厚尾相依面板序列均值變點(diǎn)的截尾CUSUM估計(jì)

楊銀倩,趙文芝

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

0 引 言

1963年，統(tǒng)計(jì)學(xué)家Mandebortz發(fā)現(xiàn)，許多金融資產(chǎn)收益率分布具有厚尾特性，更適合使用厚尾模型描述金融數(shù)據(jù)[1]。由此，厚尾隨機(jī)序列逐漸受到重視：ENGLE和BOLLERSLEV分別研究ARCH、GARCH模型[2-3]；趙蕊等研究了GARCH(1,1)模型的多變點(diǎn)檢驗(yàn)問(wèn)題，基于SUPF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在原假設(shè)下得到該統(tǒng)計(jì)量的極限分布[4]。隨著對(duì)金融時(shí)間序列變點(diǎn)問(wèn)題的研究逐步深入，具有P(|Y|>x)≈Cx-κ的厚尾時(shí)間序列成為熱點(diǎn)問(wèn)題，其中特征指數(shù)κ刻畫了隨機(jī)變量Y的尾部性質(zhì)，反映金融資產(chǎn)未來(lái)可能發(fā)生的損失和風(fēng)險(xiǎn)，所以研究其變點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)推斷十分有必要。楊曉琴研究厚尾相依序列均值變點(diǎn)的檢驗(yàn)問(wèn)題，采用Block Bootstrap方法而非傳統(tǒng)的獨(dú)立同分布Bootstrap方法逼近統(tǒng)計(jì)量的漸近分布[5]。呂會(huì)琴等用ANOVA型檢驗(yàn)討論厚尾相依序列的均值多變點(diǎn)問(wèn)題[6]。而在估計(jì)中，對(duì)所給序列建模時(shí)，必須估計(jì)變點(diǎn)時(shí)刻及躍度，否則容易對(duì)投資風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)生錯(cuò)誤推斷，從而造成不必要的損失。因此，分析厚尾序列的變點(diǎn)問(wèn)題顯得尤為重要。

上述對(duì)金融數(shù)據(jù)的研究主要在單一時(shí)間序列。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，金融數(shù)據(jù)量不斷增加，大樣本數(shù)據(jù)的變點(diǎn)問(wèn)題引起了人們的興趣。王慧敏等對(duì)高頻數(shù)據(jù)下相依序列均值變點(diǎn)和方差變點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造CUSUM型統(tǒng)計(jì)量理論推導(dǎo)出收斂速度[7]。張笛等在大樣本數(shù)據(jù)場(chǎng)合，基于最小二乘估計(jì)研究方差變點(diǎn)問(wèn)題[8],得到的結(jié)果比已有方法用時(shí)更短。時(shí)間序列數(shù)據(jù)經(jīng)常因?yàn)閿?shù)據(jù)單一導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差較大，從此以后,面板數(shù)據(jù)變點(diǎn)問(wèn)題逐漸受到學(xué)者們的重視。HORVTH等基于CUSUM方法，檢驗(yàn)面板數(shù)據(jù)的均值變點(diǎn)[9]。SHIN等用CUSUM方法研究了面板數(shù)據(jù)的變點(diǎn)問(wèn)題，檢驗(yàn)了有限樣本的面板數(shù)據(jù)的均值與方差變點(diǎn)，在原假設(shè)成立的條件下給出了均值變點(diǎn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布與相合性[10]。劉鑫研究了面板數(shù)據(jù)中漸變變點(diǎn)的估計(jì)問(wèn)題[11]。CHEN等使用CUSUM方法估計(jì)獨(dú)立序列的面板數(shù)據(jù)的均值變點(diǎn)，得到了估計(jì)量的相合性和收斂速度[12]。王有為基于比值法估計(jì)了面板數(shù)據(jù)中均值變點(diǎn)個(gè)數(shù)[13];尉夢(mèng)珂研究了面板數(shù)據(jù)變點(diǎn)模型的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題[14]。

但是，目前關(guān)于面板數(shù)據(jù)變點(diǎn)的研究多集中在薄尾情形，對(duì)具有P(|Y|>x)≈Cx-κ的厚尾時(shí)間序列變點(diǎn)問(wèn)題則大多集中在單條時(shí)間序列上。本文研究該序列面板數(shù)據(jù)變點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題，考慮如下厚尾相依序列的面板數(shù)據(jù)均值變點(diǎn)模型：

Yit=Xit+μi(t),1≤i≤N,1≤t≤T

(1)

模型(1)中：?i，{Xit}t=1,2,…,T是零均值的厚尾隨機(jī)變量序列；每條序列均有共同的未知變點(diǎn)k0(1≤ko

(2)

式中：μi1和μi2已知。

對(duì)于模型(1)的變點(diǎn)估計(jì)，大量學(xué)者做了相關(guān)研究：KOKOSZKA等研究{Xt}在方差有限情況下相依序列的均值變點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題[15-16]；特征指數(shù)為1≤κ≤2時(shí)，KOKOSZKA等令{Xt}為零均值厚尾隨機(jī)變量序列，在方差不存在的條件下，研究了{(lán)Yt}不含變點(diǎn)的均值變點(diǎn)估計(jì)[17]；HAN等假設(shè){Yt}存在一個(gè)均值變點(diǎn)，作出單條序列的截尾估計(jì)研究[18-19]。本文在文獻(xiàn)[18-19]基礎(chǔ)上，將其推廣至面板均值模型中。由于方差不存在，因此無(wú)法直接利用Hjek-Rényi不等式，無(wú)法得出變點(diǎn)的相合估計(jì)[15-16]。所以，文中先對(duì)序列{Yit}截尾，使之在截尾情形下方差有限，并作出截尾條件下Hjek-Rényi不等式的證明，以保證變點(diǎn)估計(jì)一致性。

1 假設(shè)條件與截尾估計(jì)

為方便研究面板數(shù)據(jù)變點(diǎn)截尾估計(jì)的相合性，提出假設(shè)條件和{Yit}的均值變點(diǎn)截尾估計(jì)。

假設(shè)1 ?i,{Xit}t=1,2,…,T是嚴(yán)平穩(wěn)的，具有n維對(duì)稱的邊緣分布并且滿足

2μ(dx)=κ|x|-κ-1I{x<0}dx+

κ|x|-κ-1I{x>0}dx

式中：1<κ<2。

假設(shè)2 ?y>0,t≠s，有

E[XitI{|Xit|≤y}XisI{|Xis|≤y}]=0

假設(shè)1是面板數(shù)據(jù)中厚尾分布應(yīng)滿足的條件，同時(shí)是n維邊緣分布屬于特征指數(shù)為κ的穩(wěn)定分布的吸收域所滿足的條件；因1<κ<2，可知Xit不存在協(xié)方差，因此假設(shè)Xit截尾不相關(guān)，假設(shè)2成立；假設(shè)條件3是指Tα→∞的速度比N→∞的速度快 ；假設(shè)條件4合理描述了N和(μi1-μi2)的關(guān)系。

(3)

式中：δiT為截尾參數(shù)，滿足?i，當(dāng)T→∞時(shí)，有δiT→0，且aiTδiT→∞。對(duì)模型(1)的變點(diǎn)k0，在截尾情形下建立CUSUM估計(jì)量

(4)

其中

(5)

且

(6)

2 主要結(jié)果

(7)

證明 類似文獻(xiàn)[13]的定理1證明思想，?i，有T個(gè)隨機(jī)變量M1,M2,…,MT，令

Bk={M1≤ε,M2≤ε,…,MT≤ε}

則

(8)

設(shè)

由式(8),有

其中

Bk′={M1≤ε2,M2≤ε2,…,Mk≤ε2}

因?yàn)?/p>

所以

由Karamata定理[20]，

由此可得式(7)。

(9)

證明 對(duì)于模型(1)，

(10)

(11)

當(dāng)k=k0，有

(12)

由式(11)和(12)可以得到

(13)

由拉格朗日中值定理,有

(14)

(1-τ0)1-γ-(1-τ)1-γ≥

(1-γ)(1-τ0)-γ(τ-τ0)

(15)

聯(lián)立式(13)、(14)、(15),可得

|E(Vk0)|-|E(Vk)|≥

(16)

所以

(17)

其中

(18)

由

(19)

得到

|E(Vk0)|-|E(Vk)|≤

(20)

聯(lián)立式(17)、(20)可得

(21)

(22)

由于

(23)

所以

(24)

(25)

同樣,對(duì)式(24)不等號(hào)右邊的第二項(xiàng)，有

(26)

所以

(27)

若

(28)

則

(29)

有

(30)

則

(31)

因?yàn)?<γ<1，有

(32)

(33)

利用假設(shè)3有

(34)

定理2得證。

推論1 在定理2條件下，如果?i，當(dāng)T→∞時(shí)，有δiT→0，且aiTδiT→∞，則?0≤β≤1/2,C>0,使得?ε>0，有

(35)

證明 由文獻(xiàn)[13]推論1，aiT=O(T1/κ)，δiT=O(T1/κ+β)，得

(36)

3 結(jié) 語(yǔ)

在厚尾隨機(jī)變量序列面板數(shù)據(jù)均值變點(diǎn)問(wèn)題中，序列中“異常”點(diǎn)對(duì)估計(jì)結(jié)果是有影響的。本文將序列截尾，得到截尾序列情形下Hjek-Rényi型不等式，在此基礎(chǔ)上證明得到面板數(shù)據(jù)均值變點(diǎn)估計(jì)的相合性，并表明了參數(shù)β的大小直接影響著變點(diǎn)估計(jì)收斂速度快慢。