對一線串通的初等數(shù)學(xué)的思考和認(rèn)識

趙紅霞

摘 要：數(shù)學(xué)是其它學(xué)科的基礎(chǔ)，是人類理解世界，對事物規(guī)律進(jìn)行研究的必要工具。數(shù)學(xué)本身比較難，如何從改造數(shù)學(xué)本身入手，讓數(shù)學(xué)變得更容易一些，一線串通的初等數(shù)學(xué)中，張景中先生通過對初中數(shù)學(xué)課程進(jìn)行結(jié)構(gòu)性改革，從簡單的三角形內(nèi)角和定理和三角形面積計(jì)算公式出發(fā)，打破原有的課程結(jié)構(gòu)，引入正弦概念新的定義方式，在此基礎(chǔ)上深入探究知識間的聯(lián)系，解決有關(guān)幾何問題，它不僅發(fā)現(xiàn)了解決初等數(shù)學(xué)相關(guān)問題新的思路和方法，更重要的是在學(xué)習(xí)的過程中進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：張景中? ?一線串通的初等數(shù)學(xué)? ?面積? 正弦? 創(chuàng)新

數(shù)學(xué)是其它學(xué)科的基礎(chǔ)，是人類理解世界，對事物規(guī)律進(jìn)行研究的必要工具。它在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)揮著很大的作用，它不僅能教給我們?nèi)绾芜M(jìn)行精密地計(jì)算，同時(shí)它還能鍛煉我們的思維，使我們能通過推理論證發(fā)現(xiàn)事物之間存在的必然聯(lián)系，進(jìn)而由此及彼發(fā)現(xiàn)更多有用的數(shù)學(xué)，一方面為人類的進(jìn)步做出巨大的貢獻(xiàn)，另一方面用我們發(fā)現(xiàn)的知識去服務(wù)生活，特別是在發(fā)現(xiàn)知識形成的過程中，我們體會到探索知識的樂趣與獲取知識的成就。在數(shù)學(xué)知識探究的過程中，我們常常將復(fù)雜的問題簡單化，將未知的知識化已知，利用簡單的知識解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，這是張景中先生教育數(shù)學(xué)理論中闡述的教育思想，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中一貫有的思想和方法。張景中先生《一線串通的初等數(shù)學(xué)》中，運(yùn)用簡單的三角形內(nèi)角和定理、三角形面積計(jì)算公式，通過建構(gòu)性思考，采用兩種有別于傳統(tǒng)正弦定義方式，引入了正弦的概念，進(jìn)而得出正弦定理、余弦定理等，從而把幾何、三角、代數(shù)知識都通過固有的內(nèi)在聯(lián)系串通起來，以三角輻射帶動幾何并打通代數(shù)與其之間的通道，用知識的緊密聯(lián)系來撬動學(xué)生的深入思考，促其學(xué)習(xí)興趣的提高與數(shù)學(xué)素奍的提升，也從另一個(gè)層面反映出小知識撬動大思維的數(shù)學(xué)特質(zhì)。下面談?wù)剛€(gè)人讀完本書之后的一些認(rèn)識和思考。

一、一線串通的初等數(shù)學(xué)創(chuàng)新了方法

長期以來，幾何教學(xué)就是數(shù)學(xué)界非常關(guān)注的內(nèi)容之一，特別是用面積法解決有關(guān)問題是一個(gè)常說常新的內(nèi)容，正是基于這樣的思路，一線串通的初等數(shù)學(xué)中，張景中先生從最簡單的、最具有普遍意義的幾何解題方法------面積法入手，在大家已經(jīng)熟知的面積公式的基礎(chǔ)上，總結(jié)整理出共高定理，進(jìn)而又研究出共邊定理、共角定理這些看似簡單但非常有用的解題工具。與此同時(shí)，張景中先生適時(shí)地將原本九年級才能提出來的正弦的概念，運(yùn)用新的數(shù)學(xué)思路，采用新的方式，在七年級時(shí)，就將較為抽象的“正弦”概念引入進(jìn)來，從直觀的“面積”與“折扣”兩方面對正弦概念作了詳細(xì)的界定，得出正弦的另外的新的定義方式，這樣就把三角、面積和代數(shù)聯(lián)系起來，從學(xué)生學(xué)習(xí)的層面而言，這種正弦引出的方式 降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的臺階，使得學(xué)生掌握正弦這個(gè)新概念比較順利，而且由于抽象概念的形象描述，解決了以往在正弦定義教學(xué)中存在的讓學(xué)生難于理解、太過于抽象的現(xiàn)象;從教學(xué)思維的視角來看，“面積”法被引進(jìn)到正弦層面，是從“形的思考”開始，是學(xué)生對正弦概念層面的認(rèn)識，而“折扣”則是一種從“數(shù)”的思維上來強(qiáng)調(diào)應(yīng)用的。該定義方法比傳統(tǒng)的直角三角形“對邊比斜邊”的定義更直觀，更易于掌握，更與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想相對應(yīng)，這也就是我們之后要學(xué)習(xí)的函數(shù)理念，這樣的新的課程邏輯體系將有助于學(xué)生“數(shù)形合一”，并將學(xué)生的思維空間拓展延伸到后面的學(xué)習(xí)，使數(shù)形結(jié)合的思想滲透到學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程，為防止數(shù)學(xué)整體思維的人為割裂起到了很好的鋪墊作用。另一方面正弦概念、正弦定理的引入使用，使得初等數(shù)學(xué)內(nèi)容形成以三角為主線，將大量知識串聯(lián)起來，在三角知識的基礎(chǔ)上用代數(shù)展開幾何的基本思路;第三是有了正弦的概念，一方面可以利用正弦來探索幾何問題，獲取幾何知識;另一方面還可以對正弦的性質(zhì)做更深入的研究，這兩個(gè)方面相輔相成和相互促進(jìn)。第四是正弦引進(jìn)之后，它大顯神通，它不但能用來定量地測算未知的距離和角度，還能夠揭示任意三角形的邊角關(guān)系，對圖形做定性研究 。這些內(nèi)容的研究，構(gòu)成了張先生教育數(shù)學(xué)的思想：即“為了數(shù)學(xué)教育的需要，對數(shù)學(xué)成果進(jìn)行再創(chuàng)造”?！兑痪€串通的初等數(shù)學(xué)》一書集成了第一批串通的初等數(shù)學(xué)，不僅降低了教學(xué)難度，而且節(jié)約了課堂時(shí)間，將人教版初中數(shù)學(xué)教科書的前前后后內(nèi)容整合起來，重新構(gòu)造了新的初中數(shù)學(xué)教科書系統(tǒng)。最后本書在對圓的性質(zhì)的探索過程中，給廣大學(xué)子提供了復(fù)習(xí)原有知識的很好的機(jī)會，在本書中有關(guān)圓的有些命題，就是已知命題的改頭換面的重述，在推導(dǎo)圓的性質(zhì)過程中，反復(fù)用到了等腰三角形的知識，溫故知新，推陳出新，這種學(xué)習(xí)和思考的方法，在研究圓的過程中，得到了很好地體現(xiàn)。

二、一線串通的初等數(shù)學(xué)拓寬了思路

張景中先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育面臨著很多的困難，數(shù)學(xué)內(nèi)容本身難度高，學(xué)習(xí)起來比較枯燥，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不高，特別是學(xué)生計(jì)算能力低下，無形中影響了其它諸如物理、化學(xué)等學(xué)科的學(xué)習(xí)，如何實(shí)現(xiàn)將數(shù)學(xué)變得容易一些，讓學(xué)生更樂于接受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率，這就需要我們拓寬思路，創(chuàng)新方法。在數(shù)學(xué)中，我們常常說到換一種思路解題，其實(shí)質(zhì)是用不同的術(shù)語、不同的方法和策略表達(dá)相同的事實(shí)，尋找達(dá)到目的的不同的路徑，這實(shí)際上就是從不同的角度來觀察同一件事物，這是重要的數(shù)學(xué)思想，這種思想常常能夠把復(fù)雜的問題變得簡單明白，對似乎難以下手的問題找出意外簡捷的解決方案，它也會使得數(shù)學(xué)知識變得更加豐富、更活潑、更加立體、更加多元，它會和其他知識聯(lián)系起來，變得更有力、更有用。新思路下正弦定義的給出，從概念出現(xiàn)看，出現(xiàn)數(shù)學(xué)新知識所用的預(yù)備知識少，再加之預(yù)備知識的起點(diǎn)低，這樣就能使學(xué)生更容易接受新知識，思想上不再有害怕的感覺;從內(nèi)容嚴(yán)謹(jǐn)性上看，正弦定義給出之后，直角正弦的面積定義比以往的定義更加嚴(yán)謹(jǐn)，從00------1800 角的各個(gè)角的正弦都有了定義，就更廣泛了;與此同時(shí)，本書也將很多教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了整合，使得如正弦定理、余弦定理等這些在高中才能接觸的內(nèi)容也可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際提介入學(xué)生的學(xué)習(xí)，減少了學(xué)生學(xué)習(xí)用時(shí)。再從整本書的形成看，一線串通的初等數(shù)學(xué)也給我們很多啟示，那就是：即使是看起來很簡單的知識，經(jīng)過一番探索思考，會有不一樣的收獲。數(shù)學(xué)鍛煉思考，思考提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，思考能夠使知識增殖。正弦概念之后引入正弦定理，使得我們解決幾何的思路更為廣泛，處理幾何問題就有三套基本工具：一種是共高定理、共角定理、共邊定理綜合運(yùn)用的面積方法的一種手段;另一種是運(yùn)用正弦定理、余弦定理、正弦和角公式的三角法工具;還有一種就是用平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形邊角的關(guān)系、勾股定理為輔佐的全等三角形與相似三角形的幾何工具。這樣我們用來解決有關(guān)直線構(gòu)成的圖形的常見問題，工具齊全，方法多樣。

三、一線串通的初等數(shù)學(xué)注重了推理

數(shù)學(xué)蘊(yùn)含著很強(qiáng)的邏輯性思想。數(shù)學(xué)中的定理與定理之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，幾何圖形與幾何圖形相互依存但又各有千秋，它們通過合理的推理論證，在數(shù)學(xué)知識的積累與形成中，由單一到多樣，由簡單到復(fù)雜，由表面到實(shí)質(zhì)，有很多意想不到的收獲，也會給人融會貫通的感覺。初中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，邏輯推理能力是六大核心素養(yǎng)中非常重要的一項(xiàng)要求，它關(guān)注了學(xué)生對問題本質(zhì)間聯(lián)系的研究，在學(xué)生對數(shù)學(xué)知識體系的認(rèn)知與建構(gòu)方面有重大作用。一線串通的初等數(shù)學(xué)，從最簡單的內(nèi)容出發(fā)，形成新的數(shù)學(xué)思想，張景中先生非常重視數(shù)學(xué)知識的獲得過程，注重邏輯推理過程，每一步、每一項(xiàng)內(nèi)容的得出，步步為營，層層遞進(jìn)，有理有據(jù)，既交待了問題的來源，又清晰而又具體地交待了如何解決問題，同時(shí)在推理的基礎(chǔ)上，張先生又非常注重新知識的建構(gòu)，適時(shí)地提出如正弦的新定義方法及利用正弦知識將三角與代數(shù)計(jì)算等問題相互銜接，一線串通，打通關(guān)節(jié)，暢通計(jì)算證明等渠道，在有些內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，有很多知識一眼就能看明白，但張景中先生還是很關(guān)注推理過程，這就讓讀者明白：在數(shù)學(xué)里，看出來的事總不放心，能夠證明的才算數(shù)，能夠一板一眼推出來的才算數(shù)。新的數(shù)學(xué)知識的得出是依賴于已有的預(yù)備知識，新的概念的出現(xiàn)總是在很多預(yù)備知識的基礎(chǔ)上得出，在學(xué)生運(yùn)用推理得出新知識的同時(shí)，充分關(guān)注了數(shù)學(xué)思想方法，從而得出非常重要的命題、結(jié)論、方法，這就是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的力量。大量的新知識的涌現(xiàn)，使我們的眼界開闊了，使我們的認(rèn)識更完善了。

四、一線串通的初等數(shù)學(xué)關(guān)注了運(yùn)用

“學(xué)有用的數(shù)學(xué)”是張景中先生的教育思想，也是數(shù)學(xué)這門學(xué)科的價(jià)值所在?！坝袘?yīng)用意識，就是樂于用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題或設(shè)想的問題，善于從實(shí)際問題的設(shè)想的情景中提出數(shù)學(xué)問題”。荷蘭數(shù)學(xué)家佛萊登塔爾說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是實(shí)行再創(chuàng)造”。一線串通的初等數(shù)學(xué)是充分發(fā)揮三角形的面積公式的作用，從最簡單的內(nèi)角和定理和三角形的面積公式出發(fā)，在深入思考探究的基礎(chǔ)上提出共邊定理、共角定理，從而為解決三角形等圖形相關(guān)問題找到新的數(shù)學(xué)思路。同時(shí)，正弦定理、余弦定理、任意三角形面積計(jì)算公式相互配合，使正弦在解決三角形問題時(shí)大放異彩，大顯身手。后面本書又通過幾何圖形之間聯(lián)系的多樣性，讓我們在探究三角的基礎(chǔ)上，發(fā)掘問題并擴(kuò)大戰(zhàn)果，進(jìn)一步學(xué)習(xí)了四邊形，如果說前面三角部分主要關(guān)注幾何圖形間的數(shù)量關(guān)系，而在四邊形中，本書更多關(guān)注了與幾何性質(zhì)有關(guān)的知識的邏輯結(jié)構(gòu)，把知識由少到多，把事物由表及里細(xì)細(xì)展開，形成了平行四邊形的系列性質(zhì)，總結(jié)出了平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理，隨后又將內(nèi)容提煉和歸攏，得到了平行四邊形的特征屬性，并由此構(gòu)成了一個(gè)條理清晰、思路清晰、方法簡單、過程嚴(yán)密的菱形、矩形、正方形的特征屬性的總結(jié)和推理過程及結(jié)論。最后本書在探究四邊形和多邊形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究有關(guān)圓的性質(zhì)，從這思路新穎、方法多樣、設(shè)計(jì)合理的數(shù)學(xué)知識的獲取過程中，我們在步步推進(jìn)中享受由于思維變換而帶來的對數(shù)學(xué)知識的探究和運(yùn)用不一樣的感受和奇妙，我們心曠神怡，從而體會到“學(xué)數(shù)學(xué)，其樂無窮;用數(shù)學(xué)，無處不在;愛數(shù)學(xué)，受益終生”。

總之，通過本書的學(xué)習(xí)，拓寬了我們沿著現(xiàn)有的數(shù)學(xué)思想深入探究運(yùn)用新知識去解決有關(guān)圖形內(nèi)容的思路和策略，這種學(xué)科魅力作為一名數(shù)學(xué)人難以抗拒，它可以讓我們在進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)作用和價(jià)值、感受數(shù)學(xué)魅力的同時(shí)，培養(yǎng)我們孜孜不倦的探索精神，提高我們數(shù)學(xué)運(yùn)用和實(shí)踐能力的意識和興趣，激發(fā)我們更進(jìn)一步去探究用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的策略和方法。創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的基石，本書對原有數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)新，也從另一個(gè)方面告誡我們?nèi)w教師一定要樹立創(chuàng)新意識，要在已有知識的基礎(chǔ)上，去深入思考，不能墨守成規(guī)，要去合理創(chuàng)新，帶領(lǐng)學(xué)生去探究知識海洋的寶藏，拓寬思路和眼界，領(lǐng)略不一樣的風(fēng)景，收獲不一樣的珍寶。

《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》 張景中 [M]中國少年兒童教育出版社

《一線串通的初等數(shù)學(xué)》? ?張景中 [M]四川教育出版社

《幾何的新方法新體系》? ?張景中 [M]科學(xué)出版社

《新概念幾何》? ? ? ? ? ?張景中? [M]四川教育出版社

《重建三角，全盤皆活------初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)性改革的一個(gè)建議 》張景中? ? [J]數(shù)學(xué)教學(xué)? 2016（10）;

《讓我們來重新認(rèn)識三角------兼談數(shù)學(xué)教育要在數(shù)學(xué)上下功夫》

張奠宙? ?[J]數(shù)學(xué)教學(xué)? ?2006（10）;

《從數(shù)學(xué)難學(xué)談起》 張景中 [J]世界科技研究與發(fā)展，1996（4）：

[本文系2021年度甘肅省“十四五”規(guī)劃課題“張景中教育數(shù)學(xué)思想教學(xué)實(shí)驗(yàn)”教改實(shí)驗(yàn)專項(xiàng)課題《張景中院士教育數(shù)學(xué)思想中的“重建三角”與現(xiàn)有人教版初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容融合的課例研究》（課題立項(xiàng)號：GS[2021]GHBZJZ003）研究成果）