帶干擾的廣義泊松風(fēng)險(xiǎn)模型最優(yōu)預(yù)防策略

周 瑾，王傳玉，陳 哲

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

傳統(tǒng)的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型是在1903年由Filip Lunberg[1]提出的，定義了在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中的索賠次數(shù)為泊松過程。保費(fèi)收取時(shí)間為連續(xù)的過程，是在調(diào)節(jié)系數(shù)存在唯一性、相對安全負(fù)載和獨(dú)立性條件下得到的破產(chǎn)概率結(jié)果。隨后Gerber[2]在1970年最先提出了帶干擾的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，其中擾動項(xiàng)是一個(gè)方差為2D(D>0)的布朗運(yùn)動，將破產(chǎn)分為理賠引起的和干擾引起的兩種情況。此外，Durfesene等[3]直觀地導(dǎo)出了生存概率和破產(chǎn)概率滿足的瑕疵更新方程，由此也導(dǎo)出了理賠與干擾滿足的瑕疵更新方程，若再利用調(diào)節(jié)系數(shù)將這些瑕疵更新方程化為適定更新方程，便可分別導(dǎo)出索賠及干擾引起的破產(chǎn)概率，從而也就導(dǎo)出了破產(chǎn)概率的Lunberg近似。彭勤文[4]考慮了一種帶干擾的風(fēng)險(xiǎn)模型，其中保費(fèi)收入過程和索賠計(jì)數(shù)過程均為常數(shù)率的泊松過程。運(yùn)用鞅方法求得其破產(chǎn)概率及其上界，并討論了調(diào)節(jié)系數(shù)與破產(chǎn)概率之間的關(guān)系。方世祖等[5]研究了帶干擾的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，討論了盈余過程的鞅性和馬爾科夫性，利用鞅方法求得相應(yīng)的破產(chǎn)概率表達(dá)式。傅立群等[6]研究了盈余過程服從復(fù)合泊松，且分紅決策時(shí)間服從Erlang(2)分布下對偶中的最優(yōu)分紅。利用數(shù)值模擬的方法，分別描述了最優(yōu)分紅策略與利率、分紅頻率、波動率、費(fèi)用率的關(guān)系。周金樂等[7]研究了帶擾動的廣義Erlang(n)對偶風(fēng)險(xiǎn)模型，并在利潤額服從指數(shù)分布時(shí)，得出了直到破產(chǎn)為止總的紅利貼現(xiàn)值的期望值表達(dá)式。

廣義泊松分布最早是1973年由Consul[8]提出，指的是一種具有附加參數(shù)的廣義泊松分布，以及作為某一模型極限形式下得到的廣義泊松分布，并根據(jù)附加參數(shù)取值的正負(fù)來決定廣義泊松分布的方差與均值之間的關(guān)系，為大多數(shù)模型提供了一種方法來計(jì)算其期望，以表明廣義分布對一些二項(xiàng)、泊松、負(fù)二項(xiàng)數(shù)據(jù)提供了很好的擬合。龔日朝等[9]將索賠發(fā)生由之前的泊松分布推廣為廣義泊松，并解決了多個(gè)索賠同時(shí)到達(dá)的問題。陳雪嬌[10]在考慮將單一險(xiǎn)種推廣為雙險(xiǎn)種的前提下，研究了雙險(xiǎn)種的廣義泊松風(fēng)險(xiǎn)模型。推導(dǎo)出了破產(chǎn)概率所滿足的積分表達(dá)式以及上界，并在索賠額服從指數(shù)分布時(shí)給出了破產(chǎn)概率的具體表達(dá)式。

1972年，Ehrlich等[11]提出將自我保護(hù)(減少損失的規(guī)模)和自我保險(xiǎn)(減少損失的可能性)兩類預(yù)防分開。在保險(xiǎn)公司的實(shí)際經(jīng)營當(dāng)中，自我保險(xiǎn)就相當(dāng)于再保險(xiǎn)，自我保護(hù)就相當(dāng)于預(yù)防策略。Dionne等[12]提出了預(yù)防可以降低索賠到達(dá)的強(qiáng)度的經(jīng)濟(jì)學(xué)假設(shè)。Gauchon等[13]在前人的基礎(chǔ)上，首次將最優(yōu)預(yù)防策略與經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型整合，研究了經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)預(yù)防策略。證明了在經(jīng)典的有預(yù)防的破產(chǎn)模型中，實(shí)現(xiàn)破產(chǎn)概率最小的預(yù)防量使調(diào)節(jié)系數(shù)最大化，以及在有紅利的破產(chǎn)模型中達(dá)到破產(chǎn)前的期望紅利最大化。研究還指出，如果一個(gè)人的目標(biāo)是在固定的時(shí)間范圍內(nèi)使得平均盈余最大化，那么最優(yōu)的預(yù)防策略是不同的。

相比于經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型最優(yōu)預(yù)防策略，帶干擾的廣義泊松風(fēng)險(xiǎn)模型最優(yōu)預(yù)防策略還考慮到了其他不確定實(shí)際收入對廣義泊松的影響，更為貼近現(xiàn)實(shí)生活情況。因此，本文在Romain[13]的結(jié)果上進(jìn)行推廣，將干擾、廣義泊松過程引入到經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型最優(yōu)預(yù)防策略中，運(yùn)用鞅方法得到了該模型的破產(chǎn)概率的一般表達(dá)式，在索賠服從指數(shù)分布的情形下，給出了生存概率和使風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小的最優(yōu)預(yù)防量的精確表達(dá)式，最后分別畫圖分析擾動對調(diào)節(jié)系數(shù)以及生存概率的影響和服從指數(shù)分布下的理賠額參數(shù)對調(diào)節(jié)系數(shù)以及生存概率的影響。

1 建立模型

(1)

本文假設(shè)λ(p)在[0，c]是一個(gè)正的、遞減的嚴(yán)格凸的二階連續(xù)函數(shù)。

(1)λ(·)為正意味著不能阻止一切風(fēng)險(xiǎn)。這個(gè)假設(shè)的解釋是，如果λ(·)可以等于0，它將允許一些套利機(jī)會。

(2)λ(·)遞減意味著預(yù)防可以降低索賠到達(dá)的強(qiáng)度。

(3)λ(·)嚴(yán)格凸意味著預(yù)防費(fèi)用越高，索賠頻率的額外減少會減少。

(2)

式中，μ=E[Xi]<∞。

定義1安全荷載系數(shù)：

(3)

定義2 破產(chǎn)時(shí)刻Tu=inf{t;U(t)<0}，最終的破產(chǎn)概率ψ(u,p)=p{Tu<∞|U(0)=u}。下面需要準(zhǔn)備一些引理：過程{U(t):t≥0}是一個(gè)右連續(xù)的隨機(jī)過程，且具備平穩(wěn)獨(dú)立增量；過程{U(t):t≥0}存在調(diào)節(jié)系數(shù)方程；調(diào)節(jié)系數(shù)方程g(k(p))=0存在符合條件的正解k(p)；對過程{U(t):t≥0}構(gòu)造一個(gè)鞅。

2 預(yù)備引理

引理1過程{U(t):t≥0}是一個(gè)右連續(xù)的隨機(jī)過程，且具備平穩(wěn)獨(dú)立增量。

證明根據(jù){Xi}、{N(t)}、{W(t)}的連續(xù)性，易知過程{U(t):t≥0}是一個(gè)右連續(xù)的隨機(jī)過程。對任意的0≤t1≤t2≤…≤tn…有

因?yàn)閧Xi}、{N(t)}、{W(t)}是相互獨(dú)立的，故

N(t2)-N(t1),N(t3)-N(t2),…,N(tn)-N(tn-1),…

W(t2)-W(t1),W(t3)-W(t2),…,W(tn)-W(tn-1),…

上述三式也是相互獨(dú)立的，因此{(lán)U(t):t≥0}為獨(dú)立增量過程。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]有

U(t+s)-U(t)=

綜上所述，過程{U(t):t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性。

引理2存在函數(shù)g(k(p)),使得E[e-k(p)U(t)]=etg(k(p))。

證明

式中，MXi(k(p))=E[e-k(p)Xi]為Xi的矩母函數(shù)。所以，存在函數(shù)g(k(p))使得E[e-k(p)U(t)]=etg(k(p))。

引理3 設(shè)索賠Xi服從參數(shù)α的指數(shù)分布，則方程g(k(p))=0存在符合條件的正解k(p)。其中k(p)為調(diào)節(jié)系數(shù)。

證明

(4)

該三次方程3個(gè)解分別為：k(p1)、k(p2)、k(p3)。

其中，

k(p)1=0,

(5)

(6)

(7)

k(p)1=0為平凡解，k(p)2、k(p)3為正解。另外在索賠Xi服從參數(shù)α的指數(shù)分布時(shí)，有k(p)<α，從上述的正解來看，只可以考慮k(p)<α的解，故符合條件的正解為k(p)2。即調(diào)節(jié)系數(shù)表達(dá)式為

證明

引理5Tu是FU停時(shí)[13]。

下面需要先證明破產(chǎn)概率所滿足的Lundberg不等式，接著對破產(chǎn)概率所滿足的確定性表達(dá)式進(jìn)行求解，最后證明最優(yōu)預(yù)防量與初始盈余的關(guān)系以及最優(yōu)預(yù)防量和生存概率的關(guān)系。

3 模型求解

定理1 在帶干擾的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)防過程{U(t):t≥0}中，最終破產(chǎn)概率滿足不等式

ψ(u,p)≤e-k(p)u,

(8)

式中，k(p)為調(diào)節(jié)系數(shù)，滿足g(k(p))=0。

證明因?yàn)門u是FU一停時(shí)，選取t0<∞,易知t0∨Tu是FU一停時(shí)，又根據(jù)停時(shí)定理，得到

e-k(p)u=Mu(0)=E[Mu(t0∧Tu)]=

E[Mu(t0∧Tu)|Tu≤0]P{Tu≤t0}+E[Mu(t0∧Tu)|Tu>0]p{Tu>t0}=

E[Mu(Tu∧t0)|Tu≤t0]=p{Tu≤t0}=E[Mu(Tu)|Tu≤0]p{Tu≤t0}。

(9)

在T(u)<∞的條件下，U(Tu)<0，得到

(10)

在上式兩端令t0→∞，得到

(11)

定理2 在帶干擾的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)防過程{U(t):t≥0}中，則最終破產(chǎn)概率為

(12)

證明Tu是破產(chǎn)時(shí)刻，對任意常數(shù)t，Tu∧T為有界停時(shí)，根據(jù)有界停時(shí)定理得

e-k(p)u=E[X(Tu∧t)]=E[X(0)]=

E[X(Tu∧t)|Tu≤t]P{Tu≤t}+E[X(Tu∧t)|Tu>t]P{Tu>t}=

E[e-k(p)U(t)|Tu≤t]P{Tu≤t}+E[e-k(p)U(t)|Tu>t]P{Tu>t}。

(13)

當(dāng)t→∞時(shí)有

(14)

令a=(c-p)-λ(p)E(X)E(Y)>0

b2=λ(p)(D2(Y)E2(X)+E2(X)E2(Y)+D2(X)E2(Y)+β2,

(15)

可得

E(U(t)]=u+at,var[U(t)]=b2t,

(16)

E[e-k(p)U(t)|Tu>t]P{Tu>t}=

E[e-k(p)U(t)I0≤U(t)≤Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}+E[e-k(p)U(t)IU(t)≥Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}。

(17)

當(dāng)T>t時(shí)，U(t)>0，所以X(t)=e-k(p)U(t)≤1。因此對于式(17)右邊第一項(xiàng)，由切比雪夫不等式可得

E[e-k(p)U(t)I0≤U(t)≤Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}≤E[I0≤U(t)≤Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}≤

(18)

對于(17)式右邊第二項(xiàng)有

E[e-k(p)U(t)IU(t)>Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}≤e-k(p)Q(t)。

(19)

因此，當(dāng)t→∞時(shí)，式(17)趨于0，因此有

e-k(p)u=E[e-k(p)U(t)|Tu<+∞]P{Tu<+∞}。

(20)

由此可知,

(21)

定理3在帶干擾的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)最優(yōu)預(yù)防策略模型中，當(dāng)理賠{Xi}服從參數(shù)為α的指數(shù)分布時(shí)，最終的破產(chǎn)概率為

(22)

因此有

P{-U(T)X|T<∞}=1-e-αx,

(23)

對式(23)求導(dǎo)有

所以有

(24)

2p-2c-β2α+2β2[λ′(p)+α]>0，

(25)

并且有

(26)

該最優(yōu)預(yù)防量與初始盈余u無關(guān)。

(27)

(28)

式中,

(29)

(30)

k″(p)=

(31)

因?yàn)?p-2c-β2α+2β2[λ′(p)+α]<0，如果

由式(16)、(19)以及λ(·)的嚴(yán)格凸性，對于所有的p∈R+，φ′(0,p)≤0,有φ″(0,p)<0。

有φ″(0,p)=

現(xiàn)在證明如果φ′(0,0)≤0，那么對于所有的p>0，有φ′(0,p)≤0和φ″(0,p)<0?？梢詫⒆C明限制在情形φ′(0,0)<0，因?yàn)樵?的鄰域內(nèi)，φ′(0,0)=0意味著φ″(0,p)<0，這反過來意味著，φ′(0,·)是0的鄰域中的遞減函數(shù)。

在這個(gè)目標(biāo)中，我們定義I?R+,有

(1)0∈I。

(2)φ″(0,p)≤0對于所有的p∈I都成立。

(3)如果J=[a,b]?R+也就意味著0∈J且對于所有的p∈J都有φ″(0,p)≤0成立，且J?I。

如果I=R+，證明了期望的結(jié)果。否則，它意味著存在一個(gè)a>0，使得I=[0,a]。但是在這種情況下，因?yàn)棣铡?0,·)是連續(xù)的，中間值定理告訴我們，將有φ″(0,a)=0。根據(jù)定義，在區(qū)間I上，φ″(0,·)為負(fù)，φ′(0,·)遞減。由于φ′(0,0)<0，會有φ′(0,a)<0，必然有φ″(0,a)<0，這與I=[0，a]時(shí)得到的結(jié)果φ″(0,a)=0相矛盾。則I=R+。

如果φ′(0,0)<0成立，就意味著φ′(0,·)是一個(gè)遞減函數(shù)，這就表示不需要在預(yù)防策略上進(jìn)行投資。因此應(yīng)該有φ′(0,0)>0，等價(jià)于φ(0,·)在0附近的鄰域增加，這就意味著預(yù)防可以起到降低風(fēng)險(xiǎn)的作用。

(32)

(33)

因?yàn)楦淖儠r(shí)間尺度不會影響無限時(shí)間下的破產(chǎn)概率，這就意味著存在一個(gè)時(shí)間t滿足下列條件：

ψ(u,p)=P(U(t,p)<0)=P(U2(t,p)<0)。

(34)

這里盈余過程U2(t,p)定義為

(35)

(36)

(37)

另外可以從式(36)、(37)推出：

圖1 預(yù)防量與生存概率的關(guān)系圖

4 數(shù)值模擬

本文考慮了擾動、索賠計(jì)數(shù)過程為廣義泊松過程，索賠服從指數(shù)分布等因素，下面將分別分析擾動對調(diào)節(jié)系數(shù)和生存概率的影響，理賠參數(shù)對調(diào)節(jié)系數(shù)和生存概率的影響。

首先，先對擾動對調(diào)節(jié)系數(shù)和生存概率的影響進(jìn)行分析。設(shè)保費(fèi)c=10，經(jīng)營不確定性的擾動率β=10，預(yù)防量p=1.8，索賠額參數(shù)α=0.8服從指數(shù)分布，選取不同的擾動率，運(yùn)用Matlab求解方程，得到相應(yīng)的調(diào)節(jié)系數(shù)，進(jìn)而通過式(23)得到生存概率的精確值。分別畫出相應(yīng)的擾動與調(diào)節(jié)系數(shù)，調(diào)節(jié)系數(shù)與生存概率，擾動與生存概率的圖像如圖2～4所示。對于不確定支出和收入來看，由圖2中可以發(fā)現(xiàn),隨著擾動的增大，調(diào)節(jié)系數(shù)會不斷地減小。由圖3中可以發(fā)現(xiàn)，調(diào)節(jié)系數(shù)不斷增加會導(dǎo)致生存概率不斷增大。由圖4中可以發(fā)現(xiàn)，隨著擾動的不斷增加，其生存概率會不斷地減小。針對不同的初始盈余，隨著擾動的增加，其生存概率的減小幅度也有很大的區(qū)別。對于保險(xiǎn)公司來說，準(zhǔn)備一部分的初始盈余資金是很有必要的。

圖2 擾動與調(diào)節(jié)系數(shù)的關(guān)系圖 圖3 調(diào)節(jié)系數(shù)與生存概率的關(guān)系圖

圖4 擾動與生存概率的關(guān)系圖 圖5 參數(shù)α與調(diào)節(jié)系數(shù)的關(guān)系圖

然后，對理賠參數(shù)對調(diào)節(jié)系數(shù)和生存概率的影響進(jìn)行分析。以理賠參數(shù)α為例分析，設(shè)擾動率β=5，保費(fèi)c=10，最優(yōu)預(yù)防量p*=1.8，參數(shù)α取值為0.2到5，步長為0.05，利用Matlab畫出參數(shù)α與調(diào)節(jié)系數(shù)的關(guān)系如圖5所示。由圖5可見，隨著參數(shù)α的增加，保險(xiǎn)公司的理賠均值會減小，意味著保險(xiǎn)公司的理賠總量就會相應(yīng)的減小。同樣參數(shù)α的增加使得調(diào)節(jié)系數(shù)會不斷地增加。另外，調(diào)節(jié)系數(shù)不斷地增加也會導(dǎo)致生存概率不斷地增加。也就意味著參數(shù)α的增加，最終會導(dǎo)致生存概率增加。

5 結(jié)論

本文研究索賠次數(shù)為廣義泊松過程下的帶擾動的風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)預(yù)防策略,研究發(fā)現(xiàn)針對其不同的初始盈余，其最優(yōu)預(yù)防量均保持一致且使得生存概率達(dá)到最大化。然后，在保持最優(yōu)預(yù)防量的條件下，通過Matlab畫圖分析了擾動β以及理賠參數(shù)α對生存概率的影響。研究的意義在于分別考慮了保險(xiǎn)公司的不確定收入與支出和不同理賠參數(shù)α對調(diào)節(jié)系數(shù)的影響,進(jìn)而分析調(diào)節(jié)系數(shù)的變化對生存概率的影響,從而評估該擾動參數(shù)和理賠參數(shù)分別對生存概率的影響,這對保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)管理有著重要的理論指導(dǎo)意義。在現(xiàn)實(shí)生活中，保險(xiǎn)公司經(jīng)常經(jīng)營多個(gè)險(xiǎn)種來分散風(fēng)險(xiǎn)。那些利潤比較少的或者處于虧損狀態(tài)的險(xiǎn)種無法立即篩除是為了穩(wěn)定大部分長期持有的客戶或者為了公司長久的計(jì)劃。保險(xiǎn)公司通過那些有著高額收益的險(xiǎn)種來謀求收益或者生存，通過不斷地改變險(xiǎn)種的組合來尋求更高的盈利水平和機(jī)會。所以下一步我們可以研究雙險(xiǎn)種或者多險(xiǎn)種下的帶干擾的廣義泊松風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)預(yù)防策略。