基于四元數(shù)的橋梁短線節(jié)段誤差分析方法

李光泉

(中鐵十四局集團(tuán)有限公司 山東濟(jì)南 250101)

1 引言

短線法預(yù)制拼裝技術(shù)，目前在中等跨徑預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁施工中得到了廣泛應(yīng)用，其關(guān)鍵技術(shù)在于線形控制和姿態(tài)調(diào)整相關(guān)的幾何計(jì)算方法。

短線法采用分段預(yù)制拼裝的方法，利用已建造的節(jié)段與相鄰將要澆筑節(jié)段匹配。在施工過程中，不僅會(huì)有測量儀器產(chǎn)生的測量誤差、匹配段定位誤差等，還會(huì)有施工中振搗、混凝土收縮等原因產(chǎn)生的預(yù)制誤差，包括:梁長誤差、轉(zhuǎn)角誤差、扭轉(zhuǎn)誤差、錯(cuò)臺(tái)誤差等。這些誤差會(huì)導(dǎo)致已澆筑的節(jié)段偏離設(shè)計(jì)線形，并且由于已澆筑節(jié)段無法更改，從而使得誤差不斷積累。此時(shí)需要識(shí)別出已有的誤差，在已澆筑節(jié)段作為匹配段時(shí)，通過調(diào)整其位置和姿態(tài)參數(shù)，使后續(xù)節(jié)段修正該誤差。識(shí)別和修正預(yù)制誤差的幾何計(jì)算，存在多種不同的方法。

王侃、李國平[1]以階段接縫和橫坡為基準(zhǔn)建立坐標(biāo)系，采用6個(gè)控制點(diǎn)形成水平控制線和高程控制線，來分別識(shí)別和修正誤差。侍剛[2]等建立三維整體坐標(biāo)系和節(jié)段局部坐標(biāo)系，通過二者間的坐標(biāo)變換研究其幾何關(guān)系，并引入非線性最小二乘法，根據(jù)測量點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)果來建立方程組并求解。劉海東[3]等研究了在三維坐標(biāo)系中考慮所有誤差的誤差修正方法。周凌宇[4]等對三維空間整體和局部坐標(biāo)系間的空間位置不重合進(jìn)行了分析。時(shí)學(xué)軍[5]研究了適合于任意旋轉(zhuǎn)角度的坐標(biāo)變換方法，并通過非線性最小二乘法來識(shí)別誤差。

從以上研究成果可見，誤差分析和修正的方法是通過三維坐標(biāo)變換，把整體坐標(biāo)系和節(jié)段局部坐標(biāo)系進(jìn)行匹配，對節(jié)段測點(diǎn)的澆筑階段和匹配階段測量結(jié)果進(jìn)行分析比對，通過非線性最小二乘法來建立方程組計(jì)算出已產(chǎn)生的預(yù)制誤差[6]，然后通過整體坐標(biāo)系的拼裝坐標(biāo)來確定誤差調(diào)整方法[7]。但目前的方法仍存在一些弱點(diǎn)，幾種誤差仍是分別識(shí)別和修正，沒有統(tǒng)一起來。三維變換方法使用的是旋轉(zhuǎn)矩陣方法，使用歐拉角來作為誤差調(diào)整目標(biāo)，這就使調(diào)整的方式與旋轉(zhuǎn)角的順序有關(guān)，在非線性最小二乘法進(jìn)行誤差分析時(shí)用旋轉(zhuǎn)角作為計(jì)算目標(biāo)，計(jì)算過程較為復(fù)雜[8]。目前誤差修正采用的大多為直接調(diào)整法[9]，如用分步調(diào)整法，目前的方法實(shí)現(xiàn)起來難度較大。

采用四元數(shù)進(jìn)行三維幾何計(jì)算，同樣可以完成三維坐標(biāo)變換[10]，并且可以把位置和姿態(tài)定義、空間的狀態(tài)和變換、誤差識(shí)別與調(diào)整統(tǒng)一起來。

2 四元數(shù)和坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

2.1 四元數(shù)的定義

定義四元數(shù):

式中:a、b、c、d均為實(shí)數(shù)。 同時(shí)有:

四元數(shù)也可以表達(dá)為:

式中:v為向量，即任意向量可表示為d等于0的四元數(shù)[11]。

四元數(shù)的模:

q對應(yīng)的單元四元數(shù)為。

q的共軛四元數(shù)q*，對于單位四元數(shù)，其共軛四元數(shù)也是其逆四元數(shù)q－1。

四元數(shù)乘法公式，可依據(jù)規(guī)則由式(1)推導(dǎo):

2.2 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

單位四元數(shù)可用于定義任意空間旋轉(zhuǎn)，對于如下單位四元數(shù):

q1＝pqp－1，表示對向量q繞軸v旋轉(zhuǎn)2t角度后得到q1。對于坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)，可以通過對其x、y、z軸單位向量的旋轉(zhuǎn)通過計(jì)算得到。

坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換可以通過旋轉(zhuǎn)矩陣來定義。單位四元數(shù)可以與旋轉(zhuǎn)矩陣互相轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換公式較為復(fù)雜不再列出。

定義旋轉(zhuǎn)的另外一個(gè)方法是歐拉角，通過定義順序施加的三個(gè)旋轉(zhuǎn)角來定義空間旋轉(zhuǎn)。歐拉角可以有多種不同定義方法，視實(shí)際工程應(yīng)用需要來使用。本文所用旋轉(zhuǎn)角與標(biāo)準(zhǔn)歐拉角正好相反，即對于坐標(biāo)系D1，其坐標(biāo)軸為三個(gè)單位向量(x1，y1，z1)，本文定義旋轉(zhuǎn)規(guī)則:先繞z1軸旋轉(zhuǎn)ψ，再繞旋轉(zhuǎn)后y1軸旋轉(zhuǎn)θ，最后繞x1軸旋轉(zhuǎn)φ，最終與坐標(biāo)系D2(x2，y2，z2)重合。

旋轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)換為四元數(shù):

四元數(shù)轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)角:

3 短線法幾何計(jì)算流程

對于任何一個(gè)坐標(biāo)系，可以用原點(diǎn)位置坐標(biāo)和姿態(tài)四元數(shù)來定義其坐標(biāo)系參數(shù)。為此可以做如下約定:以大地坐標(biāo)系作為整體坐標(biāo)系，記為G0，以固定端模頂面為基準(zhǔn)的坐標(biāo)系為U0，對于每個(gè)節(jié)段，其局部坐標(biāo)系為G1，見圖1。以其前端接縫線為y軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，x軸在頂面內(nèi)且與y軸垂直，z軸與xy平面垂直，注意這種定義方法是為了適應(yīng)曲線梁和有橫坡的情況，此時(shí)節(jié)段前后端中心線不與前后端中心連線重合。當(dāng)階段n作為匹配段時(shí)，節(jié)段局部坐標(biāo)系記為U1，此時(shí)其父坐標(biāo)系為U0，各測點(diǎn)的測量坐標(biāo)中包含了節(jié)段誤差，因此階段n＋1會(huì)偏離設(shè)計(jì)坐標(biāo)。計(jì)算的目標(biāo)就是識(shí)別節(jié)段n的U1坐標(biāo)系參數(shù)即其位置坐標(biāo)和姿態(tài)四元數(shù)，并通過計(jì)算節(jié)段n＋1測點(diǎn)的整體坐標(biāo)系，再變換回U0坐標(biāo)系，計(jì)算作為匹配段的U1坐標(biāo)系參數(shù)來修正之前的誤差。

圖1 節(jié)段局部坐標(biāo)系

首先根據(jù)設(shè)計(jì)線形，可計(jì)算出節(jié)段各關(guān)鍵點(diǎn)的大地坐標(biāo)，即全局坐標(biāo)系G0參數(shù)和節(jié)段局部坐標(biāo)系G1參數(shù)。

首節(jié)段澆筑完成，測量各測點(diǎn)U0下的坐標(biāo)，通過坐標(biāo)變換可得到其全局坐標(biāo)。

對任意已經(jīng)澆筑完成的梁段n，假定其已完成澆筑且得到各測點(diǎn)U0坐標(biāo)并計(jì)算出實(shí)際全局坐標(biāo)。依照梁段n＋1的G1坐標(biāo)系，可根據(jù)全局到局部坐標(biāo)的變換計(jì)算梁段n匹配段的坐標(biāo)系參數(shù)，開始澆筑梁段n＋1。梁段n＋1澆筑完成后，測量梁段n＋1的各測點(diǎn)坐標(biāo)和梁段n各測點(diǎn)坐標(biāo)，顯然后者包含了預(yù)制誤差，根據(jù)本文算法識(shí)別出U1坐標(biāo)參數(shù)和誤差四元數(shù)，可根據(jù)局部坐標(biāo)系到全局坐標(biāo)系的變換計(jì)算出梁段n＋1的全局坐標(biāo)。此坐標(biāo)已經(jīng)偏離了設(shè)計(jì)全局坐標(biāo)，需要根據(jù)梁段n＋2的G1坐標(biāo)系參數(shù)來計(jì)算需要修正的梁段n＋1匹配段參數(shù)，這樣可以繼續(xù)下一段的施工和計(jì)算。

4 節(jié)段預(yù)制誤差四元數(shù)的識(shí)別

梁段n作為匹配段在n＋1段澆筑后，其前端局部坐標(biāo)系U1的位置和姿態(tài)可以用表示位置的四元數(shù)p(x，y，z，0)和表示姿態(tài)的單位四元數(shù)q(a，b，c，d)來表示，共計(jì)7個(gè)參數(shù)，應(yīng)采用其6個(gè)測點(diǎn)的U0坐標(biāo)系下的澆筑后坐標(biāo)v1(x1，x2，x3，0)和作為匹配段的測量坐標(biāo)v2(x2，y2，z2，0)來進(jìn)行識(shí)別。 由此我們可以得到如下方程:

利用四元數(shù)乘法可以得到:

同時(shí)引入約束條件:

利用式(3)可以定義:

這樣利用式(2)就可以建立18個(gè)方程，加上式(4)，根據(jù)非線性最小二乘法，可以得到最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù):

由于目標(biāo)函數(shù)是4次多項(xiàng)式函數(shù)，可以使用梯度下降法求解[12]。求解需要對7個(gè)參數(shù)求導(dǎo)，得到梯度函數(shù):

而f函數(shù)對a、b、c、d的偏導(dǎo)如下:

5 實(shí)例驗(yàn)證

某3×40 m曲線連續(xù)梁，采用短線法拼裝7個(gè)節(jié)段，每個(gè)節(jié)段長2.9 m。為了能有效驗(yàn)證本文方法的正確性，以橋梁實(shí)際數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，發(fā)生的預(yù)制誤差預(yù)先隨機(jī)產(chǎn)生，為匹配段偏離原位置x、y、z，姿態(tài)誤差旋轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)為四元數(shù)，同時(shí)引入正負(fù)0.3 mm的隨機(jī)測量誤差，然后用每一個(gè)施工步驟的測量數(shù)據(jù)來做輸入，產(chǎn)生的計(jì)算結(jié)果與預(yù)設(shè)誤差對比。對比結(jié)構(gòu)見表1、表2。表1為位置誤差對比，單位mm；表2為計(jì)算結(jié)果的四元數(shù)轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)角后的對比結(jié)果，單位10－3弧度。

表1 位置誤差對比結(jié)果

表2 姿態(tài)誤差對比結(jié)果 10－3rad

從對比結(jié)果來看，位置誤差小于0.2 mm，姿態(tài)誤差小于10－4弧度。

6 結(jié)論與展望

(1)使用四元數(shù)，不僅可以完成三維坐標(biāo)變換，結(jié)合非線性最小二乘法，可以正確、可靠地分析出帶有測量誤差的預(yù)制誤差。

(2)基于四元數(shù)的非線性最小二乘法，由于目標(biāo)函數(shù)為多項(xiàng)式函數(shù)，可以直接求導(dǎo)得出梯度函數(shù)向量，迭代算法更容易收斂。

(3)采用四元數(shù)的誤差分析方法，對測點(diǎn)位置、數(shù)量，旋轉(zhuǎn)角度都沒有嚴(yán)格的限制，可更加方便推廣到其他裝配式橋梁施工方法中。

(4)三維仿真已經(jīng)成為短線法軟件的必要部分，能夠很好地避免使用過程中的人為錯(cuò)誤，而四元數(shù)結(jié)果可以直接用于三維建模和動(dòng)畫。

(5)四元數(shù)可以同時(shí)用于表示坐標(biāo)、對象姿態(tài)、對象姿態(tài)的變換，可以很方便地進(jìn)行插值，因此可用于分步調(diào)整法，這是后續(xù)應(yīng)展開研究的方面。

(6)本文方法未考慮混凝土收縮的梁長誤差，這需要多引入一個(gè)縮放因子作為參數(shù)，并重新推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)，這是后續(xù)需研究的工作。