尋找能使控制律和偽偏導(dǎo)數(shù)達(dá)到最優(yōu)的懲罰因子值。

1)對(duì)控制律中的懲罰因子改進(jìn)。

對(duì)式(25)的懲罰因子做迭代改進(jìn)，即

λ(kT+T)=λ(kT)-β1▽J(u(kT))

(29)

式中,β1為學(xué)習(xí)率。

(30)

2)對(duì)PJM中的懲罰因子改進(jìn)。

對(duì)式(28)的懲罰因子做迭代改進(jìn)，即

(31)

式中,β2為學(xué)習(xí)率。

(32)

因此就有PJM辨識(shí)算法

(33)

對(duì)于式(33)引入如下參數(shù)重置機(jī)制

(34)

Δu(kT-T)||

式中，ε是一個(gè)充分小的正數(shù)。參數(shù)重置機(jī)制的引入是為了使PJM辨識(shí)算法具有更強(qiáng)大的功能來(lái)跟蹤時(shí)變參數(shù)。

得到控制器算法為

(35)

最后，將整個(gè)改進(jìn)無(wú)模型自適應(yīng)控制算法總結(jié)如下：

1)設(shè)置系統(tǒng)輸入、輸出初值和PJM初值，以及參數(shù)η∈(0,2]，μ(1)>0，ρ∈(0,1]，λ(1)>0;

2)采集非均勻采樣非線性系統(tǒng)當(dāng)前實(shí)際輸出y(kT)和期望輸出yr(kT+T);

3)設(shè)置參數(shù)離散化采樣步長(zhǎng)p、濾波因子h、速度因子r,由式(18)～(21)得到輸出數(shù)據(jù)y(kT)的跟蹤數(shù)據(jù)x1(kT);

5)利用式(35)計(jì)算并實(shí)施u(kT)；

6)設(shè)置參數(shù)學(xué)習(xí)率β1,β2，根據(jù)式(29)和式(31)分別對(duì)λ(kT),μ(kT)進(jìn)行迭代更新;

7)返回2)，k=k+1，繼續(xù)循環(huán)。

3 性能分析

為了分析所得新設(shè)計(jì)的MFAC閉環(huán)系統(tǒng)收斂性，做如下引理。

限于篇幅，證明略。

引理2定義

(36)

限于篇幅，證明略。

定理2對(duì)于非均勻采樣非線性系統(tǒng)(14)，在假設(shè)1和假設(shè)2滿足的條件下，MFAC方案式(33)～(35)具有如下性質(zhì)：當(dāng)y*(kT+T)=y*，為常數(shù)時(shí)，存在一個(gè)正數(shù)λmin>0，使得當(dāng)λ*(kT)>λmin時(shí)有：

2)閉環(huán)系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定收斂的，即輸出序列{y(kT)}和輸入序列{u(kT)}是有界的。

限于篇幅，證明略。

4 仿真實(shí)例

4.1 仿真1

考慮如下非均勻非線性非仿射離散系統(tǒng)

y(kT+T)=[y(kT)y(kT-T)y(kT-2T)·
(u*(kT+t1-T)(y(kT)-1)+u*(kT))]/
[1+y2(kT)+y2(kT-T)+y2(kT-2T)]

(37)

該非均勻采樣非線性系統(tǒng)的采樣方案為：幀周期T=1 s，p=2，t1=0.4 s，被控系統(tǒng)的參數(shù)、階數(shù)都是時(shí)變的。

期望輸出信號(hào)yr(kT+T)=0.5×(-1)round(kT/50)。

為了驗(yàn)證本文控制方法的優(yōu)越性，使用本文控制方法與MFAC方法分別對(duì)輸入刷新和輸出周期采樣非線性系統(tǒng)的控制仿真圖進(jìn)行比較。MFAC方法的懲罰因子選取為λ=1，μ=1；本文控制方法的懲罰因子λ(1)=1,μ(1)=1，步長(zhǎng)因子選為β1=0.01，β2=0.5，仿真結(jié)果見(jiàn)圖1-圖3。

圖1 非均勻采樣系統(tǒng)的跟蹤曲線對(duì)比圖(仿真1)Fig.1 Comparison of tracking curves of non-uniform sampling system(Simulation 1)

圖2 控制輸入曲線對(duì)比圖(仿真1)Fig.2 Comparison of control input curves(Simulation 1)

圖3 絕對(duì)值誤差曲線對(duì)比圖(仿真1)Fig.3 Comparison of absolute value error curves(Simulation 1)

由圖1可知，本文提出的控制方法明顯優(yōu)于MFAC方法，該方法雖然有超調(diào)量，但是超調(diào)過(guò)后能夠很好地貼近跟蹤曲線，收斂速度快。由圖2可知，本文的控制輸入量波動(dòng)小。

此外,通過(guò)絕對(duì)值誤差曲線對(duì)本文所設(shè)計(jì)的控制方法與MFAC方法進(jìn)行仿真以及性能對(duì)比。平均絕對(duì)值誤差為

(38)

均方根誤差為

(39)

由圖3可知，本文控制方法的絕對(duì)值誤差明顯小于MFAC方法的絕對(duì)值誤差。

表1所示為仿真1中2種方法性能指標(biāo)比較。

表1 2種方法性能指標(biāo)比較(仿真1)Table 1 Comparison of performance indexes of two methods(Simulation 1)

由表1可知，性能指標(biāo)明顯增大，綜合而言，本文控制方法具有更優(yōu)的控制性能。

4.2 仿真2

為了進(jìn)一步說(shuō)明本文方法的有效性，采用非均勻非線性非仿射離散系統(tǒng)[29]，即

(40)

期望輸出信號(hào)

(41)

該非均勻采樣非線性系統(tǒng)是由兩個(gè)子系統(tǒng)組成，采樣方案為：幀周期T=1 s，p=2，t1=0.6 s，被控系統(tǒng)的參數(shù)、階數(shù)都是時(shí)變的。

文獻(xiàn)[29]控制方法的懲罰因子選取為λ=0.6,μ=0.5，本文控制方法的懲罰因子選取為λ(1)=0.6,μ(1)=0.5，步長(zhǎng)因子選取為β1=0.05，β2=0.1，仿真結(jié)果見(jiàn)圖4-圖6。

圖4 非均勻采樣系統(tǒng)的跟蹤曲線對(duì)比圖(仿真2)Fig.4 Comparison of tracking curves of non-uniform sampling system(Simulation 2)

圖5 控制輸入曲線對(duì)比圖(仿真2)Fig.5 Comparison of control input curves(Simulation 2)

圖6 絕對(duì)值誤差曲線對(duì)比圖(仿真2)Fig.6 Comparison of absolute value error curves(Simulation 2)

通過(guò)與文獻(xiàn)[29]仿真對(duì)比，由圖4可知，本文控制方法跟蹤曲線超調(diào)量小、波動(dòng)小，能夠很好地貼近曲線。由圖5可知，本文控制輸入曲線波動(dòng)大，但能夠很好地跟蹤系統(tǒng)輸出。由圖6可知，本文控制方法的絕對(duì)值誤差小于文獻(xiàn)[29]控制方法的絕對(duì)值誤差。

表2所示為仿真2中2種方法性能指標(biāo)比較。

表2 2種方法性能指標(biāo)比較(仿真2)Table 2 Comparison of performance indexes of two methods(Simulation 2)

由表2可知，無(wú)論是平均絕對(duì)值誤差還是均方根誤差，本文控制方法都比文獻(xiàn)[29]控制方法要小，因此，本文控制方法具有更好的控制性能。

5 結(jié)論

對(duì)于非均勻采樣離散時(shí)間非線性系統(tǒng)，本文提出一種新的無(wú)模型自適應(yīng)控制方法。該方法利用跟蹤-微分器對(duì)系統(tǒng)的輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，設(shè)計(jì)無(wú)模型自適應(yīng)控制器，并且使用最速下降法對(duì)控制律和PJM估計(jì)中的懲罰系數(shù)進(jìn)行迭代優(yōu)化。仿真結(jié)果表明：實(shí)際曲線能夠很好地貼近期望曲線，減少擾動(dòng)誤差帶來(lái)的影響，控制精度高，說(shuō)明了本文所設(shè)計(jì)控制方法的可行性和有效性。對(duì)于輸入非均勻周期刷新和輸出非均勻周期采樣非線性系統(tǒng)，下一步工作對(duì)其進(jìn)行探討和研究。