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    基于觀測器的非脆弱控制研究及其在混沌系統(tǒng)中的應(yīng)用*

    2022-05-10 07:27:28張學(xué)勝吉明明
    計算機(jī)與數(shù)字工程 2022年4期
    關(guān)鍵詞:估計值觀測器增益

    張學(xué)勝 吉明明 章 偉

    (上海工程技術(shù)大學(xué) 上海 201620)

    1 引言

    狀態(tài)觀測器又被稱為“軟傳感器”,隨著觀測器理論的發(fā)展,基于觀測器的控制近年來成為了控制領(lǐng)域的研究熱點之一。在傳統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制中,在傳統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制中,通常需要假設(shè)系統(tǒng)的全部狀態(tài)都是可獲得的。然而,受制于經(jīng)濟(jì)與物理上的限制,在實際系統(tǒng)中常常無法量測到全部的系統(tǒng)狀態(tài)。為了解決這一問題,觀測器常被用來估計系統(tǒng)的狀態(tài)值[1~6]。近年來,基于觀測器的控制在許多領(lǐng)域都得到了應(yīng)用。例如,在文獻(xiàn)[7]中觀測器被用在了柔性機(jī)械臂中,在文獻(xiàn)[8]中觀測器被用在了故障診斷中,在文獻(xiàn)[9]中觀測器被用在了輸出反饋控制中,在文獻(xiàn)[10~11]中基于觀測器的控制被用在了機(jī)器人的反饋控制中,在文獻(xiàn)[12~13]中基于觀測器的控制被用在了無人機(jī)的飛行姿態(tài)控制中。

    在實際控制中,許多物理系統(tǒng)本質(zhì)上都是非線性的[14~16]。近年來,非線性系統(tǒng)觀測器設(shè)計問題受到了廣泛關(guān)注。例如,在文獻(xiàn)[17~18]中,研究了Lipschitz非線性系統(tǒng)的觀測器設(shè)計問題,作為Lipschitz觀測器的推廣,文獻(xiàn)[19]研究了單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)的觀測器。近年來,遞增二次限制條件被引入到系統(tǒng)的狀態(tài)估計研究之中,該條件包含經(jīng)典的Lipschitz條件,扇形條件,單邊Lipschitz條件等作為特例。文獻(xiàn)[20~21]中研究了一類滿足遞增二次限制條件的非線性系統(tǒng)中的觀測器設(shè)計問題。

    另一方面,實際的系統(tǒng)控制中常常面臨著各種不確定因素的干擾,這些干擾會導(dǎo)致系統(tǒng)原本設(shè)計好的控制律出現(xiàn)脆弱性[25]。為了解決這一問題,通常會在基于觀測器的控制器的設(shè)計過程中引入非脆弱控制[22~24]。在文獻(xiàn)[25]中,Keel等論述了非脆弱控制的必要性,他們舉例說明了當(dāng)干擾導(dǎo)致控制率律出現(xiàn)微小波動時,控制結(jié)果可能會出現(xiàn)很大的偏差,甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。在此基礎(chǔ)上,Gao等在文獻(xiàn)[26]中研究了不確定系統(tǒng)中的基于觀測器的非脆弱控制問題。需要指出的是,針對遞增二次限制非線性系統(tǒng)中的基于觀測器的非脆弱控制的研究仍尚未有很好的研究結(jié)果。

    本文考慮了遞增二次限制非線性系統(tǒng)中基于觀測器的非脆弱控制問題。首先,結(jié)合遞增二次限制條件,設(shè)計了一類基于觀測器的非脆弱控制器。然后,建立了確保閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的一類線性矩陣不等式型的充分條件。最后,通過一類Lorenz型混沌系統(tǒng)仿真驗證了本文結(jié)論的有效性。

    2 系統(tǒng)描述及觀測器設(shè)計

    考慮一類不確定非線性系統(tǒng):

    其中x(t)∈?n為系統(tǒng)狀態(tài),q=Hx(t),u(t)∈?m為控制輸入,y(t)∈?p為可測輸出,A∈Rn×n,B∈?n×m,C∈?q×n,D∈?q×m,G∈?n×l,H∈?l×n為已知矩陣,f(q)為滿足遞增二次限制條件的非線性向量值函數(shù),如定義1所示。

    定義1(遞增二次限制條件[20])針對非線性向量值函數(shù)f(q),若存在某個已知的適當(dāng)維數(shù)的對稱矩陣Mδ,使得對任意的q1,q2,下面的不等式

    成立,則稱f(q)滿足遞增二次限制條件,其中對稱矩陣Mδ被稱為遞增乘數(shù)矩陣。

    針對非線性系統(tǒng)(1),可設(shè)計如下形式的基于觀測器的非脆弱控制器:

    其中∈?n為系統(tǒng)狀態(tài)的估計,∈?p為系統(tǒng)輸出的估計,K∈?m×n為控制器增益,L∈?n×p為觀測器增益,ΔK∈?m×n和ΔL∈?n×p為擾動矩陣。

    假設(shè)擾動矩陣ΔK(t)和ΔL(t)滿足:

    由式(1)~(3)可得,系統(tǒng)狀態(tài)方程和誤差表達(dá)式為

    接下來,需要討論閉環(huán)系統(tǒng)(4)的穩(wěn)定性問題。為此,類似于文獻(xiàn)[37]中的定理1,本文給出了使系統(tǒng)(1)趨于漸近穩(wěn)定的充分條件和求解控制器增益和觀測器增益的方法,如定理1所示。

    那么系統(tǒng)(1)在基于觀測器的非脆弱控制器(2)的控制下是漸近穩(wěn)定的。通過求解不等式(5)可得到控制器增益觀測器增益

    3 在混沌系統(tǒng)中的仿真

    混沌系統(tǒng)是一種典型的非線性系統(tǒng),近年來在混沌保密通信領(lǐng)域有著許多的應(yīng)用。本節(jié)中將使用文獻(xiàn)[21]中的Lorenz型混沌系統(tǒng)進(jìn)行仿真,該混沌系統(tǒng)的參數(shù)如下:

    其中a(t)=cos(3t),b(t)=1-0.3 sin(2t),且滿足a(t)≤am,b(t)≤bm。

    將上述數(shù)據(jù)代入不等式(5)中,通過Matlab解線性矩陣不等式(6)可得,系統(tǒng)的控制器增益和觀測器增益為

    將數(shù)據(jù)代入系統(tǒng)(1)和基于觀測器的控制器(2)中,通過Matlab數(shù)值軟件進(jìn)行仿真,可得到如圖1~圖4的系統(tǒng)狀態(tài)估計與誤差的仿真結(jié)果。

    圖1 系統(tǒng)狀態(tài)x1的真實值與估計值

    圖2 系統(tǒng)狀態(tài)x2的真實值與估計值

    圖3 系統(tǒng)狀態(tài)x3的真實值與估計值

    圖4 系統(tǒng)狀態(tài)的估計誤差

    由圖1-圖4可看出,隨著時間的推移,系統(tǒng)的估計值逐漸趨近于真實值,系統(tǒng)狀態(tài)的估計誤差逐漸趨于零。仿真結(jié)果說明了系統(tǒng)(1)在基于觀測器的非脆弱控制器(2)的控制下能逐漸趨于穩(wěn)定。

    4 結(jié)語

    本文研究了一類遞增二次限制類非線性系統(tǒng)基于觀測器的非脆弱控制器的設(shè)計方法,并建立了在該控制器下閉環(huán)系統(tǒng)趨于漸近穩(wěn)定的充分條件。最后,通過Matlab仿真將基于觀測器的非脆弱控制器用在了Lorenz型混沌系統(tǒng)中,驗證了本文提出的基于觀測器的非脆弱控制器設(shè)計的有效性。

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