列車荷載作用下準(zhǔn)飽和地基波阻板隔振特性研究

宋永山，高 盟，陳青生

（1.山東科技大學(xué)山東省土木工程防災(zāi)減災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266590；2.山東科技大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，山東青島 266590；3.華東交通大學(xué)江西省巖土工程基礎(chǔ)設(shè)施安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西南昌 330013）

引言

高鐵建設(shè)快速發(fā)展，列車運(yùn)行速度不斷提高，其產(chǎn)生的環(huán)境振動(dòng)污染也逐漸加劇，列車軌道及沿線地基隔振減振措施成為研究熱點(diǎn)［1-4］。

波阻板（wave impedance block，WIB）作為一種有效隔振方法自其提出便受到了廣泛關(guān)注。1991年，Schmid等［5］首次提出可以通過在一定深度處埋設(shè)剛性障礙物人工實(shí)現(xiàn)高鐵振動(dòng)影響的減小。并與剛性墻對(duì)高鐵振動(dòng)隔振效果比較，證明了該方法的有效性。Yang等［6］對(duì)彈性地基中列車荷載作用下空溝、填充溝、WIB隔振效果及其設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)WIB有良好隔振效果。高廣運(yùn)等［7］建立飽和地基2.5維有限元模型，分析空溝、混凝土墻和WIB隔振效果，同樣得到WIB隔振效果最好的結(jié)論。為深入研究WIB隔振措施對(duì)高鐵振動(dòng)頻帶衰減影響，Takemiya等［8-9］建立WIB隔振數(shù)值分析模型，發(fā)現(xiàn)WIB對(duì)低于15.3 Hz的低頻段有較好隔振效果。李志江等［10］對(duì)比彈性地基中實(shí)體WIB與蜂窩WIB隔振效果，認(rèn)為蜂窩WIB隔振效果更好，但實(shí)體WIB對(duì)0～10 Hz的低頻振動(dòng)更有效。時(shí)剛等［11］建立彈性地基邊界元模型，分析了WIB對(duì)Rayleigh波的隔振能力，并討論了WIB埋深、厚度等參數(shù)影響。周鳳璽等［12］建立彈性地基-飽和多孔介質(zhì)WIB模型，分析了一種含液飽和多孔WIB的地基隔振性能。田抒平等［13-14］發(fā)展了一種帶孔WIB填充Duxseal的隔振方法，分別建立二維均質(zhì)、分層彈性地基邊界元模型分析了隔振材料直徑、厚度和埋深等對(duì)隔振效果的影響。WIB的隔振效果、參數(shù)設(shè)計(jì)等得到了充分研究，一些新興WIB隔振材料也被發(fā)展。然而，這些研究往往將地基視為彈性或飽和兩項(xiàng)介質(zhì)，以簡(jiǎn)化復(fù)雜的動(dòng)力問題，這與實(shí)際工程相差較大。

在實(shí)際工程中，由于地下水位開挖、滲水和地下水補(bǔ)給，地基多為孔隙中含有少量氣泡的準(zhǔn)飽和土［15］。Richart等［16］進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)飽和度對(duì)準(zhǔn)飽和土中波的傳播有重要影響。近年來，準(zhǔn)飽和地基中振動(dòng)傳播理論逐漸發(fā)展。Vardoulakis等［17］基于固-流-氣系統(tǒng)建立了準(zhǔn)飽和介質(zhì)場(chǎng)和動(dòng)態(tài)本構(gòu)方程以研究準(zhǔn)飽和介質(zhì)中簡(jiǎn)諧波振動(dòng)響應(yīng)規(guī)律，建立了VB理論；Bardet等［18］通過對(duì)比VB理論及Biot理論應(yīng)用范圍，發(fā)現(xiàn)VB理論在某些情況下會(huì)失效，因此基于Biot理論推導(dǎo)了準(zhǔn)飽和介質(zhì)中P波傳播速度和衰減近似表達(dá)式；Yang［19］基于Biot理論推導(dǎo)斜向SV波在準(zhǔn)飽和地基中傳播方程，對(duì)其傳播特性進(jìn)行了研究。在國(guó)內(nèi)，李保忠等［20］基于Biot理論，對(duì)準(zhǔn)飽和介質(zhì)中體波傳播特性進(jìn)行研究，并分析飽和度變化對(duì)橫觀各向同性介質(zhì)中體波振動(dòng)響應(yīng)的影響，得到三種體波衰減受飽和度影響較大而SH波不受飽和度影響的結(jié)論；夏唐代等［21-22］同樣基于Biot理論對(duì)準(zhǔn)飽和介質(zhì)瑞利波特征方程進(jìn)行推導(dǎo)，發(fā)展了不同透水邊界條件、飽和度變化對(duì)瑞利波傳播速度、位移響應(yīng)的影響。王瀅等［23］推導(dǎo)準(zhǔn)飽和地基中內(nèi)源瞬態(tài)荷載動(dòng)力響應(yīng)解答，發(fā)現(xiàn)飽和度變化對(duì)內(nèi)源爆炸荷載產(chǎn)生的襯砌位移、應(yīng)力和孔壓有較大影響。以上研究表明，地基飽和度變化對(duì)振動(dòng)傳播特性有較大影響，P波、瑞利波、體波等在準(zhǔn)飽和介質(zhì)中的傳播特性研究不斷完善，但高鐵移動(dòng)荷載產(chǎn)生的振動(dòng)傳播及隔振，因其復(fù)雜性及計(jì)算難度較大，相關(guān)研究還未見報(bào)道。

因此，建立準(zhǔn)飽和地基-高鐵列車-WIB隔振模型，推導(dǎo)準(zhǔn)飽和地基2.5維有限元波動(dòng)方程，分析高鐵移動(dòng)荷載作用下準(zhǔn)飽和地基WIB隔振效果?；贐iot波動(dòng)理論，考慮飽和度因素，建立準(zhǔn)飽和孔隙流體平衡方程；主要理論分析過程包括利用Fourier變換得到載荷和準(zhǔn)飽和地基頻域控制方程，通過Fourier反變換得到地面振動(dòng)的時(shí)域解。編制Fortran程序，計(jì)算不同列車速度下準(zhǔn)飽和地基WIB隔振效果，分析飽和度對(duì)WIB隔振效果、隔振頻率的影響。對(duì)飽和度95%的準(zhǔn)飽和地基中WIB主要隔振設(shè)計(jì)參數(shù)埋深、寬度、厚度和彈性模量等進(jìn)行了研究。

1 準(zhǔn)飽和地基理論推導(dǎo)

1.1 準(zhǔn)飽和土體基本方程

對(duì)于準(zhǔn)飽和多孔介質(zhì)，孔隙流體是水和空氣的混合物，氣泡以閉合形式存在于孔隙流體，因此可將其近似視為均質(zhì)孔隙流體［19］。其體積模量可表示為：

式中：Kf為孔隙中混合流體體積模量；Kw為孔隙水體積模量；pa為絕對(duì)孔隙壓力。對(duì)于孔隙度n和飽和度Sr可以表征為：

式中：Vv為孔隙體積；Vt為總體積；Vw為孔隙水體積。

由式（1）可知，飽和度改變對(duì)K f影響極大，因此飽和度對(duì)準(zhǔn)飽和土的影響必須加以考慮，且有重要實(shí)踐意義。根據(jù)Biot方程，可以得到準(zhǔn)飽和介質(zhì)中孔隙流體控制方程和平衡方程：

式中：p表示孔壓；ρf為孔隙流體密度；u，W分別為固體骨架和孔隙流體的位移矢量，W表示固體骨架的體積應(yīng)變和流體含量的增量W=n（u-w），kd為動(dòng)力滲透系數(shù)。g=9.8 m/s2。

為求解控制方程，對(duì)式（3）、式（4）進(jìn)行Fourier變換并考慮土骨架控制方程［7］，得準(zhǔn)飽和地基頻域內(nèi)控制方程：

式中：F=（nkd）/（iωρf gn-ω2kdρf）；λ、μ為固體骨架Lame常數(shù)，λc=λ（1+2βi），μc=μ（1+2βi）；β為土體的阻尼系數(shù)；ρ為總密度；ω為圓頻率；‘～’表示頻域內(nèi)的量。

1.2 邊界條件

對(duì)準(zhǔn)飽和土體邊界條件，應(yīng)考慮應(yīng)力、位移邊界條件、邊界孔隙壓力和流體流量，表達(dá)式包括：

（1）位移邊界條件：

（2）應(yīng)力邊界條件：

（3）流勢(shì)（不排水）邊界條件：

（4）流量（排水）邊界條件條件：

式中：vn，q分別表示流體的流速和流量。

1.3 軌道及荷載模型

將軌道簡(jiǎn)化為直接鋪設(shè)在地基上的歐拉梁，并將其在高鐵列車荷載作用下產(chǎn)生的微小變形看做整體變形，可得軌道的動(dòng)力方程為：

式中：ur為軌道的振動(dòng)位移；E I為軌道的彎曲剛度；m為軌道的總質(zhì)量；fIT，p0分別為地基接觸點(diǎn)的反力和外加荷載。p0δ(x-ct)為作用在軌道上的荷載。

對(duì)式（10）進(jìn)行Fourier變換可得：

式中：上標(biāo)x，t分別表示波數(shù)域和頻域中的變量。

表示成矩陣形式為：

式中：U TT為軌道所處坐標(biāo)系中3個(gè)方向的位移向量。

建立準(zhǔn)飽和地基中列車模型如圖1所示。列車荷載作用在軌道上，沿y軸正方向行駛。對(duì)于運(yùn)行速度c，自振頻率ω0的列車荷載，其在時(shí)域內(nèi)表達(dá)式為：

圖1 列車荷載模型圖Fig.1 The train load model

式中：pn1，pn2分別為車體的前后輪對(duì)重；Li為車廂長(zhǎng)度；an，bn分別為前后軸之間的距離；δ為Dirac函數(shù)。

變換到頻域內(nèi)，可表示為：

2 2.5維有限元推導(dǎo)

對(duì)式（5a）及式（7）應(yīng)用伽遼金法，可得：

對(duì)式（15）第一項(xiàng)進(jìn)行分部積分后帶入物理方程，可得

將式（16）帶入式（15），可得

整理式（17），可得

模型采用四節(jié)點(diǎn)等參單元離散，其形函數(shù)為：

單元變形可通過節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行表示，如下所示：

式（18）沿y方向進(jìn)行波數(shù)展開，得頻域-波數(shù)域內(nèi)表達(dá)式，用矩陣形式表示為：

式中，“—”表示波數(shù)域中的量，各矩陣具體表示為：

式中：*表示共軛；N為形函數(shù)；e表示個(gè)體單元；η，ξ為局部坐標(biāo)；∣J∣為Jocobi行列式，其余表達(dá)式包括：

對(duì)式（5b）和式（8）同樣應(yīng)用伽遼金法得：

對(duì)式（22）進(jìn)行分部積分并帶入物理方程，可得

沿y方向進(jìn)行波數(shù)展開后得：

各矩陣具體表示形式：

其中，BS=（-iξx?/?y?/?z）T，其余符號(hào)同前一致。因此，組成整體剛度矩陣：

3 模型驗(yàn)證

對(duì)準(zhǔn)飽和地基2.5維有限元模型進(jìn)行退化驗(yàn)證，當(dāng)準(zhǔn)飽和地基的ρf→0和n→0時(shí)，準(zhǔn)飽和介質(zhì)退化為彈性介質(zhì)。建立橫截面為100 m×20 m的半空間模型模擬地基，地基表面作用移動(dòng)速度為60 m/s的點(diǎn)荷載。地基土參數(shù)包括土體密度2 500 kg/m3，剪切波速100 m/s，泊松比0.47，阻尼系數(shù)0.05。

如圖2所示，對(duì)移動(dòng)點(diǎn)荷載正下方1 m處水平方向與豎直方向位移進(jìn)行監(jiān)測(cè)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理（乘以2πρVs2/p）并與Eason等［24］得到的解析解進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果吻合較好，證明了文中理論和模型的可靠性。

圖2 2.5維有限元模型驗(yàn)證Fig.2 Verification of 2.5-dimensional finite element model

4 準(zhǔn)飽和地基WIB隔振效果

建立列車-軌道-準(zhǔn)飽和地基-WIB有限元模型，如圖3所示。軌道為鋪設(shè)在地基上的Euler梁，寬度B取為3 m，模型底部及四周邊界采用人工粘彈性邊界。假定垂直軌道方向截面連續(xù)，且每個(gè)截面上土體及結(jié)構(gòu)材料特性一致。其中，軌道中心設(shè)置為坐標(biāo)原點(diǎn)。2.5維有限元模型長(zhǎng)為100 m，高為20 m，共劃分為1 610個(gè)單元，1 704個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中軌道中心位置網(wǎng)格劃分進(jìn)行加密，其余部分適當(dāng)加粗。

圖3 2.5維有限元模型Fig.3 2.5-dimensional finite element model

為分析準(zhǔn)飽和地基飽和度變化及WIB參數(shù)對(duì)其隔振效果影響，以秦沈客運(yùn)專線工程實(shí)例［25］進(jìn)行算例分析。列車參數(shù)取國(guó)產(chǎn)“先鋒號(hào)”的有關(guān)數(shù)據(jù)，拖車長(zhǎng)為25.5 m，共2輛；動(dòng)車長(zhǎng)為26.6 m，共4輛，其中2輛動(dòng)車和一輛拖車構(gòu)成1個(gè)單元，列車總長(zhǎng)158.4 m，共12個(gè)輪對(duì)，列車平均軸重12 674.46 kg。軌道彎曲剛度E I=13.254 MN·m2，重m=540 kg/m。WIB埋深k為1 m，寬度e為6 m，厚度t為1 m，彈性模量E為33 000 MPa。其余準(zhǔn)飽和土體參數(shù)及WIB參數(shù)見表1。

表1 準(zhǔn)飽和地基及WIB計(jì)算參數(shù)Table 1 Calculation parameters of nearly-saturated ground and WIB

為對(duì)WIB隔振效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，采用振幅衰減系數(shù)作為隔振效果分析重要指標(biāo)，定義如下：

4.1 飽和度對(duì)x方向位移振幅衰減系數(shù)影響

列車速度一直是高鐵振動(dòng)的重要研究?jī)?nèi)容，因此算例中考慮不同列車速度下WIB隔振效果，包括低速30 m/s，基本運(yùn)行速度70 m/s，高速運(yùn)行速度300 m/s。并結(jié)合地基土剪切波速100 m/s，考慮產(chǎn)生共振的列車臨界速度105 m/s進(jìn)行分析。根據(jù)工程中對(duì)準(zhǔn)飽和土（飽和度≥95%）的定義，分析飽和度為95%，96%，97%，98%，99%，100%時(shí)不同列車速度下準(zhǔn)飽和地基中WIB隔振效果。其中，飽和度為100%時(shí)為飽和地基。

如圖4所示，為準(zhǔn)飽和地基中不同飽和度變化對(duì)WIB隔振系數(shù)AX的影響。當(dāng)列車速度為30、70、300 m/s時(shí)隨飽和度減小，波阻板隔振系數(shù)明顯增大。列車速度為30、70 m/s時(shí)甚至出現(xiàn)AX大于1的情況，說明此時(shí)加入波阻板，對(duì)地面x方向位移幅值有增大影響，工程設(shè)計(jì)中應(yīng)加以考慮。列車速度為30 m/s，距離軌道中心12 m處，飽和度為95%與100%時(shí)AX相差1.75倍，意味著將準(zhǔn)飽和地基作為飽和地基進(jìn)行計(jì)算時(shí)，將帶來75%的誤差。這與準(zhǔn)飽和地基飽和度下降使高鐵移動(dòng)荷載產(chǎn)生的地面振動(dòng)位移增大的現(xiàn)象一致。

圖4 不同飽和度下WIB隔振系數(shù)A XFig.4 Isolation coefficient A X of WIB of different saturations

對(duì)于不同速度的列車荷載，隨著列車速度增加，波阻板隔振性能越好，地基飽和度對(duì)波阻板隔振性能影響減小。波阻板的隔振原理可以表述為在軟土地基中插入剛性基礎(chǔ)后，振動(dòng)波通過軟土地基與波阻板的分界面時(shí)只有高于受約束的剪切頻率才能在上部傳播。也就是說波阻板存在截止頻率，對(duì)截止頻率以下的波有隔振效果。波阻板截止頻率的計(jì)算可由式（26）得到：

式中：f表示波阻板截止頻率；cp為上部土體壓縮波的波速；h為上部土層的厚度。

高速的高鐵列車產(chǎn)生振動(dòng)加速度增大，在截止頻率以下的振動(dòng)加速度增大，使波阻板隔振效果增強(qiáng)。波阻板對(duì)于高速運(yùn)行的高鐵列車將有更好的隔振效果。列車速度為105 m/s時(shí)，波阻板隔振性能最好，說明此時(shí)不僅波阻板的截止頻率起到作用，波阻板與地基形成復(fù)合地基，通過增大地基剪切波速還減小了高鐵移動(dòng)荷載與地基的共振作用。

4.2 飽和度對(duì)z方向位移振幅衰減系數(shù)影響

對(duì)于準(zhǔn)飽和地基中波阻板對(duì)z向位移振幅衰減系數(shù)的影響，飽和度減小，波阻板隔振性能增強(qiáng)，如圖5所示。從波阻板隔振機(jī)理的角度進(jìn)行解釋，波阻板具有良好隔振性能主要是由于其對(duì)波的反射、散射作用，并且定義了波阻抗比α研究隔振材料的隔振性能：

式中：ρ1v1為分界面上第1種介質(zhì)的波阻抗；ρ2v2為第2種介質(zhì)的波阻抗；ρ為介質(zhì)的密度；v為波速。

在波阻板波阻抗不變的情況下，準(zhǔn)飽和地基由于氣體的存在使高鐵列車移動(dòng)荷載產(chǎn)生的地基中橫向波速增大、縱向波速減小，從而導(dǎo)致了準(zhǔn)飽和地基飽和度減小使波阻板橫向位移振幅衰減系數(shù)增大、豎向位移振幅衰減系數(shù)減小的復(fù)雜變化。觀察圖5可知，當(dāng)距離軌道中心距離小于3 m時(shí)，飽和度變化對(duì)z方向波阻板隔振性能影響較小。此時(shí)，在波阻板寬度范圍內(nèi)，列車移動(dòng)荷載產(chǎn)生的豎向位移振幅的減小主要由波阻板的反射作用控制，研究表明，準(zhǔn)飽和地基飽和度對(duì)波阻板反射作用影響不明顯。地面振動(dòng)響應(yīng)位置超過波阻板寬度后，波阻板對(duì)z方向位移衰減效果隨地基飽和度減小而增強(qiáng)。飽和度為95%時(shí)，隔振性能最好，從飽和地基減小至飽和度99%時(shí)波阻板隔振性能的增加遠(yuǎn)大于飽和度從99%減小至95%，這與王瀅等［23］研究結(jié)果一致。

圖5 不同飽和度下WIB隔振系數(shù)A RFig.5 Isolation coefficient A R of WIB of different saturations

4.3 準(zhǔn)飽和地基WIB隔振頻帶研究

以70 m/s速度運(yùn)行的高鐵列車為研究對(duì)象，研究不同飽和度變化對(duì)WIB隔振頻帶的影響。圖6～圖9分別為距離軌道中心0、5、10、20 m（x=0 m，x=5 m，x=10 m，x=20 m），飽和度為95%，100%無(wú)WIB及有WIB地基地面振動(dòng)的頻譜曲線，以此分析WIB隔振后地面振動(dòng)的頻率分布。由圖6可知，WIB對(duì)0-35 Hz頻率有明顯隔振效果，加速度值衰減明顯。對(duì)比圖6～圖9中（a）、（b）不同飽和度的WIB隔振地基，對(duì)于無(wú)WIB的地基，飽和度減小，加速度呈現(xiàn)增大現(xiàn)象，而加入WIB后飽和度減小對(duì)隔振頻率加速度有一定減小作用，這與上文結(jié)論一致。但WIB隔振后殘余頻帶卻隨飽和度減小而增大，如圖7所示，飽和度為100%時(shí)WIB隔振后頻帶為0～11 Hz，飽和度為95%時(shí)WIB隔振后頻帶為0～13 Hz。圖8、圖9顯示W(wǎng)IB雖對(duì)低頻隔振效果較好，但隔振后仍殘留較多2～4 Hz頻率。

圖6 x=0 m處WIB隔振頻譜曲線Fig.6 Frequency spectrum curve of WIB when x=0 m

圖7 x=5 m處WIB隔振頻譜曲線Fig.7 Frequency spectrum curve of WIB when x=5 m

圖8 x=10 m處WIB隔振頻譜曲線Fig.8 Frequency spectrum curve of WIB when x=10 m

圖9 x=20 m處WIB隔振頻譜曲線Fig.9 Frequency spectrum curve of WIB when x=20 m

4.4 準(zhǔn)飽和地基WIB參數(shù)分析

根據(jù)以上研究發(fā)現(xiàn)，飽和度從100%減小至95%時(shí)WIB隔振效果呈遞進(jìn)關(guān)系，S r=95%時(shí)隔振效果與飽和時(shí)差別最大，因此分析飽和度為95%時(shí)WIB隔振效果。其中用k表示W(wǎng)IB埋深，e表示W(wǎng)IB寬度，t表示W(wǎng)IB厚度，E表示W(wǎng)IB彈性模量。研究WIB參數(shù)變化對(duì)隔振效果的影響，Woods［26］表明振幅衰減系數(shù)AR對(duì)WIB隔振具有較好評(píng)價(jià)效果，因此將其作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。

圖10（a）為WIB不同埋深時(shí)隔振效果，由圖可知，WIB埋深對(duì)WIB隔振效果影響較大，且并不是埋深越深WIB隔振效果越好，觀察其變化規(guī)律可知，WIB埋深為1 m時(shí)隔振效果較好。圖10（b）為不同WIB寬度時(shí)隔振效果，WIB隔振效果隨寬度增加隔振效果增強(qiáng)，但WIB寬度達(dá)到6 m后隔振效果增加效果不再明顯。圖10（c）為不同WIB厚度的隔振效果，厚度為0.5 m時(shí)WIB隔振效果較差，厚度大于1 m后WIB隔振效果明顯較好，AR值均低于0.4，當(dāng)WIB厚度為1.5 m時(shí)隔振效果最好。圖10（d）為不同彈性模量時(shí)WIB隔振效果，WIB彈性模量越大，WIB隔振效果越好。

圖10 Sr=95%時(shí)WIB參數(shù)對(duì)隔振效果影響Fig.10 Influences of WIB parameters for vibration isolation effect when S r=95%

5 結(jié)論

文中基于Biot波動(dòng)方程，推導(dǎo)準(zhǔn)飽和土2.5維有限元波動(dòng)方程，為工程計(jì)算高鐵移動(dòng)荷載作用下準(zhǔn)飽和地基WIB隔振效果提供了更為合理的解決方案。通過數(shù)值算例研究了不同列車速度時(shí)飽和度變化對(duì)WIB隔振效果的影響，并分析了飽和度為95%的準(zhǔn)飽和地基中WIB設(shè)計(jì)最優(yōu)參數(shù)值。得到如下主要結(jié)論：

（1）準(zhǔn)飽和地基中，高鐵移動(dòng)荷載作用下波阻板x方向位移振幅減振效果基本隨飽和度減小而增大，S r=95%時(shí)相較于100%最大差值達(dá)1.75倍，將產(chǎn)生75%的誤差。

（2）WIB對(duì)0～35 Hz頻率有明顯減小作用，WIB對(duì)加速度幅值隔振效果隨飽和度減小而增強(qiáng)，但WIB隔振后距離軌道中心20 m處仍殘留2～4 Hz頻率。

（3）飽和度為95%的準(zhǔn)飽和地基中，WIB參數(shù)變化對(duì)其隔振效果的影響主要表現(xiàn)為：隔振效果隨WIB埋深增大呈現(xiàn)出先增大后減小的變化，埋深1 m時(shí)隔振效果最好；隔振效果隨WIB寬度增大而增大，但寬度大于6 m后隔振效果變化幅度較小；不同WIB厚度，除0.5 m厚度外，WIB隔振效果均較好；WIB隔振效果隨其彈性模量增大而增強(qiáng)。