基于Euler-Maruyama法的微分方程數(shù)值解的收斂性研究

宋麗雅

(長治幼兒高等師范?？茖W校；太原師范學院)

0 引言

自變量分段連續(xù)型微分方程(SEPCAs)是一類可以應用到生活中各個領(lǐng)域中的微分方程，這類方程可以被應用在表示理學、工學、醫(yī)學等領(lǐng)域的一些模型中[1].SEPCAs方程的解是一個不間斷的，在相鄰的兩個區(qū)間的端點上的解具有遞推關(guān)系[2].SEPCAs方程的解一般以初始數(shù)據(jù)有限集合表示，隨著數(shù)據(jù)集的變化方程解也隨之變化，而不是如微分方程那樣以初始函數(shù)進行判斷[3].描述方程的每一個獨立區(qū)間都可以構(gòu)成一個離散自變量的差分方程，能夠用于描述事物變化的規(guī)律[4].所以，SEPCAs方程代表了具有連續(xù)性和離散動力系統(tǒng)的融合，通過解析可以反映微分與差分方程二者的關(guān)系[5].例如，信號控制系統(tǒng)中的脈沖傳遞數(shù)學模型X′(T)=aX(T)+VX(|t|),t>0屬于自變量分段連續(xù)微分方程[6].因此，無論在理論上還是應用上，對SEPCAs的分析都是一個有趣的調(diào)研方向.通常情況下，自變量分段連續(xù)型隨機微分方程是無法求出方程的顯式解的，所以在現(xiàn)實求解中需要求出數(shù)值解[7].該文研究SEPCAs方程的數(shù)值解和SEPCAs數(shù)值解的收斂性，為SEPCAs方程數(shù)學模型的應用提供參考.

1 基礎(chǔ)符號和歐拉方法

1.1 基礎(chǔ)符號

1.2 自變量分段連續(xù)型隨機微分方程

在本文中，考慮了自變量分段連續(xù)型隨機微分方程：

dx(t)=f(x(t),x([t]))dt+

g(x(t),x([t]))dB(t),?t≥0

(1)

帶有初值x(0)=x0，其中f:Rn×Rn→Rn，

g:Rn×Rn→Rn×d，[x0]為矢量，[·]表示取整函數(shù).根據(jù)隨機微分的定義，式(1)基本可以相當于下列的隨機積分方程：

(2)

除此之外，還要求系數(shù)f和g足夠光滑.確切地說，給出了下列條件：

(3)

(H2)線性增長條件：存在一個正常數(shù)K，使得

|f(x,y)2|∨|g(x,y)2|≤K(1+|x2|+|y2|)

(4)

(H3)單調(diào)條件：對于所有的(x,y)∈Rn×Rn，一般情況下都存在一個正常數(shù)K1，可以令

|x2|+|y2|)

(5)

(H4)有界p階矩條件:存在一對常數(shù)p>2和K2，使得

(6)

如果一個Rn值隨機過程具有以下三條性質(zhì)，則稱其為方程(1)在[0,∞)上的解[6]：

(1){x(t)}在[0,∞)上是連續(xù)的，F(xiàn)t是可適應的；

(2){f(x(t),x([t]))}∈L1([0,∞),Rn)且{g(x(t),x([t]))}∈L2([0,∞),Rn×d)；

(7)

yn+1=yn+f(yn,yh([nh]))h+

g(yn,yh([nh]))ΔBn

(8)

對于n=0,1,2,…，其中ΔBn=B(tn)-B(tn-1)，yh[nh]是精確解x([nh])的近似值.設(shè)n=km+l(k=0,1,2,…,l=0,1,2,…,m-1)，歐拉方法對方程(1)的可適應導致了以下類型的數(shù)值過程

ykm+l+1=ykm+l+f(ykm+l,ykm)h+

g(ykm+l,ykm)ΔBkm+l

(9)

其中ΔBkm+l=B(tkm+l)-B(tkm+l-1)，ykm+l和ykm分別是精確解x(tkm+l)和x([tkm+l])的近似值.連續(xù)Euler-Maruyama 近似解被定義為

(10)

其中對于t∈[tkm+l,tkm+l+1]有，z(t)=ykm+l和z([t])=ykm.不難看出對于k=0,1,2,…，l=0,1,2,…,m-1有y(tkm+l)=z(tkm+l)=ykm+l.對于足夠大的整數(shù)i，定義停止時間ηi=inf{t≥0:

|x(t)|≥i},θi=inf{t≥0:|y(t)|≥i},τi=ηi∧θi.

2 Euler-Maruyama方法的收斂性

2.1 Euler-Maruyama方法在p階矩有界條件下的收斂性

引理1 在(H1)條件下，設(shè)T>0是任意的，有

Esup|y(t)-z(t)|2≤C1(x0,i)h

(11)

其中C1(x0,i)=4Li(T+4)K2.

證明對于t∈[0,T)，存在著兩個整數(shù)，分別為k和l，進而使得t∈[tkm+l,tkm+l+1].通過H?lder不等式，便不難可以推斷出

這也就是說，對于任意的0≤t1≤T

通過Doob’s鞅不等式，可以得到

利用局部Lipschitz條件

C1(x0,i)h

其中C1(x0,i)=4Li(T+4)K2.

定理1 在(H1)條件和(H4)條件下，Euler-Maruyama近似解收斂于方程(1)的精確解

(12)

證明首先確定p>2；再設(shè)e(t)=x(t)-y(t)；因此，很容易能夠看出

因此，對于任意δ>0，有

ηi>T}

由條件(H4)，可以得出

P(θi≤Torηi≤T}≤P(θi≤T)+

使用下面的兩個界限

通過這些x(t)和y(t)的定義，有

因此，對于任意t1∈[0,T]

(13)

根據(jù)H?lder不等式，條件(H1)和引理1，可以得到

(14)

(15)

把式(14)和式(15)共同代入到式(13)中可以得出

通過Gronwall不等式，必然可以得到

Esup|x(t∧τi)-y(t∧τi)|2≤

C2(x0,i)h

其中C2(x0,i)=8T(T+4)LiC1(x0,i)e8T(T+4)Li，有

2.2 Euler-Maruyama方法在線性增長條件下的收斂性

引理2 在線性增長條件下(H2)，存在一個正的常數(shù)C3，能夠讓方程(1)的解滿足

(16)

其中C3=C3(p,T,K)是一個與h無關(guān)的常數(shù).

證明由式(2)可知

這就意味著，對于任意0≤t1≤T有，

接下來，通過Burkholder-Davis-Gundy不等式以及Hlder不等式，可以很容易看出

其中Cp是一個常數(shù)，由線性增長條件可知

通過Gronwall不等式，可以得到

其中C3=C3(p,T,K)是一個與h無關(guān)的常數(shù).

2.3 單調(diào)條件下Euler-Maruyama方法的收斂性

引理3 在單調(diào)條件(H3)下，存在一個正的常數(shù)C5，使得方程(1)的解可以滿足

(17)

其中C5=C5(p,T,K1,x0)是一個與h無關(guān)的常數(shù).

證明通過It公式，對于所有的t≥0，都有

對于任意的t1∈[0,T]，有

通過Burkholder-Davis-Gundy不等式可以得到

因此，能夠得到

2.4 數(shù)值算例分析

證明方程dx(t)=(a1x(t)+a2x([t]))dt+(b1x(t)+b2x([t]))d(B)t,t≥0的數(shù)值解的收斂性.

解當a1=-2,a2=1,b1=0.3,b2=

0.1,x0=1時，利用E-M方法對方程進行求解，全局誤差結(jié)果見表1.從表1可以看出這個數(shù)值算例的E-M方法是收斂的；在點T=2,3處的誤差，通過計算得出它的誤差值為E|ykm+l(ω)-x(T,ω)|2，這里的ykm+l(ω)是(8)在節(jié)點處的值.隨后，估計在區(qū)間[0,5]上(ωi:1≤i≤1000)平均樣本路徑，即

由表1顯示的數(shù)據(jù)可以看出在步長h=1/8時，T=2,3處的誤差分別為1.155887107027968×

表1 方程在T=2,3處的全局誤差

10-5，2.098304100592810×10-7，說明Euler方法對算例方程的數(shù)值解具有收斂性.

3 結(jié)論

通過對自變量分段連續(xù)型隨機微分方程數(shù)值解收斂性的研究，給出了在不同條件下，該方程歐拉方法的收斂性，具體結(jié)論如下：

(1)在局部Lipschitz條件和p階矩有界條件下E-M方法對SEPCAs方程具有強收斂性.

(2)在局部Lipschitz條件和線性增長條件下E-M方法對SEPCAs方程具有強收斂性.

(3)在局部Lipschitz條件(H1)和單調(diào)條件(H3)下E-M方法對SEPCAs方程具有強收斂性.