無保持架軸承滾動體與變速曲面靜接觸有限元

趙彥玲，王明珠，侯新新，秦生

摘要：滿裝軸承因去掉保持架而使承載能力提高且輕量化，目前已經(jīng)受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，但針對滾動體接觸的理論研究較少。提出在外圈滾道增加局部變速曲面來改變滾動體與滾道接觸狀態(tài)的原理，基于赫茲理論建立滾動體與滾道接觸力及接觸應(yīng)力模型，分析變速曲面參數(shù)對滾動體間及滾道接觸狀態(tài)影響因素;通過有限元數(shù)值模擬對滾動體與滾道、滾動體與變速曲面進(jìn)行仿真并獲得可量化參數(shù)，確定滾動體進(jìn)出變速曲面接觸應(yīng)力及應(yīng)變的變化規(guī)律;結(jié)合物理樣機(jī)對所設(shè)計的變速曲面進(jìn)行磨損試驗，用于驗證理論的正確性。結(jié)果表明滾動體與變速曲面邊緣接觸力大于中間位置，相鄰滾動體滾過變速曲面時處于非接觸狀態(tài)。本研究為無保持架球軸承動態(tài)磨損提供理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：無保持架球軸承;變速曲面;赫茲理論;接觸模型;有限元

DOI：10.15938/j.jhust.2022.01.013

中圖分類號： TH133.3? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A? ? ? ? ? 文章編號： 1007-2683（2022）01-0100-08

Finite Element of Static Contact between Rolling Element

and Raceway of Cageless Ball Bearing

ZHAO Yanling1，WANG Mingzhu1，HOU Xinxin2，QIN Sheng3

（1.School of Mechanical and Power Engineering， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080，China;

2.SUNNY GROUP CO.，LTD.，Yuyao 315400，China; 3.Second Port Branch of Rizhao Port Co.， Ltd，Rizhao 276826，China）

Abstract：At present， scholars at home and abroad have paid attention to the improvement of bearing capacity and lightweight due to the removal of cage， but the theoretical research on rolling element contact is less. The principle of adding local variable speed surface to outer ring raceway to change the contact state between rolling element and raceway is proposed. Based on Hertz theory， the contact force and contact stress model between rolling element and raceway are established， and the influence factors of variable speed surface parameters on contact state between rolling elements and raceway are analyzed. Through finite element numerical simulation， the rolling element and raceway， rolling element and variable speed surface are simulated and obtained. The change law of contact stress and strain of the rolling element in and out of the variable speed surface is determined by quantifiable parameters， and the wear test of the designed variable speed surface is carried out with the physical prototype to verify the correctness of the theory. The results show that the contact force between the rolling body and the variable speed surface edge is greater than that at the middle position， and the adjacent rolling body is in noncontact state when rolling through the variable speed surface. This study provides a theoretical basis for the dynamic wear of no cage ball bearings.

Keywords：cageless ball bearing; variable speed surface; hertz theory; contact model; finite element

0引言

近年來，隨著航空發(fā)動機(jī)、電主軸以及無人機(jī)技術(shù)的發(fā)展，對滾動軸承的結(jié)構(gòu)、材質(zhì)和轉(zhuǎn)速要求越來越高，將工程陶瓷材料引入軸承中可大幅提升軸承的服役性能和應(yīng)用范圍[1]。雖然深溝球軸承具有較小的摩擦系數(shù)，但在高速運轉(zhuǎn)情況下，保持架與滾動體和套圈之間的摩擦?xí)a(chǎn)生不可忽視的阻力，致使軸承發(fā)熱，從而限制了軸承的極限轉(zhuǎn)速。為了避免保持架所帶來的摩擦阻力，國內(nèi)外出現(xiàn)了無保持架球軸承。雖然無保持架結(jié)構(gòu)使軸承滾動體的數(shù)目更多，提高了軸承的承載能力，但滾動體之間的接觸和摩擦使無保持架球軸承多用于低速重載工況下。本文開展了無保持架球軸承滾動體與滾道接觸相關(guān)問題的研究。

國內(nèi)外學(xué)者在軸承靜接觸分析方面展開了一定的理論方法研究。樊洪輝[2]提出了一種數(shù)值模擬滿裝滾子軸承扭矩的研究方法，通過ADAMS的微分方程求解器，對滿裝圓柱滾子軸承進(jìn)行仿真分析，計算滾子與內(nèi)圈、滾子與滾子、滾子與外圈的摩擦力和扭矩;進(jìn)而在文[3]針對低速重載工況下滿裝圓柱滾子軸承的運動問題，通過改變ADAMS中設(shè)置的軸承內(nèi)圈的轉(zhuǎn)速，對NCF3004CV軸承不同轉(zhuǎn)速下的滾子與內(nèi)圈接觸力以及內(nèi)圈質(zhì)心運動軌跡進(jìn)行仿真研究;侯新新[4]針對帶變速曲面的無保持架球軸承進(jìn)行摩擦磨損性能分析，對滾動體與變速曲面的接觸形式和受力狀態(tài)分析，建立滾動體與變速曲面處的接觸力學(xué)模型，并對其磨損失效時間進(jìn)行預(yù)測;趙彥玲等[5]針對鋼球在展開機(jī)構(gòu)中的接觸碰撞特性進(jìn)行分析，建立了鋼球與展開輪的Hertz接觸碰撞模型獲得了碰撞力的變化過程;并在文[6]中針對鋼球缺陷檢測過程中，鏡面鋼球打滑導(dǎo)致展開輪磨損這一問題，結(jié)合試驗與有限元的方法，得到適合于展開輪的材料與微結(jié)構(gòu);潘承怡等[7]針對展開輪壽命預(yù)測問題，根據(jù)展開輪結(jié)構(gòu)和展開原理建立展開輪的臨界失效條件，并利用ANSYS有限元軟件對展開輪磨損進(jìn)行數(shù)值模擬，得到磨損深度與磨損次數(shù)的關(guān)系方程;Peter ulka等[8]針對滾動軸承的靜接觸壓力、應(yīng)力進(jìn)行分析，建立了赫茲理論靜接觸壓力計算模型，通過ANSYS Workbench進(jìn)行仿真，得到了最大靜接觸壓力值;李英等[9]針對自潤滑關(guān)節(jié)軸承的接觸應(yīng)力分布進(jìn)行分析，采用Winkler模型建立了自接觸應(yīng)力解析模型，并利用ANSYS 軟件對軸承受徑向載荷和軸向載荷時的接觸應(yīng)力分布進(jìn)行分析;盧黎明等[10]針對滾滑軸承零件的應(yīng)力分布、變化規(guī)律及疲勞壽命進(jìn)行分析，通過ABAQUS有限元軟件的隱式算法對滾滑軸承進(jìn)行多體接觸靜力學(xué)的仿真;Raju D V等[11]采用通用有限元軟件ABAQUS精確地預(yù)測了汽車輪轂滾珠軸承的接觸應(yīng)力、軸承載荷和軸承壽命，并在赫茲接觸理論的基礎(chǔ)上，給出了各載荷情況下的理論接觸應(yīng)力計算;Anoopnath P. R.等[12]基于Hertz接觸理論對滾動體與滾道之間的接觸機(jī)理進(jìn)行了研究，并利用MESYS工具進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值分析。由結(jié)果可以看出，MESYS結(jié)果與公式結(jié)果的變化很小，低于5%;胡寶根等[13]針對自潤滑關(guān)節(jié)軸承襯墊的應(yīng)力分布、接觸應(yīng)力變化和變形情況進(jìn)行分析，建立了自潤滑關(guān)節(jié)軸承的有限元模型，得出襯墊的靜接觸應(yīng)力分布;張勝倫等[14]針對角接觸球軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)對接觸應(yīng)力的影響進(jìn)行分析，建立了赫茲理論計算模型，通過有限元法分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對靜接觸應(yīng)力的影響;Xian等[15]針對球與滾道的靜接觸特性進(jìn)行研究，建立了赫茲理論接觸模型，分析了軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)對靜接觸應(yīng)力的影響;Xi等[16]提出了跨尺度三維有限元模擬方法，通過對深溝球軸承與滾道進(jìn)行了非赫茲彈塑性靜接觸分析，研究了載荷大小和方向?qū)佑|狀態(tài)的影響;WANG等[17]針對大接觸角推力球軸承的接觸特性進(jìn)行分析，依據(jù)赫茲彈性接觸理論并采用有限元法對軸承的三維模型進(jìn)行非線性接觸仿真，分析應(yīng)力和變形情況;鄭曉猛[18]等研究了一種快速、簡單的材料滾滑接觸內(nèi)部應(yīng)力的計算方法以替代耗時長的有限元法，通過Hertz接觸理論計算最大接觸應(yīng)力及尺寸，并基于MATLAB實現(xiàn)滾滑接觸內(nèi)部應(yīng)力場的計算，該方法簡單方便，便于結(jié)合其他應(yīng)力求真實應(yīng)力場，對材料組織演變有著重要的意義。

綜合國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，雖然已有對軸承滾動體與滾道接觸的研究，但還未發(fā)現(xiàn)對無保持架球軸承滾動體與滾道接觸的研究，缺少相應(yīng)的理論基礎(chǔ)。因此本文主要研究無保持架球軸承滾動體與滾道的接觸應(yīng)力分布，采用理論計算和有限元分析相結(jié)合的方法并通過物理樣機(jī)實驗驗證理論分析與仿真實驗結(jié)果的一致性，為無保持架球軸承的磨損研究提供理論基礎(chǔ)。

1滾動體與滾道接觸狀態(tài)分析

1.1軸承外圈局部變速曲面設(shè)計

本文擬在外圈滾道增加局部變速曲面來改變滾動體與滾道接觸狀態(tài)，圖1（a）為所設(shè)計的帶有變速曲面的軸承結(jié)構(gòu)示意圖，變速曲面沿Z軸負(fù)方向為橢圓形，θ為變速曲面周向跨度角;圖1（b）所示的B為變速曲面寬度，R2為變速曲面圓弧狀邊緣半徑。軸承在徑向載荷Fr作用下，外圈固定，內(nèi)圈以角速度ωi逆時針旋轉(zhuǎn)，滾動體在內(nèi)圈的帶動下經(jīng)過變速曲面時先與p1點接觸，而后跨在變速曲面上與邊緣接觸并順時針滾動，最后與p2點接觸并離開變速曲面。由于外圈滾道存在變速曲面，使得每個滾動體所受載荷發(fā)生變化，與滾道的接觸力、接觸應(yīng)力也發(fā)生變化。

1.2滾動體與滾道接觸力模型建立

對變速曲面上的滾動體進(jìn)行受力分析，如圖2所示，軸承只受徑向載荷，滾動體經(jīng)過變速曲面時在徑向方向出現(xiàn)了下移，與內(nèi)圈分離，因此該軸承在變速曲面處只受到自身重力和支持力。建立軸承外圈中心坐標(biāo)系（o、x、y、z）和滾動體球心坐標(biāo)系（Ob、xb、yb、zb），

Fn1、Fn2分別為滾動體在變速曲面接觸點處的法向接觸力，F(xiàn)f1、Ff2分別為滾動體與變速曲面在兩個接觸點處的靜摩擦力，γ為變速曲面處的切向角。

根據(jù)對滾動體與變速曲面接觸受力分析建立沿坐標(biāo)系（Ob、xb、yb、zb）的力平衡方程：

Fn1sinθ2-Fn2sinθ2=0

（Fn1+Fn2）cosθ2（Ff1+Ff2）cosγ=0

（Fn1+Fn2）sinθ2±（Ff1+Ff2）sinγ-G=0（1）

變速曲面處切向角γ的表達(dá)式為

γ=arctanB2hd（2）

式中：B為變速曲面寬度;hd為徑向時變位移。

聯(lián)立（1）、（2）得到滾動體與變速曲面接觸力為

Fn1=Fn2=G2sinθ2+Bcosθ2hd（3）

如圖1所示變速曲面設(shè)計在最下方，正常滾道上滾動體1和3受載最大，以滾動體1分析，基于Stribeck理論可得到滾動體1受到的載荷為

Qmax=5Fr（Z-1）cos360Z（4）

根據(jù)圖1滾動體與滾道接觸受力分析[19]建立滾動體沿Y、Z坐標(biāo)軸的力平衡方程為

Fn3sin360z=Ff3cos360z+Qmaxsin360z

Fn3cos360z+Ff3sin360z=G+Qmaxcos360z（5）

式中：Fn3為滾動體在正常滾道接觸點處的法向接觸力;Ff3為滾動體與正常滾道接觸點處的靜摩擦力;z為滾動體個數(shù)。

整理得到滾動體1與滾道接觸力為

Fn3=Qmax+Gcos360Z（6）

由式（3）和式（5）可知，變速曲面處的接觸力取決于其跨度角和寬度，正常滾道處的接觸力與滾動體的數(shù)量、材料有關(guān)，且在相同載荷下滾動體數(shù)量14、材料為氮化硅陶瓷時最大接觸力為17.371N。

圖3所示為變速曲面處接觸力變化規(guī)律，最大接觸力為1.9×10-4N，相比可以看出滾動體在正常滾道處的接觸力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于變速曲面處。此外，圖3給出了隨著變速曲面跨度角θ的增大、寬度B的減小接觸力增大。

1.3滾動體與滾道接觸應(yīng)力模型建立

為避免變速曲面的尖銳邊緣在軸承運轉(zhuǎn)過程中發(fā)生彈塑性變形，將變速曲面的鋒利邊緣假設(shè)成圓弧狀，因此滾動體與變速曲面邊緣的接觸類型為點接觸。根據(jù)Hertz接觸理論[20]可知承載時由接觸點擴(kuò)展成如圖4所示的橢圓形接觸面，其應(yīng)力分布為半橢球形，O1為橢圓形接觸面中心，a為接觸橢圓長半軸，b為接觸橢圓短半軸，R1為滾動體半徑，R2為圓弧狀邊緣半徑。

滾動體在變速曲面中間位置時接觸區(qū)域內(nèi)任意一點應(yīng)力分布為

p（x，y）′=3Q2πab1-xa2-yb2（7）

接觸橢圓長半軸與短半軸分別為

a=μ×3321-υ12E1+1-υ22E23Q∑ρ（8）

b=v×3321-υ12E1+1-υ22E23Q∑ρ（9）

式中：μ和v是由F（ρ）所決定的系數(shù)，根據(jù)軸承規(guī)范獲得;∑ρ為接觸面主曲率之和，其表達(dá)式為：

∑ρ=ρ1Ι+ρ1Π+ρ2Ι+ρ2Π（10）

式中ρ1Ι、ρ1Π和ρ2Ι、ρ2Π分別為滾動體與變速曲面兩側(cè)接觸面的主曲率。

橢圓中心O1是接觸區(qū)內(nèi)的最大接觸應(yīng)力點，其表達(dá)式為

p=3Q2πab=6QE*2π3R*213（11）

1E*=1-υ12E1+1-υ22E2（12）

R*=（RΙRΠ）12（13）

式中：E*為等效彈性模量;R*為等效曲率半徑;E1、E2分別為滾動體和軸承外圈的彈性模量;υ1、υ2分別為滾動體和軸承外圈的泊松比;RⅠ和RⅡ為兩主曲率面內(nèi)的主曲率半徑。利用光滑非協(xié)調(diào)表面幾何學(xué)[13]，對接觸面進(jìn)行分析可知球面和圓柱面在接觸點處的相對主曲率半徑分別為

R1Ι=R1Π=R1=Dw/2（14）

R2Ι=R2，R2Π=∞（15）

兩曲面與各曲面的主曲率半徑關(guān)系分別為

1RΙ=1R1Ι+1R2Ι，1RΠ=1R1Π+1R2Π（16）

聯(lián)立（14）～（16）得：

RΙ=R1R2R1+R2，RΠ=R1（17）

將式（17）帶入式（13）得：

R*=（RΙRΠ）12=R12R2R1+R212（18）

由Hertz公式結(jié)合滾動體與變速曲面在接觸位置產(chǎn)生的最大接觸應(yīng)力為

p=6QE*2π313R1+R2R12R213（19）

式中Q為變速曲面接觸點上的法向載荷，與Fn1、Fn2大小相等方向相反。

根據(jù)Hertz點接觸理論得到正常滾道處最大接觸應(yīng)力為

p=6Q1E*2π313（R4+R1）（R3+R1）R12R3R413（20）

式中：Q1為正常滾道接觸點上的法向載荷，與Fn3大小相等方向相反;R3為滾道的曲率半徑;R4為外圈溝道曲率半徑。

分別聯(lián)立式（3）、（19）和式（6）、（20）得到滾動體與滾道接觸區(qū)域的最大接觸應(yīng)力為：

p1=6E*2π313R1+R2R12R2213G2sin（θ/2）+Bcos（θ/2）hd13

p2=6E*2π313（R4+R1）（R3+R1）R12R3R413Qmax+Gcos360z13（21）

式中：p1為滾動體與變速曲面處的接觸應(yīng)力;p2為滾動體與正常滾道處的接觸應(yīng)力。

由式（21）可知，變速曲面處的接觸應(yīng)力取決于接觸力和圓弧狀邊緣半徑，正常滾道處的接觸應(yīng)力與接觸力、材料有關(guān)，且在相同載荷下外圈材料為軸承鋼、滾動體材料為氮化硅陶瓷時最大接觸應(yīng)力為321.79MPa，圖5所示為變速曲面處接觸應(yīng)力變化規(guī)律，最大接觸應(yīng)力為4MPa，相比可以看出滾動體在正常滾道處的接觸應(yīng)力大于變速曲面處。此外，圖5給出了隨著變速曲面圓弧狀邊緣半徑R2的增大接觸應(yīng)力減小。

2滾動體-滾道有限元分析及實驗驗證

2.1滾動體-滾道仿真模型建立

在赫茲接觸理論的假設(shè)條件范圍內(nèi)，首先對無保持架球軸承進(jìn)行以下簡化：

1）軸承模型中對接觸分析影響較小的幾何體（倒角、圓角等）不予考慮;

2）軸承的局部接觸變形對于軸承整體而言可歸結(jié)為小變形，因此忽略接觸問題中涉及的幾何非線性和材料非線性問題，將軸承接觸問題歸屬于純邊界非線性問題;

3）本文無保持架球軸承的滾動體采用陶瓷材料，具有一定的自潤滑作用，因此不考慮油液潤滑;同時忽略軸承運轉(zhuǎn)過程中因高溫而引起的部件熱變形問題，減少解決問題的難度。

無保持架球軸承具體尺寸參數(shù)如表1所示。

本文軸承的內(nèi)、外圈材料為軸承鋼（GCR1-5），滾動體材料為氮化硅陶瓷球，其二者材料的具體屬性參數(shù)如表2所示。

由于無保持架球軸承的外圈存在變速曲面，所以需要對變速曲面接觸位置的網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化。無保持架球軸承模型網(wǎng)格劃分主要采用類型為C3D8R的六面體，其中設(shè)置內(nèi)外圈的網(wǎng)格尺寸為1mm，滾動體的網(wǎng)格尺寸為0.3mm，變速曲面的網(wǎng)格最大尺寸為0.15mm。其網(wǎng)格劃分如圖6所示。

如圖6所示，在進(jìn)行仿真分析時采用外圈固定、內(nèi)圈受載的方式，故施加的邊界條件如下：首先約束軸承外圈外圓表面所有節(jié)點在x、y、z 3個方向上的平動和轉(zhuǎn)動自由度;由于本文的無保持架球軸承是用在高速輕載下，為模擬該工況，在z方向?qū)S承內(nèi)圈施加載荷50N;為模擬重力對軸承的影響，對軸承整體施加z軸負(fù)方向上的重力加速度。

2.2滾動體-滾道數(shù)值模擬分析

根據(jù)有限元仿真計算得到軸承在徑向載荷下的靜力仿真應(yīng)力應(yīng)變云圖及曲線圖，分別如圖7、圖8所示。

由圖7仿真結(jié)果可知最大接觸應(yīng)力發(fā)生在1號滾動體從變速曲面滾出后與正常滾道的接觸面處為331.4MPa，滾動體與變速曲面的接觸應(yīng)力為0.003934MPa。由圖8曲線圖可知接觸點1、2、3、4與接觸點5、6、7、8的應(yīng)力應(yīng)變比接觸點9、10的大，因此滾動體經(jīng)過變速曲面時接觸應(yīng)力先變小后變大。由理論模型計算可得滾動體與滾道的最大接觸應(yīng)力為321.79MPa，與仿真結(jié)果基本一致。

2.3實驗驗證

圖9所示為變速曲面磨損試驗物理樣機(jī)，本文軸承采用的滾動體為氮化硅陶瓷球，其本身具有一定的自潤滑功能，因此試驗在干摩擦條件下進(jìn)行;為模擬無保持架球軸承的運轉(zhuǎn)情況，設(shè)外圈固定不動，內(nèi)圈轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)速設(shè)為6000r/min，并通過支撐軸上的加載裝置在軸承徑向上施加10N的載荷，觀察變速曲面在軸承運轉(zhuǎn)一定時間內(nèi)的磨損情況。

本文采用VHX-1000超景深數(shù)碼顯微鏡對磨損后的變速曲面進(jìn)行測量，如圖10所示，該顯微鏡測量精度為0.01μm。圖11所示為利用超景深顯微鏡對磨損3h后的變速曲面進(jìn)行測量的深度圖，接近正常滾道處的磨損深度445.8μm，中間位置的磨損深度222.9μm表明滾動體在出變速曲面處受到的摩擦力變大，結(jié)合接觸力理論分析可確定相鄰滾動體經(jīng)過變速曲面時彼此不接觸。

3結(jié)論

1）由于變速曲面結(jié)構(gòu)的存在，使得滾動體與滾道之間的接觸力和接觸應(yīng)力發(fā)生變化，且變速曲面處的小正常滾道處;

2）通過有限元仿真進(jìn)一步確定了滾動體在變速曲面和正常滾道時應(yīng)力應(yīng)變的不同，且正常滾道處的應(yīng)力應(yīng)變比變速曲面處的大;

3）通過實驗說明了滾動體經(jīng)過變速曲面時的磨損深度比正常滾道處的小，摩擦力變大;

4）滾動體滾過變速曲面時接觸狀態(tài)發(fā)生改變，使相鄰滾動體處于非接觸狀態(tài)。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1]謝天舒. 氮化硅陶瓷軸承外圈磨削的雙目標(biāo)工藝優(yōu)化[J]. 金剛石與磨料磨具工程， 2021， 41（4）： 82.

XIE Tianshu. Two Objective Process Optimization for Grinding of Outer Ring of Silicon Nitride Ceramic Bearing[J]. Diamond & Abrasive Engineering， 2021， 41（4）： 82.

[2]樊洪輝.滿裝滾子軸承扭矩的實驗與仿真分析[J].計量與測試技術(shù)，2019，46（4）：28.

FAN Honghui. Experiment and Simulation Analysis of Full Roller Bearing Torque[J]. Metrology & Measurement Technique， 2019，46（4）：28.

[3]樊洪輝，俞揚飛，陳曉萌.基于ADAMS的滿裝圓柱滾子軸承性能分析[J].計量與測試技術(shù)，2019，46（7）：40.

FAN Honghui， YU Yangfei， CHEN Xiaomeng. Performance Analysis of Fullfilled Cylindrical Roller Bearing Based on ADAMS[J]. Metrology & Measurement Technique. 2019，46（7）：40.

[4]侯新新. 無保持架球軸承變速曲面摩擦磨損性能研究[D].哈爾濱：哈爾濱理工大學(xué)，2020.

[5]趙彥玲，李積才，趙志強(qiáng)，等.鋼球展開機(jī)構(gòu)的接觸碰撞特性[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報，2015，20（6）：37.

ZHAO Yanling， LI Jicai， ZHAO Zhiqiang， et al. Contactimpact Characteristic Research on Unfolding Mechanism of Steel Ball[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2015，20（6）：37.

[6]趙彥玲，張經(jīng)緯，侯新新，等.微結(jié)構(gòu)鋼球展開輪增摩降磨特性分析[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報，2018，23（5）：8.

ZHAO Yanling，ZHANG Jingwei，HOU Xinxin， et al. Analysis of Friction and Wear Characteristics of Steel Ball Expansion Wheel Based on Microstructures[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2018，23（5）：8.

[7]潘承怡，李俠，趙彥玲，等.應(yīng)用數(shù)值模擬的鋼球檢測展開輪磨損壽命預(yù)測[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報，2020，25（2）：50.

PAN Chengyi，LI Xia，ZHAO Yanling，et al. Wear Life Prediction on Unfolding Wheel of Steel Ball Detection by Using Numerical Simulation[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2020，25（2）：50.

[8]ULKA， Peter， Sapietová， Albeta， Dek， Vladimír， et al. Static Structural Analysis of Rolling Ball Bearing[J].MATEC Web of Conferences，2018，244.

[9]李英，李寶福，李如琰.自潤滑關(guān)節(jié)軸承接觸應(yīng)力分析[J].軸承，2016（5）：32.

LI Ying， LI Baofu， LI Ruyan. Analysis on Contact Stress of Self Lubricating Spherical Plain Bearings[J]. Bearing， 2016（5）：32.

[10]盧黎明，余云云，曾國文，盧晉夫.基于ABAQUS的滾滑軸承靜力學(xué)分析[J].現(xiàn)代制造工程，2018（8）：92.

LU Liming， YU Yunyun， ZENG Guowen， et al. Static Analysis of Rollingsliding Bearing Based on ABAQUS[J]. Modern Manufacturing Engineering， 2018（8）：92.

[11]RAJU D. V.， DIXIT Pravin， RATHORE Nitin， et al. Bearing Life Evaluation of Wheel Hub Ball Bearing Based on Finite Element Analysis[J]. Journal of Tribology， 2018， 140（5）：1.

[12]P.R.ANOOPNATH， V. SURESH BABU， A.K. VISHWANATH. Hertz Contact Stress of Deep Groove Ball Bearing. 2018， 5（2）：3283.

[13]胡寶根，王衛(wèi)英，岳琳琳.基于有限元法的自潤滑關(guān)節(jié)軸承靜力學(xué)分析[J].軸承，2014（4）：10.

HU Baogen， WANG Weiying， YUE Linlin. Statics Analysis of SelfLubricating Spherical Plain Bearings Based on FEM[J]. Bearing， 2014（4）：10.

[14]張勝倫，徐華，買買提明·艾尼，等.角接觸球軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)對接觸應(yīng)力的影響及優(yōu)化[J].軸承，2016（6）：12.

ZHANG Shenglun， XU Hua， MAMTIMIN Geni， et al. Effect and Optimization of Structural Parameters of Angular Contact Ball Bearings on Contact Stress[J]. Bearing， 2016（6）：12.

[15]FENG X Y， LI H， YUE M J， et al. Study on Contact Characteristic of Globoidal Continuous Cam with Ball[J].Applied Mechanics and Materials，2012，121：1254.

[16]XI Q， PI Y， HU Y. A NonHertzian Contact Analysisfor the Ball and Raceway of a Deep Groove Ball Bearing[J].IOP Conference Series Materials Science and Engineering，2019，542：012025.

[17]HUAI W， SHUANG D. Study on Contact Finite Element Simulation of the HighAngular Contact Thrust Ball Bearing[J].Computer Simulation，2013，30（1）：305.

[18]鄭曉猛，杜三明，張永振，等.基于Matlab計算滾動軸承滾滑接觸內(nèi)部應(yīng)力分布[J].潤滑與密封，2020，45（7）：52.

ZHENG Xiaomeng， DU Sanming， ZHANG Yongzhen， et al. Calculation of Stress Field in RollingSlip Contact of Rolling Bearings Based on Matlab[J]. Lubrication Engineering， 2020，45（7）：52.

[19]王黎欽.滾動軸承的極限設(shè)計[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社， 2013.

[20]ZHAO Yanling， XIA Chengtao， WANG Hongbo， et al. Analysis and Numerical Simulation of Rolling Contact Between Sphere and Cone[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering，2015，28（3）：521.

（編輯：王萍）