考慮制造誤差的工業(yè)機器人精度可靠性分析＊

李國發(fā) 韓良晟 何佳龍 王繼利

（①吉林大學數控裝備可靠性教育部重點實驗室，吉林 長春 130015；②吉林大學機械與航空航天工程學院，吉林 長春 130015）

工業(yè)機器人的定位精度是衡量機器人性能的重要指標，包括（絕對）定位精度和重復定位精度。工業(yè)機器人的定位精度可靠性是指工業(yè)機器人末端執(zhí)行器定位點落在精度域內的概率，是從概率的角度對定位精度進行量化[1]。工業(yè)機器人的運動學模型是用于描述工業(yè)機器人各關節(jié)運動與末端執(zhí)行器之間的關系的模型，然而由于工業(yè)機器人結構復雜以及加工和裝配誤差等不確定因素的存在，使得機器人理想運動學模型和實際運動學模型之間存在誤差，建立機器人運動學誤差模型是機器人定位精度可靠性研究的基礎。Mei B提出了一種針對五軸并聯(lián)機械手彈性幾何誤差的建模方法[2]，揭示了結構誤差、重力作用下的彈性變形和柔量參數誤差對位姿偏差的綜合影響；Li Y建立了考慮平行度誤差的Delta機器人的運動學模型并進行了誤差分析[3]；Fu Z基于Lie理論提出一種機器人統(tǒng)一誤差模型[4]，并用于標定機器人的運動學參數和關節(jié)柔度；Yan Y基于矢量矩陣分析構建了六自由度并聯(lián)機械手的誤差模型[5]，并依據所建立的誤差模型采用遺傳算法對六自由度并聯(lián)機器人的精度進行了優(yōu)化。

建立機械產品的誤差模型通常采用公差分析的思想。公差分析的數學模型主要包括實體漂移模型[6]、矩陣模型[7]、矢量環(huán)模型[8]、小位移旋量模型[9]、多面體模型[10]和公差變動矢量圖模型[11]等。小位移旋量模型通過將公差變動劃分為旋量與平移量兩部分，利用機器人運動學方法將公差旋量轉換成4×4的齊次變換矩陣，通過各個齊次變換矩陣建立三維空間的誤差傳遞模型，并與機器人運動學模型結合建立機器人運動學誤差模型。

目前，利用代理模型進行精度可靠性分析已成為熱點。代理模型是指通過采樣樣本，利用插值或擬合等方法構建功能函數的代替模型，然后利用蒙特卡洛仿真對所構建的替代模型進行仿真分析估計失效概率，從而降低計算成本，提高計算效率，同時對于復雜的非線性多維度函數具有較高的計算精度。李國發(fā)[12]提出了一種面向多種代理模型的自適應加點策略用于結構可靠性分析。袁修開[13]提出了一種Kriging法與改進一次二階矩融合的方法用于結構可靠性分析。常用的代理模型包括多項式響應曲面法[14]、Kriging[15]、梯度增強克里金法[16]、支持向量機[17]和人工神經網絡[18]等。

本文基于小位移旋量理論（SDT）與MD-H模型相結合建立了考慮包括形狀誤差和尺寸誤差的六自由度工業(yè)機器人關節(jié)誤差的運動學模型，并基于蒙特卡洛法和Kriging代理模型對機器人進行了定位精度可靠性分析，通過靈敏度分析尋找到了影響工業(yè)機器人定位精度可靠性的主要誤差來源。

1 機器人運動學模型

1.1 理想狀態(tài)機器人正運動學模型

D-H模型[19]主要被用于在機器人連桿上建立坐標系，對于相鄰連桿間的坐標變換的齊次變換矩陣為：

式中：將 sin簡寫為s，cos簡寫為c。其中α、d、a，θ表示機器人的DH參數。

則機器人的正運動學方程可以表示為：

1.2 考慮關節(jié)誤差的機器人正運動學模型

SDT是利用機器人運動學中的齊次坐標變換方法描述三維實體各處誤差的累積，同時與機器人的齊次變換矩陣相結合，能夠用于建立考慮關節(jié)間隙的機器人運動學模型。小位移旋量D由兩組矢量（即3個平動矢量和3個旋轉矢量）精確描述。其對應的表達式和相應的齊次變換矩陣如下：

零部件之間的配合表面主要包含平面配合、圓環(huán)面配合和柱面配合，利用SDT建立的誤差模型應符合設計階段的公差要求，即相應的旋轉和位移矢量所建立的最終的誤差模型應滿足設計公差要求。本文將機器人每個關節(jié)間的配合簡化為圓環(huán)面和柱面配合，則對于圓環(huán)面配合的小位移旋量u、v、γ為零，對于柱面配合的小位移旋量 γ為零。

D-H模型描述了機器人相鄰兩個關節(jié)3個方向的平移及繞X軸和Z軸的旋轉，不包括繞Y軸的轉動，然而在實際運行中，機器人相鄰關節(jié)間也存在繞Y軸的轉動，此時傳統(tǒng)的D-H模型就無法準確描述機器人的運動學模型。因此，在D-H模型的基礎上，增加一個繞Y軸的旋轉矩陣，構建了MD-H模型[20]，其對應的齊次變換矩陣如下式所示：

本文對每個圓環(huán)面配合和柱面配合進行標號。將機器人末端中心作為工具坐標點。機器人各關節(jié)間的誤差傳遞路徑包括串聯(lián)路徑和并聯(lián)路徑，由于機器人關節(jié)是由圓環(huán)面和柱面耦合配合，圓環(huán)面配合會產生繞X軸Y軸的轉動誤差以及繞Z軸的移動誤差，而柱面配合會產生繞X軸轉動的誤差和沿著X軸和Y軸的移動誤差，因此，本文對并聯(lián)傳遞的部分旋轉變量進行求交運算而對平移變量進行了求和運算。

2 機器人定位精度可靠性分析

2.1 六自由度工業(yè)機器人定位精度可靠性功能函數

針對建立包含關節(jié)誤差的機器人正運動學模型，通過仿真對機器人的定位精度可靠性進行分析。先構建機器人定位精度可靠性分析的功能函數，如式（6）所示：

式中： [s]是 機器人末端點的允許誤差，s(x)是機器人末端點的實際位置，s0是機器人末端點的實際位置，x=[Δx1,···,Δx6,Δy1,···,Δy6,Δz1,···,Δz6,Δα1,···,Δα6,Δβ1,···,Δβ6]是包含關節(jié)誤差的向量，其中包括30個參數，各關節(jié)誤差變量服從高斯分布，則機器人的定位的失效概率可以表示為：

2.2 試驗設計

試驗設計的核心內容是選擇試驗樣本點的策略。樣本點的選取應遵循樣本點盡可能地反映整個樣本空間的信息。常用的試驗設計方法包括均勻設計、正交設計和拉丁超立方抽樣設計等。拉丁超立方抽樣方法因所抽取的樣本點均勻的分布在整個樣本空間內，被廣泛使用，本文采用拉丁超立方抽樣設計進行試驗設計，其具體步驟為：首先確定抽樣的變量個數n以及準備抽取的樣本點個數m，然后將每個隨機變量的區(qū)間m等分并在每個隨機變量的每個區(qū)間內隨機的取值，最終將取得的值隨機組合形成最終的樣本點用于后續(xù)Kriging代理模型的構建。

2.3 Kriging代理模型的構建

Kriging模型是依據協(xié)方差函數對隨機過程或隨機場進行空間建模和預測的回歸算法。對于六自由度工業(yè)機器人的功能函數所涉及的計算量較大，而對于其定位精度的失效判定只需考慮其功能函數是否是小于0即可，Kriging代理模型可以根據給定的輸入變量和響應擬合出代理模型，用于計算機器人定位精度可靠性的功能函數，進而進行定位精度可靠性分析。Kriging代理模型構建的步驟參如圖1所示。

圖1 Kriging代理模型構建流程

Kriging模型包括回歸部分和隨機部分，隨機部分通常包括高斯過程和指數過程，本文中采用高斯過程。設輸入變量為X=[x1,x2,···,xn]T，對應的真實響應值為G=[G(x1),G(x2),···,G(xk)]，Kriging代理模型的結構形式如下式所示：

式中：F(β,x)為 線性回歸模型；fT(x)為多項式基函數；x為輸入變量；G＾(x)為 對預測值的響應值；β是回歸系數向量，其中任意兩個樣本點之間的協(xié)方差如下式所示：

對于給定的樣本點X與對應的真實響應G，對于給定的相關性參數 θ和回歸系數 β的估計值如下式所示：σ2

為保證在某點預測值無偏并且預測均方誤差最小，在該點處的預測的均值和方差滿足下式：

式中：r(x)=[R(θ,xi,x),R(θ,xi,x),···,R(θ,xi,x)]；u(x)=FTR-1r-f；Kriging模型中方差表明了模型在預測點處的誤差。

3 機器人定位精度可靠性靈敏度分析

根據建立的機器人定位精度功能函數的Kriging代理模型，結合候選樣本點，利用Monte Carlo抽樣法獲取隨機參數均值與方差的靈敏度。

設隨機參數向量為x=[x1,x2,···,xn]T，其聯(lián)合概率密度為fx(x)，則失效概率為：

式中：F表示失效域，在本文中為功能函數小于零的部分，即F={x|G(x)≤0}。隨機參數的可靠性靈敏度實質上是該系統(tǒng)失效概率對隨機參數的均值以及方差求偏導運算，如式（16）所示：

式中：I[g(x)]如式（17）所示。

在實際工程中，常認為誤差的各隨機變量為獨立的，所以其聯(lián)合概率密度為各隨機變量概率密度的乘積，如下式所示：

利用拉丁超立方抽樣方法進行隨機抽樣，并將得到的樣本點代入Kriging代理模型中，即得到相應的預測值，再對所得到的預測值進行分析和分類，根據大數定律可知，靈敏度計算可以表示為：

對于相互獨立的正態(tài)隨機變量， θxi包括均值μxi和標準差 σxi，可以得到下式：

代入求得系統(tǒng)對于參數均值和標準差失效概率靈敏度，如下式所示：

式中：NF表示利用聯(lián)合概率密度函數fx(x)抽取的且滿足功能函數小于0即發(fā)生失效的樣本數量。對Sμxi和Sσxi取模得到：

隨機參數靈敏度因子：

4 案例分析

4.1 機器人理想運動學模型

本文以RB08型六自由度工業(yè)機器人為例，建立了其理想狀態(tài)下的運動學模型，機器人的具體參數見表1，建立的模型結果見圖2。

表1 RB08機器人DH參數表

圖2 理想機器人運動學模型

表1中：a1=170mm,a2=560mm,a3=155mm ，d4=630mm,d6=110mm。

4.2 包含關節(jié)誤差的機器人運動學模型

將機器人關節(jié)間的配合表面統(tǒng)一簡化為柱面配合和圓環(huán)面配合，并進行編號，詳見表2。

表2 各個配合表面編號

建立機器人各關節(jié)的誤差傳遞路徑，如圖3所示。根據1.2中所述，以 1→2誤差傳遞為例。由1→2共包含2條誤差傳遞路徑，兩條為并聯(lián)路徑。對于并聯(lián)路徑的旋量求交運算，平移量求和運算對于串聯(lián)部分旋量和平移量都進行求和運算：

圖3 機器人誤差傳遞路徑

式中：T表示誤差；D表 示平移誤差；R表示旋量誤差。

由包含關節(jié)誤差的機器人齊次變換矩陣式（4）和式（5）可以得到機器人的包含關節(jié)誤差的正運動學模型，如下式所示：

以機器人各個關節(jié)間隙服從高斯分布進行了3 000次的仿真計算，得到的六自由度工業(yè)機器人相對理想位置的誤差分布情況，其在空間的分布情況如圖4。

圖4 機器人末端點的位置變動

設置仿真時間為3 s，各關節(jié)勻速運動，各個關節(jié)變量見表3，一次隨機仿真后機器人末端點在各方向上的理想運動與包含誤差的運動對比結果見圖5。

圖5 時變狀態(tài)下機器人末端點在各方向上的位置變動

表3 機器人關節(jié)初始角度和最終角度 （°）

4.3 構建功能函數代理模型

采用拉丁超立方抽樣設計試驗，獲得了1 000組輸入變量及其真實的響應，并用于對Kriging模型進行訓練，將訓練得到的代理模型用于預測六自由度工業(yè)機器人定位精度失效概率，對給定的2 000組輸入變量的真實響應和預測響應結果見圖6。在2 000次試驗中基于功能函數及代理模型對于發(fā)生定位失效的真實判斷結果和預測結果對比見圖7。從圖6可以看出，所建立的包含關節(jié)誤差的機器人運動學代理模型很好的代替了機器人的運動學誤差模型。從圖7中可以看出，在2 000次仿真試驗中，代理模型可以準確地識別出在試驗過程中機器人是否發(fā)生定位精度失效。

圖6 真實響應和預測響應對比

圖7 2000次試驗真實失效和預測結果對比

4.4 機器人定位精度可靠性靈敏度分析

對30個關節(jié)變量靈敏度分析的結果如圖8和圖9所示，其中圖9中對各靈敏度結果進行了取正。結果表明六自由度工業(yè)機器人定位失效率對前18組變量的隨機參數標準差比較敏感，經過計算得到前18組變量靈敏度因子占比為85.78%，而后12組變量靈敏度因子占比僅為14.22%。即在公差允許范圍內，各關節(jié)的移動變量對機器人定位精度可靠性的影響比較明顯。

圖8 無量綱靈敏度條形圖

圖9 靈敏度因子條形圖

然而針對前18組關節(jié)的移動變量，其靈敏度因子也存在較大的差異，這是由于機器人關節(jié)誤差樣本的隨機產生以及機器人定位姿態(tài)影響的結果。如圖10所示，利用建立的機器人運動學誤差模型，隨機指定一組關節(jié)運動，以第三和第四組誤差變量為例，在2 s的運動內，第三個誤差變量的靈敏度因子產生了顯著的變化。即在同樣一組誤差變量的條件下，機器人的姿態(tài)同樣會對機器人定位精度可靠性靈敏度分析結果產生影響。由于工業(yè)機器人通常從事重復性的工作，即機器人的動作通常是單一的，因此，可以使用本文方法對機器人在系列姿態(tài)下進行定位精度可靠性靈敏度的分析。

圖10 不同姿態(tài)下第三、第四個誤差靈敏因子結果

5 結語

針對工業(yè)機器人各關節(jié)加工和裝配誤差影響六自由度工業(yè)機器人末端精度可靠性的問題，本文考慮了機器人各關節(jié)處尺寸誤差和形狀誤差。構建了機器人定位精度可靠性功能函數的Kriging代理模型。并開展了機器人定位精度可靠性分析。

（1）利用MD-H法和小位移旋量理論，建立了工業(yè)機器人包含關節(jié)尺寸誤差和形狀誤差的運動學模型，提出了各關節(jié)誤差的傳遞路徑以及誤差累計的方法，相對于傳統(tǒng)方法更加接近實際情況。

（2）建立了基于蒙特卡洛和Kriging代理模型的工業(yè)機器人定位精度可靠性代理模型，通過蒙特卡洛仿真試驗結果表明，建立的精度可靠性功能函數代理模型具有很高的預測精度。

（3）開展了基于代理模型的工業(yè)機器人定位精度靈敏度分析，確定了影響機器人定位精度可靠性的主要誤差來源：各關節(jié)處的移動誤差，驗證了建立的工業(yè)機器人定位精度可靠性分析方法適用性強，具有較強的通用性。