基于Rényi熵的銑削過程穩(wěn)定性預(yù)測研究

李忠群，劉 浪，段林升，肖檢冬，張偉峰

（湖南工業(yè)大學 機械工程學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

作為一種高效的切削加工方式，銑削被廣泛應(yīng)用于航空、航天及汽車制造等領(lǐng)域中。顫振是切削過程中的自激振動現(xiàn)象，它會制約銑削加工質(zhì)量與加工效率，如在工件表面留下振紋，降低零件表面質(zhì)量，嚴重時可能會損壞刀具和工件，甚至機床主軸。研究顫振的首要目的是根據(jù)穩(wěn)定性葉瓣圖選取切削參數(shù)，進而實現(xiàn)無顫振高效切削。

目前，顫振穩(wěn)定性分析方法可歸納為頻域分析和時域分析兩大類。頻域分析方法由于在分析過程中進行了近似處理，故處理速度較快，但是處理精度有限。時域分析方法由于綜合考慮了非線性切削力、刀齒跳離切削區(qū)以及過程阻尼等非線性因素的影響，因而分析精度較高[1]。時域分析方法主要有數(shù)值求解法、半離散和全離散求解法等。其中數(shù)值求解法應(yīng)用較廣，它通過先求解銑削過程的動力學微分方程，獲得切削、刀尖位移等時間歷程參數(shù)，再施用某種穩(wěn)定性判據(jù)，進而確定當前切削條件的穩(wěn)定性。數(shù)值求解法直觀、簡單，但穩(wěn)定性判據(jù)的有效性則成為該方法是否可行的關(guān)鍵。

數(shù)值求解法常用的穩(wěn)定判據(jù)主要有FFT（fast Fourier transform）法、動態(tài)力比靜態(tài)力法[2]、刀尖位移統(tǒng)計法[3]以及峰值力法等，其中FFT法的運用較為廣泛。FFT法適合處理周期信號或平穩(wěn)信號，而不適合處理切削振動信號[4]。刀尖位移統(tǒng)計法將樣本方差作為顫振判定標準，但是在小徑向切深情況下預(yù)測精度欠佳。相較靜態(tài)力法，動態(tài)力只能對某一工況顫振穩(wěn)定性進行判斷，適應(yīng)性較差。吳石等[5]以最大Lyapunov指數(shù)為判據(jù)，分別通過等高線法、輪廓法確定銑削顫振穩(wěn)定域。Sun Y.W.等[6]則將特征值是否大于1作為穩(wěn)定性判據(jù)。李忠群等[7]提出了一種用于預(yù)測銑削穩(wěn)定性的基于三階龍格-庫塔法的半解析方法，利用Floquet理論判斷特定切削狀態(tài)下的穩(wěn)定性。但是上述顫振穩(wěn)定性時域判據(jù)，都無法滿足在所有工況下都能準確識別顫振的要求，因此需進行改進。

鑒于顫振發(fā)生的典型特征是能量在頻率軸分布的改變，因此越來越來多的學者運用基于能量的方法在線判斷顫振現(xiàn)象。Rényi熵可準確反映切削過程中的能量變化，故本文先采用變步長龍格-庫塔法求解銑削動力學微分方程，然后采用Rényi熵分析其時間歷程參數(shù)，獲得銑削過程穩(wěn)定性葉瓣圖，以期為實現(xiàn)無顫振高效切削工藝提供參考。

2 變步長龍格-庫塔法求解銑削動力學微分方程

常用歐拉法或龍格-庫塔法求解銑削過程動力學微分方程。歐拉法將切線端點作為下一步起點，其計算效率較高但精度較低。而龍格-庫塔法因?qū)⑶蠼鈪^(qū)間細分，并對斜率進行加權(quán)平均，作為導(dǎo)數(shù)近似，故其在求解精度上有較大改善。本文采用變步長龍格-庫塔法求解銑削動力學微分方程，以確保計算精度，降低截斷誤差，減少計算量。

機床刀具系統(tǒng)的動力學微分方程可表示如下：

式中：X、Y分別為進給方向及其法方向；

mX、mY分別為X、Y方向系統(tǒng)模態(tài)質(zhì)量；

cX、cY分別為X、Y方向系統(tǒng)阻尼；

kX、kY分別為X、Y方向系統(tǒng)模態(tài)剛度；

FX(t)、FY(t)分別為X、Y方向上刀具所受切削力。

以X方向為例，其微分方程可轉(zhuǎn)化為

其初始條件為

以變步長龍格-庫塔法求解銑削過程動力學微分方程描述[8]如下：

針對式（2），在[tn,tn+1]時間內(nèi)，以步長h，運用龍格-庫塔法求振幅x的近似值，記為，此時截斷誤差為O(h5)，因此：

將步長h折半，[tn,tn+1]時間內(nèi)，分兩次求得近似值，記為，每次截斷誤差為c(h/2)5，因此：

對比式（5）（6），可得兩者的誤差關(guān)系如下：

由式（7）可知，若求解區(qū)間步長縮短一半，則截斷誤差變?yōu)樵瓉淼?/16。故采用變步長龍格-庫塔法求得的振幅近似值為

而將步長折半后兩次計算的偏差為

對于給定精度ε，步長選擇也不同。當ε＞Δ時，將步長反復(fù)折半并計算近似值，直至誤差小于給定精度，此時的近似值即為最終結(jié)果；當ε＜Δ時，將步長反復(fù)加倍并計算近似值，直至誤差大于給定精度，再將此步長值進行折半處理并計算，所得近似值即為最終的結(jié)果。

同理，可以得到Y(jié)方向的最終計算結(jié)果。

通過上述方法，獲得給定切削條件下的銑削時域信號，通過施用某種時域穩(wěn)定性判據(jù)，就能判定當前的切削條件是否穩(wěn)定。按一定的增量改變主軸轉(zhuǎn)速和軸向切深，重復(fù)上述過程，就能得到穩(wěn)定性葉瓣圖，其仿真流程如圖1所示，其中動態(tài)切削厚度與瞬時切削力的詳細計算見參考文獻[9]。

圖1 銑削穩(wěn)定性數(shù)值求解流程圖Fig.1 Flow chart of numerical solution of chatter stability for milling process

為了驗證上文所述方法求解所得結(jié)果的準確性，對不同條件下的槽銑進行切削仿真分析。仿真所用刀具為φ12的硬質(zhì)合金整體銑刀，刀齒數(shù)為2，螺旋角β=30°，鋁合金AL7075-T6工件材料，切削力辨識系數(shù)如下：切向切削力系數(shù)Ktc=796.0 N/mm2，徑向切削力系數(shù)Krc=168.0 N/mm2，軸向切削力系數(shù)Kae=222.0 N/mm2，切向刃口力系數(shù)Kte=27.7 N/mm，徑向刃口力系數(shù)Kre=30.8 N/mm，軸向刃口力系數(shù)Kae=1.5 N/mm。該條件下得到的仿真結(jié)果如圖2、3所示。

圖2 轉(zhuǎn)速為8 000 r/min、軸向切深為0.2 mm、每齒進給量為1.5 mm時的仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results under specific cutting conditions（n=8 000 r/min，ap= 0.2 mm，fZ=1.5 mm）

銑銑削過程中，穩(wěn)定切削時，切削信號幅值波動收斂；而顫振時，切削信號幅值會大幅增長。由圖2所示穩(wěn)定切削時切削力和刀具振幅仿真結(jié)果可以得知，穩(wěn)定切削下X、Y、Z方向的切削力信號波峰分別為 100, 250, 70 N 左右，波谷約為-150, -10 , -5 N。X、Y方向刀具振幅波峰分別約為 0.008, 0.021 mm，波谷約為-0.002, -0.014 mm ，而且無論是切削力還是刀具振幅，在整個切削過程中，波峰波谷值變化不大。由圖 3 所示顫振時切削力和刀具振幅仿真結(jié)果，可以得知，0.018 s 前，切削力和刀具振幅信號的波峰和波谷均保持在一個穩(wěn)定值。之后，刀具振幅和切削力值大幅增長，并經(jīng)過一段時間后穩(wěn)定，X、Y、Z方向切削力信號波峰分別約為 2 000, 4 000, 1 000 N，波谷約為 -2 800, -50, -10 N 。X、Y方向刀具振幅波峰分別約為 0.3, 0.5 mm，波谷約為-0.38, -0.40 mm。圖 2 和 3 所示仿真結(jié)果很好地反映了銑削過程的特點。因此，圖2 和 3 可證明本文所提求解銑削過程微分方程的方法是正確。

圖3 轉(zhuǎn)速為10 000 r/min，軸向切深為0.9 mm，每齒進給量為1.5 mm時的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results under specific cutting conditions（n=10 000 r/min，ap= 0.9 mm，fZ=1.5 mm）

3 基于Rényi熵的時域穩(wěn)定性判據(jù)

3.1 Rényi熵定義

熵在數(shù)學和信息學中分別用來表示問題的不確定性和系統(tǒng)的復(fù)雜性。問題的不確定性和復(fù)雜性越大，熵值越大，反之越小。作為熵推廣的Renyi熵，可用于判斷信號信息量和復(fù)雜度，被廣泛用于圖像配準[10-11]、無線電頻譜感知等信號處理領(lǐng)域。Rényi熵是一個無量綱指標，當概率集的所有值幾乎相等時，Rényi熵值較大，對應(yīng)系統(tǒng)復(fù)雜度較大；若只有少數(shù)值較大，其他值較小，則Rényi熵值較小，對應(yīng)系統(tǒng)復(fù)雜度較低。

時域信號x(t)的Rényi熵計算過程如下：

1）計算時域信號x(t)的幅度譜，為

式中：N為數(shù)據(jù)長度；

X(ω)為x(t)的頻譜。

2）通過歸一化處理，可估計出頻譜的概率密度函數(shù)，為

式中：s(fi)為頻率分量fi的頻譜能量；

pi為相應(yīng)的概率密度。

3）計算相應(yīng)的Rényi熵H，定義為

為了比較不同的工作條件，用系數(shù)log2N進行歸一化處理，可得歸一化處理后的Rényi熵E為

3.2 閾值確定

Rényi熵E經(jīng)歸一化處理后是(0，1)范圍內(nèi)的無量綱指標，其中，1表示不確定性最大，0表示不確定性最小。

為揭示Rényi熵是否可檢測顫振，并進一步確定顫振閾值，根據(jù)顫振穩(wěn)定性葉瓣圖分別選取穩(wěn)定狀態(tài)和非穩(wěn)定狀態(tài)所對應(yīng)的切削參數(shù)進行銑削過程時域仿真，并計算其Rényi熵。仿真參數(shù)設(shè)置如下：銑刀直徑D=12 mm，刀齒數(shù)N=2，螺旋角β= 30°，Ktc=796.0 N/mm2，Krc=168.0 N/mm2，Kte= 27.7 N/mm，Kre= 30.8 N/mm，工藝系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)見表1。穩(wěn)定與非穩(wěn)定狀態(tài)下刀尖振動位移及Rényi熵見圖4、5。

表1 工藝系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)Table 1 Modal parameters of the process system

圖4 穩(wěn)定切削條件下的振幅及其Rényi熵Fig.4 Amplitude with its Rényi entropy under a stable cutting condition

圖4顯示，穩(wěn)定切削時，信號的Rényi熵除開始時存在少許波動外，都一直穩(wěn)定在0.9左右，能量主要消耗在切削頻率及其諧振頻率上，確定性較大。圖5顯示，在非穩(wěn)定即顫振切削時，Rényi熵值開始時約為0.9，但隨著切削進行，進入顫振狀態(tài)，能量不僅消耗在切削頻率及其諧振頻率上，并且有部分能量消耗在顫振頻率上，其Rényi熵值逐漸減少，直至在0.8左右上下波動，即銑削顫振發(fā)生時，Rényi熵的值為0.8左右。

圖5 顫振條件下的振幅及其Rényi熵Fig.5 Amplitude with its Rényi entropy under a cutting condition

為進一步揭示顫振發(fā)生時的閾值，改變銑削的軸向切深，計算不同軸向切深下對應(yīng)的Rényi熵，并且計算不同切削狀態(tài)下從穩(wěn)定到顫振的Rényi熵，所得結(jié)果如表2所示。

表2 切削狀態(tài)與Rényi熵的關(guān)系表Table 2 Relationship between cutting state and Rényi entropy

表2顯示，穩(wěn)定切削時的Rényi熵在0.9左右；當顫振發(fā)生時，Rényi熵在0.8左右。因此，本文將發(fā)生顫振的Rényi熵閾值設(shè)為0.83，低于該值，則判定為有顫振現(xiàn)象發(fā)生。

4 仿真與試驗驗證

為驗證本文提出的Rényi熵穩(wěn)定性閾值及基于Rényi熵的銑削過程穩(wěn)定性預(yù)測方法，在銑削穩(wěn)定性時域仿真的基礎(chǔ)上進行穩(wěn)定性驗證試驗。驗證試驗在五軸加工中心Mikron HSM/600U上進行，所用刀具為直徑12 mm、螺旋角30°、2齒硬質(zhì)合金整體銑刀，工件材料為AL7075-T6，由切削力系數(shù)辨識試驗得到切削力系數(shù)同前一節(jié)，通過錘擊試驗獲得的工藝系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)如表1所示。

在進行顫振驗證試驗時，首先固定主軸轉(zhuǎn)速，將初始軸向切深設(shè)定為ap=0.07 mm，然后以0.03 mm的步長逐漸增加，直至監(jiān)測到切削顫振，然后改變主軸轉(zhuǎn)速重復(fù)上述過程。通過監(jiān)控切削再生及觀察已加工表面是否產(chǎn)生振紋來確定加工過程中是否產(chǎn)生顫振?；赗ényi熵的銑削穩(wěn)定性葉瓣圖預(yù)測結(jié)果與切削實驗結(jié)果對比如圖6所示。圖中，細實線為基于Rényi熵方法仿真得到的穩(wěn)定區(qū)與顫振區(qū)分界線，圖線下方為穩(wěn)定切削區(qū)，上方為顫振區(qū)；方塊點為試驗穩(wěn)定切削點，圓圈點為試驗顫振切削點。該圖顯示，銑削過程顫振穩(wěn)定性仿真結(jié)果與實驗結(jié)果較為一致，從而驗證了本文提出的基于Rényi熵的銑削過程顫振穩(wěn)定性預(yù)測方法及用于判定顫振的Rényi熵閾值是正確的。

圖6 基于Rényi熵的銑削穩(wěn)定性預(yù)測結(jié)果與實測結(jié)果對比Fig.6 Comparison of milling stability prediction results based on Rényi entropy with measured results

5 結(jié)論

1）考慮再生作用的銑削動力學微分方程，運用變步長龍格-庫塔法求解，可獲得諸如切削力、刀具振動等較為準確的銑削過程時域信號；

2）Rényi熵可以被作為一種判斷銑削過程穩(wěn)定性的有效判據(jù)；

3）作為銑削過程穩(wěn)定性判據(jù)的Rényi熵，其閾值為0.83。